【正文】 第二章 矩陣運算和行列式 167。 矩陣及其運算 一 . 矩陣與向量 1. m?n矩陣 元素 : aij (i = 1, …, m, j = 1, …, n) ? 167。 167。 167。 167。 a11 a12 … a1n a21 a22 … a2n … … … … am1 am2 … amn 注 : 元素都是實 (復 )數的矩陣稱為 實 (復 )矩陣 . 今后除非特別說明 , 我們所考慮的矩陣都 是實矩陣 . ? 例 1. 某廠家向三個代理商發(fā)送四種產品 . 南京 蘇州 常州啤酒( 瓶裝) 20 16 200 180 190啤酒( 易拉罐) 50 20 100 120 100干啤 30 16 150 160 140生啤 25 16 180 150 150重量( K g / 箱 )單價( 元 / 箱 )數量 ( 箱 )A = 20 50 30 25 16 20 16 16 B = 200 180 190 100 120 100 150 160 140 180 150 150 第二章 矩陣運算和行列式 167。 矩陣及其運算 第二章 矩陣運算和行列式 167。 矩陣及其運算 ? 例 2. 四個城市間的單向航線如圖所示 . 若 aij表示從 i市 到 j市航線的條數 , 則右圖可用矩陣表示為 1 4 2 3 A = (aij) = 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 例 3. 直線的一般方程 A1x+B1y+C1z+D1 = 0 A2x+B2y+C2z+D2 = 0 A1 B1 C1 A2 B2 C2 系數矩陣 第二章 矩陣運算和行列式 167。 矩陣及其運算 ? 3. 向量 n維行向量 : 1?n矩陣 [a1, a2, …, an] n維列向量 : n?1矩陣 a1 a2 … an 第 i分量 : ai (i = 1, …, n) n階方陣 : n?n矩陣 2. 方陣 第二章 矩陣運算和行列式 167。 矩陣及其運算 ? 4. 兩個矩陣的行數相等 , 列數也相等時 , 稱 它們是 同型矩陣 . 5. 若兩個同型矩陣 A = [aij]m?n與 B = [bij]m?n 滿足 : 對于任意的 1? i ? m, 1? j ? n, aij = bij都成立 , 則稱這兩個矩陣 相等 , 記 為 A = B. 二 . 矩陣的線性運算 1. 加法 兩個同型矩陣 A = [aij]m?n與 B = [bij]m?n的 和 C定義為 : C = [cij]m?n = [aij+bij]m?n. 第二章 矩陣運算和行列式 167。 矩陣及其運算 ? 注 : ① 若矩陣 A = (aij)m?n的元素都是零 , 則稱之 為 零矩陣 , 記為 Om?n. 在不引起混淆的情況下 , 簡記為 O. ② 設矩陣 A = (aij)m?n , 記 ?A = (?aij)m?n , 稱 之為 A的 負矩陣 . ③ 設 A, B是同型矩陣 , 則它們的 差 定義為 A + (?B). 記為 A ? B. 即 A ?B = A + (?B). 第二章 矩陣運算和行列式 167。 矩陣及其運算 ? 2. 數乘 設矩陣 A = (aij)m?n , 數 k與 A的 乘積 定義為 (kaij)m?n , 記為 kA或 Ak. 注 : 矩陣加法和數乘運算統(tǒng)稱為矩陣的 線性運 算 . 即 kA = Ak = ka11 ka12 … ka1n ka21 ka22 … ka2n … … … … kam1 kam2 … kamn 第二章 矩陣運算和行列式 167。 矩陣及其運算 ? 3. 性質 定理 設 A, B, C, O是同型矩陣 , k, l是數 , 則 (1) A + B = B + A, (2) (A + B) + C = A + (B + C), (3) A + O = A, (4) A + (?A) = O, (5) 1A = A, (6) k(lA) = (kl)A, (7) (k + l)A = kA + lA, (8) k(A + B) = kA + kB. 第二章 矩陣運算和行列式 167。 矩陣及其運算 ? 三 . 矩陣與矩陣相乘 例 4. 某廠家向三個代理商發(fā)送四種產品 . 南京 蘇州 常州啤酒( 瓶裝) 20 16 200 180 190啤酒( 易拉罐) 50 20 100 120 100干啤 30 16 150 160 140生啤 25 16 180 150 15018000 18150 1675010480 10240 9680數量 ( 箱 )總價( 元)總重( K g )重量( K g / 箱 )單價( 元 / 箱 )A = 20 50 30 25 16 20 16 16 B = 200 180 190 100 120 100 150 160 140 180 150 150 第二章 矩陣運算和行列式 167。 矩陣及其運算 ? 例 5. 四個城市間的單向航線如圖所示 . 若 aij表示從 i市直達 j市航線的條數 , 則右圖可用矩陣表示為 1 4 2 3 A = (aij) = 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 若 bij表示從 i市經另外一個城市到 j市航線的條數 , 則由右圖可得矩陣 B = (bij) = 2 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 2 1 1 1 2 3 4 i j 其中 bij = ai1a1j + ai2a2j + ai3a3j + ai4a4j . 