【正文】 1 0 , AB = 2 0 0 0 , A2 = 1 1 0 0 = A, 當然這里 AB ? BA B2 = 1 0 1 0 =B, (AB)2 = 4 0 0 0 , A2B2 = AB = 2 0 0 0 , = 1 1 1 1 . 第二章 矩陣運算和行列式 167。 矩陣及其運算 ? 補充 . 數(shù)學歸納法 1. 第一數(shù)學歸納法原理 : 設(shè) P是一個關(guān)于自然數(shù) n的命題 , 若 ① P對于 n = n0成立 . ② 當 n?n0時 , 由“ n = k時 P成立”可推出 “ n = k+1時 P成立” , 則 P對于任意的自然數(shù) n?n0成立 . 第二章 矩陣運算和行列式 167。 矩陣及其運算 ? 2. 第二數(shù)學歸納法原理 : 設(shè) P為一個關(guān)于自然數(shù) n的命題 , 若 ① P對于 n = n0成立 , ② 由“ n0 ? n ? k時 P成立”可推出 “ n = k+1時 P成立” , 則 P對于任意的自然數(shù) n?n0成立 . 第二章 矩陣運算和行列式 167。 矩陣及其運算 ? 例 6. 設(shè) A = cos? ?sin? sin? cos? , . 求證 An = cosn? ?sinn? sinn? cosn? 證明 : 當 n = 1時 , 結(jié)論顯然成立 . 假設(shè)結(jié)論對于 n = k成立 , 即 . cosk? ?sink? sink? cosk? Ak = cos? ?sin? sin? cos? 則 Ak+1 = AkA cosk? ?sink? sink? cosk? = 第二章 矩陣運算和行列式 167。 矩陣及其運算 ? cos? ?sin? sin? cos? Ak+1 = AkA cosk? ?sink? sink? cosk? = 因此對于任意正整數(shù) n, cosk? cos? ?sink? sin? ?cosk? sin? ?sink? cos? sink? cos? +cosk? sin? ?sink? sin? +cosk? cos? = cos(k+1)? ?sin(k+1)? sin(k+1)? cos(k+1)? = cosn? ?sinn? sinn? cosn? An = 成立 . 第二章 矩陣運算和行列式 167。 矩陣及其運算 ? 四 . 矩陣的轉(zhuǎn)置 1. 設(shè)矩陣 A = a11 a12 … a1n a21 a22 … a2n … … … … am1 am2 … amn , AT = a11 a21 … am1 a12 a22 … am2 … … … … a1n a2n … amn 為 A的 轉(zhuǎn)置 . 則稱矩陣 第二章 矩陣運算和行列式 167。 矩陣及其運算 ? 定理 矩陣的轉(zhuǎn)置運算滿足如下性質(zhì) (1) (AT)T = A, (2) (A+B)T = AT + BT, (3) (kA)T = kAT, (4) (AB)T = BTAT. 五 . 幾種特殊的矩陣 1. 對稱矩陣 若矩陣 A滿足 AT = A, 則稱 A為 對稱矩陣 . 矩陣 A = [aij]m?n為對稱矩陣的充分必要 條件是 : m = n且 aij = aji (i, j = 1, 2, …, n). 第二章 矩陣運算和行列式 167。 矩陣及其運算 ? 2. 對角矩陣 方陣 A = [aij]n?n的 a11, a22, …, ann稱為 對角線 元素 . 若方陣 A = [aij]n?n除了對角線元素 (可能不是 0)以外 , 其它元素都是 0, 則稱 A為 對角矩陣 . 對角線元素依次為 ?1, ?2, …, ?n的對角矩陣 ? 有時也記為 ? = diag[?1, ?2, …, ?n], 即 ? = diag[?1, ?2, …, ?n] = ?1 0 … 0 0 ?2 … 0 ? ? ? ? 0 0 … ?n . 第二章 矩陣運算和行列式 167。 矩陣及其運算 ? 3. 數(shù)量矩陣 若對角矩陣 A = [aij]n?n的對角線元素為同一 個數(shù) , 則稱 A為 數(shù)量矩陣 (純量矩陣 ). 可以證明方陣 A = [aij]n?n為數(shù)量矩陣的充分 必要條件是對于任意 n階矩陣 B, AB = BA. 4. 單位矩陣 稱為 n階單位矩陣 . In = 1 0 … 0 0 1 … 0 … … … 0 0 … 1 n?n 第二章 矩陣運算和行列式 167。 矩陣及其運算 ? 注 : ① 對于 n階方陣 A 可以證明下列條件等價 : (i) A為單位矩陣 。 (ii) 對于任意 n?m矩陣 B, AB = B. (iii)對于任意 m?n矩陣 C, CA = C. ② 有時我們也把 n階單位矩陣 In簡記為 I. 有的書上用 En表示 n階單位矩陣 , 簡記 為 E. ③ 利用 克羅內(nèi)克 (Kronecker)記號 ?ij = 1, i = j 0, i ? j n階單位矩陣 In也可以表示為 [?ij]n?n. 第二章 矩陣運算和行列式 167。 矩陣及其運算 ? 六 . 方陣的多項式 設(shè) A為一個方陣 , f(x)為一個多項式 稱之為 方陣 A的一個多項式 . f(x) = asxs + as?1xs?1 + … + a1x + a0 規(guī)定 f(A) = asAs + as?1As?1 + … + a1A + a0I 5. 反對稱矩陣 若矩陣 A滿足 AT = ?A, 則稱 A為 反對稱矩陣 . 可以證明任何一個方陣都可以寫成一個對 稱矩陣與一個反對稱矩陣的和 . 