行列式按行列展開ppt課件(已修改)
2025-05-19 00:52 本頁面
【正文】 1 五 . 行列式按行（列）展開 對于三階行列式，容易驗證： 333231232221131211aaaaaaaaa333123211333312321123332232211 aaaaaaaaaaaaaaa ???可見一個三階行列式可以轉(zhuǎn)化成三個二階行列式的計算。 問題：一個 n 階行列式是否可以轉(zhuǎn)化為若干個 n－ 1 階行列式 來計算？ 2 定義 1： 在 n 階行列式中，把元素 ija 所在的第 i 行和 第 j 列劃去后，余下的 n－ 1 階行列式叫做元素 ija 的 余子式。 記為 ijM稱 ? ? ijjiij MA ??? 1為元素 ija 的 代數(shù)余子式。 例如： 44434241343332312423222114131211aaaaaaaaaaaaaaaaD ?44424134323114121123aaaaaaaaaM ?? ? 233223 1 MA ??? .23M??3 44434241343332312423222114131211aaaaaaaaaaaaaaaaD ?44434134333124232112aaaaaaaaaM ?? ? 122112 1 MA ??? 12M??33323123222113121144aaaaaaaaaM ?? ? 44444444 1 MMA ??? ?注： 行列式的每個元素都分別對應(yīng)著一個余子式和一個 代數(shù)余子式。 4 行列式等于它的任一行（列）的各元素與其對應(yīng) 的代數(shù)余子式乘積之和，即 ininiiii AaAaAaD ???? ?2211? ?ni ,2,1 ??定理 1： 證明： （先特殊，再一般） 分三種情況討論，我們只對行來證明此定理。 (1) 假定行列式 D的第一行除 11a 外都是 0 。 nnnnnaaaaaaaD??????21222211100?5 由行列式定義， D 中僅含下面形式的項 nn njjjjjj aaaa ??3232 3211),1()1( ??nn njjjjjj aaaa ??3232 32),1(11 )1( ???其中 nn njjjjjj aaa ??3232 32),1()1( ?? 恰是 11M 的一般項。 所以， 1111 MaD ?111111 )1( Ma ???1111 Aa?6 (2) 設(shè) D 的第 i 行除了 ija 外都是 0 。 nnnjnijnjaaaaaaaD????????????1111100?把 D轉(zhuǎn)化為 (1)的情形 把 D 的第 i 行依次與第 1?i 行，第 2?i 行， ， 第 2行，第 1行交換；再將第 j 列依次與第 1?j 列， 第 2?j 列， ， 第 2列，第 1列交換，這樣共經(jīng)過 2)1()1( ?????? jiji 次交換行與交換列的步驟。 7 由性質(zhì) 2，行列式互換兩行（列）行列式變號， 得， nnjnnjnijijiijjiaaaaaaaD????????????1,11,1,1200)1(?????????ijjiijijji AMa ?? ???? )1()1(8 (3) 一般情形 nnnniniinaaaaaaaaaD???????????212111211?nnnniniinaaaaaaaaa??????????????212111211000000 ??????????9 nnnninaaaaaaa???????????2111121100?nnnninaaaaaaa???????????2121121100?nnnninnaaaaaaa????????????211121100??ininiiii AaAaAa ???? ?2211 ? ?ni ,2,1 ??例如 ， 行列式 277010353????D
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