第二章 矩陣運算和行列式 167。 矩陣及其運算 ? 1. 設 A = (aij)m?s , B =(bij)s?n , 則 A與 B的 乘積 是 一個 m?n矩陣 C = (cij)m?n , 其中 cij = ai1b1j + ai2b2j +…+ aisbsj = ? aikbkj. k=1 s 記為 C = AB. 稱 AB為“以 A左乘 B” 或 “以 B 右乘 A”. a11b11+a12b21+a13b31 a11b12+a12b22+a13b32 a21b11+a22b21+a23b31 a21b12+a22b22+a23b32 = a11 a12 a13 a21 a22 a23 b11 b12 b21 b22 b31 b32 如 第二章 矩陣運算和行列式 167。 矩陣及其運算 ? 2. 矩陣乘積的特殊性 (1)只有當矩陣 A的 列 數等于矩陣 B的 行 數時 , 乘積 AB才有意義 . (2)若 A是一個 m?n矩陣 , 與 B是一個 n?m矩陣 , 則 AB和 BA都有意義 . 但 AB是一個 m階方 陣 , BA是一個 n階方 陣 . 當 m ? n時 , AB 與 BA談不上相等不相等 . 即使 m = n, AB與 BA是同階 方 陣也未必相 . 例如 : 第二章 矩陣運算和行列式 167。 矩陣及其運算 ? 1 1 ?2 ?2 ?2 4 1 2 ?1 0 0 1 1 1 ?2 ?2 ?2 4 1 2 ?1 0 0 1 = 0 0 0 0 ?3 ?3 6 ?1 ?1 2 ?2 ?2 4 = 1 ?1 ?2 2 1 2 1 2 = 0 0 0 0 1 ?1 ?2 2 1 2 1 2 = ?3 3 ?3 3 第二章 矩陣運算和行列式 167。 矩陣及其運算 ? 定理 設 k是數 , 矩陣 A, B, C 使以下各式中 一端有意義 , 則另一端也有意義并且 等式成立 (1) (AB)C = A(BC), (2) A(B+C) = AB + AC, (A+B)C = AC+BC, (3) (kA)B = k(AB). 對于 (1)的證明 , 我們先來看一個具體的例子 : a11 a12 a13 a21 a22 a23 如 A= , b11 b12 b21 b22 b31 b32 B = , c11 c12 c21 c22 C = . 第二章 矩陣運算和行列式 167。 矩陣及其運算 ? a11b11+a12b21+a13b31 a11b12+a12b22+a13b32 a21b11+a22b21+a23b31 a21b12+a22b22+a23b32 AB = BC = b11c11+b12c21 b11c12+b12c22 b21c11+b22c21 b21c12+b22c22 b31c11+b32c21 b31c12+b32c22 a11 a12 a13 a21 a22 a23 A= , b11 b12 b21 b22 b31 b32 B = , c11 c12 c21 c22 C = . 我們比較 (AB)C和 A(BC)的“規(guī)格”以及它們的 第一行第一列處的元素 . 第二章 矩陣運算和行列式 167。 矩陣及其運算 ? 一般地 , 設 A = [aij]m?k, B = [bij]k?s, C = [cij]s?n, AB = U = [uij]m?s, BC = V = [vij]k?n, 則 (AB)C = UC與 A(BC) = AV 都是 m?n矩陣 , 且 (AB)C = UC的 (i, j)元素是 它恰好是 A(BC) = AV的 (i, j)元素 . 可見 (AB)C = A(BC). ? uiqcqj q=1 s = ? [(? aipbpq )cqj] q=1 s p=1 k = ? (? aipbpq cqj) q=1 s p=1 k = ? (? aipbpqcqj) q=1 s p=1 k = ? [aip (? bpq cqj)] q=1 s p=1 k = ? aipvpj p=1 k 第二章 矩陣運算和行列式 167。 矩陣及其運算 ? ? 結合律的妙用之一 設 A = BC, 其中 B = , C = [1 2 3], 1 2 3 1 2 3 2 4 6 , 3 6 9 則 A = 我們可以定義 A的 正整數冪 (還有“ 妙用 之二”喔 ~~~!) A1 = A, A2 = AA, …, Ak+1 = AkA, 對于這里的 A, A2022 = ? 當然 , 對于任意方陣 A, 都可以像上面這樣去 定義 A的正整數冪 . 而且有如下結論 第二章 矩陣運算和行列式 167。 矩陣及其運算 ? AkAl = Ak+l, (Ak)l = Akl (AB)k = AkBk 但即使 A與 B是同階方陣 , 也未必成立 ! 注 : 不能說 “因為 AB = BA未必成立 , 所以 (AB)k = AkBk 未必成立” . 例如 A = 0 1 0 0 , B = 1 0 0 0 , AB = 0 0 0 0 , BA = 0 1 0 0 , AB ? BA, 但 (AB)k = AkBk成立 . 第二章 矩陣運算和行列式 167。 矩陣及其運算 ? (AB)k = AkBk 要說明即使 A與 B是同階方陣 , 也未必成立 , 只要舉出一個反例即可 . 例如 A = 1 1 0 0 , B = 1 0