第二章 矩陣運算和行列式 167。 方陣的行列式 ? 167。 方陣的行列式 一 . 二元線性方程組與二階行列式 (a11a22?a12a21)x1 = b1a22?a12b2 (a11a22?a12a21)x2 = a11b2?b1a21 ? 當 a11a22?a12a21 ?0時 , a11x1 + a12x2 = b1 a21x1 + a22x2 = b2 x1= b1a22?a12b2 a11a22?a12a21 , x2= a11a22?a12a21 a11b2?b1a21 . 第二章 矩陣運算和行列式 ? a11 a12 a21 a22 記 D = , b1 a12 b2 a22 D1 = , a11 b1 a21 b2 D2 = , 則當 D = a11a22?a12a21 ?0時 , , = D1 D = D2 D . 167。 方陣的行列式 a11x1 + a12x2 = b1 a21x1 + a22x2 = b2 x1= b1a22?a12b2 a11a22?a12a21 有唯一確定的解 x2= a11a22?a12a21 a11b2?b1a21 問題 : ① 能用對角線法則定義四階行列式嗎 ? ② 用對角線法則定義的“四階行列式”有 用嗎 ? 第二章 矩陣運算和行列式 ? 167。 方陣的行列式 1 1 0 0 1 2 0 0 0 0 1 ?1 0 0 1 2 仿照三階行列式的對角線法則可得 = 1?2?1?2 ? 1?1?(?1)?1 = 4+1 = 5. 3 1 0 0 5 2 0 0 0 0 1 ?1 3 0 1 2 = 3?2?1?2 ? 1?5?(?1)?1 = 12+5 = 17. 但方程組 ? ? ? x1 + x2 = 3 x1 + 2x2 = 5 x3 ? x4 = 0 x3 + 2x4 = 3 有唯一解 ? ? ? x1 = 1 x2 = 2 x3 = 1 x4 = 1 ? 17 5 ? 第二章 矩陣運算和行列式 ? 167。 方陣的行列式 二 . 排列的逆序數(shù)與奇偶性 1. 全排列 把 n個不同的元素排成一列全排列 , 叫做 這 n個元素的 全排列 (簡稱 排列 ). n個不同元素的所有排列的種數(shù)通常用 Pn表示 . 例如 , 用 1,2,3三個數(shù)字可以組成如下 6個 沒有重復的三位數(shù) : 123, 132, 213, 231, 312, 321 一般地 , Pn = n! = n?(n?1)?… ?2?1. 第二章 矩陣運算和行列式 ? 167。 方陣的行列式 2. 逆序數(shù) 對于 n個不同的元素 , 先規(guī)定各元素之間的 一個標準次序 (如 n個不同的自然數(shù) , 可規(guī) 定由小到大的次序為標準次序 ), 一個排列中所有逆序的總數(shù)叫做這個排列 的 逆序數(shù) . 逆序數(shù)為奇 (偶 )數(shù)的排列稱為 奇 (偶 )排列 . 于是在這 n個元素的任意一個排列中 , 當某 兩個元素的先后次序與標準次序不同時 , 就說 有一個逆序 . 第二章 矩陣運算和行列式 ? 167。 方陣的行列式 例 1. 求下列排列的 逆序數(shù) (1) 32514, (2) (2n)(2n?2)…4213…(2 n?3)(2n?1). 3. 對換 在排列中 , 將任意兩個元素對調(diào) , 其余的元 素不動 , 稱為 對換 . 將相鄰的兩個元素對調(diào) , 稱為 鄰對換 . 注 : ① 任一鄰對換都 改變 排列的 奇偶性 . ② 任一對換都可通過 奇數(shù)次 鄰對換來實現(xiàn) . ????????? ????????? 第二章 矩陣運算和行列式 ? 167。 方陣的行列式 定理 . 每一個對換都改變排列的奇偶性 . ????????? ????????? ????????? 1 ????????? 2 ????????? 3 ????????? 4 ????????? 5 ????????? 6 ????????? 7 ????????? 8 9 ????????? ????????? 1 ????????? 2 ????????? 3 ????????? 4 ????????? 5 ????????? 6 ????????? 7 推論 . n?2時 , n個 元素的所有排列中 , 奇、偶 排列各占一半 , 即各有 n!/2個 . 第二章 矩陣運算和行列式 ? 167。 方陣的行列式 三 . n階行列式的定義 1. 三階行列式的特點 ? 每一項都是三個元素的乘積 . a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 = a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 ? a11 a23 a32 ? a12 a21 a33 ? a13 a22 a31 . ? 每一項的三個元素都位于不同的行和列 . ? 行列式的 6項恰好對應于 1, 2, 3的 6種排列 . ? 各項系數(shù)與對應的列指標的排列的奇偶性 有關(guān) . 第二章 矩陣運算和行列式 167。 方陣的行列式 ? ? ??321321321321)()1(jjjjjjjjjN aaaa11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 j1 j2 j3的逆序數(shù) 對所有不同的三級排列 j1 j2 j3求和 ? ??21212121)()1(jjjjjjN aaa11 a12 a21 a22 第二章 矩陣運算和行列式 ? 2. n階行列式的定義 a11 a12 … a1n a21 a22