行列式按行列展開ppt課件(已修改)
2025-05-19 00:52 本頁(yè)面
【正文】 1 五 . 行列式按行（列）展開 對(duì)于三階行列式，容易驗(yàn)證： 333231232221131211aaaaaaaaa333123211333312321123332232211 aaaaaaaaaaaaaaa ???可見(jiàn)一個(gè)三階行列式可以轉(zhuǎn)化成三個(gè)二階行列式的計(jì)算。 問(wèn)題：一個(gè) n 階行列式是否可以轉(zhuǎn)化為若干個(gè) n－ 1 階行列式 來(lái)計(jì)算？ 2 定義 1： 在 n 階行列式中，把元素 ija 所在的第 i 行和 第 j 列劃去后，余下的 n－ 1 階行列式叫做元素 ija 的 余子式。 記為 ijM稱 ? ? ijjiij MA ??? 1為元素 ija 的 代數(shù)余子式。 例如： 44434241343332312423222114131211aaaaaaaaaaaaaaaaD ?44424134323114121123aaaaaaaaaM ?? ? 233223 1 MA ??? .23M??3 44434241343332312423222114131211aaaaaaaaaaaaaaaaD ?44434134333124232112aaaaaaaaaM ?? ? 122112 1 MA ??? 12M??33323123222113121144aaaaaaaaaM ?? ? 44444444 1 MMA ??? ?注： 行列式的每個(gè)元素都分別對(duì)應(yīng)著一個(gè)余子式和一個(gè) 代數(shù)余子式。 4 行列式等于它的任一行（列）的各元素與其對(duì)應(yīng) 的代數(shù)余子式乘積之和，即 ininiiii AaAaAaD ???? ?2211? ?ni ,2,1 ??定理 1： 證明： （先特殊，再一般） 分三種情況討論，我們只對(duì)行來(lái)證明此定理。 (1) 假定行列式 D的第一行除 11a 外都是 0 。 nnnnnaaaaaaaD??????21222211100?5 由行列式定義， D 中僅含下面形式的項(xiàng) nn njjjjjj aaaa ??3232 3211),1()1( ??nn njjjjjj aaaa ??3232 32),1(11 )1( ???其中 nn njjjjjj aaa ??3232 32),1()1( ?? 恰是 11M 的一般項(xiàng)。 所以， 1111 MaD ?111111 )1( Ma ???1111 Aa?6 (2) 設(shè) D 的第 i 行除了 ija 外都是 0 。 nnnjnijnjaaaaaaaD????????????1111100?把 D轉(zhuǎn)化為 (1)的情形 把 D 的第 i 行依次與第 1?i 行，第 2?i 行， ， 第 2行，第 1行交換；再將第 j 列依次與第 1?j 列， 第 2?j 列， ， 第 2列，第 1列交換，這樣共經(jīng)過(guò) 2)1()1( ?????? jiji 次交換行與交換列的步驟。 7 由性質(zhì) 2，行列式互換兩行（列）行列式變號(hào)， 得， nnjnnjnijijiijjiaaaaaaaD????????????1,11,1,1200)1(?????????ijjiijijji AMa ?? ???? )1()1(8 (3) 一般情形 nnnniniinaaaaaaaaaD???????????212111211?nnnniniinaaaaaaaaa??????????????212111211000000 ??????????9 nnnninaaaaaaa???????????2111121100?nnnninaaaaaaa???????????2121121100?nnnninnaaaaaaa????????????211121100??ininiiii AaAaAa ???? ?2211 ? ?ni ,2,1 ??例如 ， 行列式 277010353????D
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