【正文】 A與 B是同階方陣 , 也未必成立 ! 注 : 不能說 “因?yàn)?AB = BA未必成立 , 所以 (AB)k = AkBk 未必成立” . 例如 A = 0 1 0 0 , B = 1 0 0 0 , AB = 0 0 0 0 , BA = 0 1 0 0 , AB ? BA, 但 (AB)k = AkBk成立 . 第二章 矩陣運(yùn)算和行列式 167。 矩陣及其運(yùn)算 第二章 矩陣運(yùn)算和行列式 167。 矩陣及其運(yùn)算 ? 4. 兩個(gè)矩陣的行數(shù)相等 , 列數(shù)也相等時(shí) , 稱 它們是 同型矩陣 . 5. 若兩個(gè)同型矩陣 A = [aij]m?n與 B = [bij]m?n 滿足 : 對(duì)于任意的 1? i ? m, 1? j ? n, aij = bij都成立 , 則稱這兩個(gè)矩陣 相等 , 記 為 A = B. 二 . 矩陣的線性運(yùn)算 1. 加法 兩個(gè)同型矩陣 A = [aij]m?n與 B = [bij]m?n的 和 C定義為 : C = [cij]m?n = [aij+bij]m?n. 第二章 矩陣運(yùn)算和行列式 167。 矩陣及其運(yùn)算 ? 2. 第二數(shù)學(xué)歸納法原理 : 設(shè) P為一個(gè)關(guān)于自然數(shù) n的命題 , 若 ① P對(duì)于 n = n0成立 , ② 由“ n0 ? n ? k時(shí) P成立”可推出 “ n = k+1時(shí) P成立” , 則 P對(duì)于任意的自然數(shù) n?n0成立 . 第二章 矩陣運(yùn)算和行列式 167。 方陣的行列式 例 1. 求下列排列的 逆序數(shù) (1) 32514, (2) (2n)(2n?2)…4213…(2 n?3)(2n?1). 3. 對(duì)換 在排列中 , 將任意兩個(gè)元素對(duì)調(diào) , 其余的元 素不動(dòng) , 稱為 對(duì)換 . 將相鄰的兩個(gè)元素對(duì)調(diào) , 稱為 鄰對(duì)換 . 注 : ① 任一鄰對(duì)換都 改變 排列的 奇偶性 . ② 任一對(duì)換都可通過 奇數(shù)次 鄰對(duì)換來實(shí)現(xiàn) . ????????? ????????? 第二章 矩陣運(yùn)算和行列式 ? 167。 行列式的性質(zhì)及計(jì)算 ? 性質(zhì) 6. 把行列式的某一行 (列 )元素乘以同一 個(gè)數(shù) , 再加到另一行 (列 )對(duì)應(yīng)的元素上 去 , 行列式的值不變 . a11 … ( a1i + ka1j) … a1j … a1n a21 … (a2i + ka2j) … a2j … a2n … … … … … … … an1 … ( ani + kanj) … anj … ann = + a11 … a1i … a1j … a1n a21 … a2i … a2j … a2n … … … … … … … an1 … ani … anj … ann a11 … ka1j … a1j … a1n a21 … ka2j … a2j … a2n … … … … … … … an1 … kanj … anj … ann 第二章 矩陣運(yùn)算和行列式 167。 行列式的性質(zhì)及計(jì)算 第二章 矩陣運(yùn)算和行列式 ? a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 a12 a13 a22 a23 = a31(?1)3+1 a11 a13 a21 a23 +a32(?1)3+2 a11 a12 a21 a22 +a33(?1)3+3 a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 拆 , 移 , 降 余子式 代 數(shù) 余 子 式 按第三行展開 167。 逆矩陣 求矩陣 X使 AXB = C. 1 2 3 2 2 1 3 4 3 B = , 例 8. 設(shè) A = 1 2 3 4 , 1 2 3 3 0 1 C = , 解 : 由例 7可知 A, B都可逆 . 故 AXB = C ? A?1AXB = A?1C ? XB = A?1C ? XBB?1 = A?1CB?1 ? X = A?1CB?1 . 因此 X = ? 2 1 4 ?2 ?3 1 1 2 3 3 0 1 2 1 2 6 ?4 ?3 ?6 5 2 2 ?2 4 20 ?14 ?1 ?10 7 = . 1 2 第二章 矩陣運(yùn)算和行列式 ? 167。 逆矩陣 3. 設(shè) A = [aij]n?n為方陣 , 元素 aij的代數(shù)余子式 為 Aij, 則稱如下矩陣 A* = A11 A21 … An1 A12 A22 … An2 … … … … A1n A2n … Ann 為方陣 A的 伴隨矩陣 . 命題 . 設(shè) A為方陣 , A*為其伴隨矩陣 . 則 AA* = A*A = |A|I. 由 定理 第二章 矩陣運(yùn)算和行列式 ? 167。 行列式的性質(zhì)及計(jì)算 ? a11 a12 a21 a22 a11 a12 a21+0 0+a22 = a11 a12 a21 0 = a11 a12 0 a22 + = ?a21a12+a11a22 = a21 行列式的性質(zhì)及計(jì)算 ? 注 : 互換第 k, l行記為 rk?rl, 互換第 k, l列記為 ck?cl. 推論 . 如果行列式 D中有兩行 (列 )完全相同 , 那么 D = 0. 性質(zhì) 3. 行列式的某一行 (列 )的公因子可以 提到行列式記號(hào)外 . 事實(shí)上 , 若行列式 D中有兩行完全相同 , 交換 這兩行 , 得 D = ? D. 因此 D = 0. 對(duì)于有兩列完全相同的情形 , 可類似地證明 . 第二章 矩陣運(yùn)算和行列式 167。 方陣的行列式 a11x1 + a12x2 = b1 a21x1 + a22x2 = b2 x1= b1a22?a12b2 a11a22?a12a21 有唯一確定的解 x2= a11a22?a12a21 a11b2?b1a21 問題 : ① 能用對(duì)角線法則定義四階行列式嗎 ? ② 用對(duì)角線法則定義的“四階行列式”有 用嗎 ? 第二章 矩陣運(yùn)算和行列式 ? 167。 矩陣及其運(yùn)算 ? ? 結(jié)合律的妙用之一 設(shè) A = BC, 其中 B = , C = [1 2 3], 1 2 3 1 2 3 2 4 6 , 3 6 9 則 A = 我們可以定義 A的 正整數(shù)冪 (還有“ 妙用 之二”喔 ~~~!) A1 = A, A2 = AA, …, Ak+1 = AkA, 對(duì)于這里的 A, A2022 = ? 當(dāng)然 , 對(duì)于任意方陣 A, 都可以像上面這樣去 定義 A的正整數(shù)冪 . 而且有如下結(jié)論 第二章 矩陣運(yùn)算和行列式 167。 a11 a12 … a1n a21 a22 … a2n … … … … am1 am2 … amn 注 : 元素都是實(shí) (復(fù) )數(shù)的矩陣稱為 實(shí) (復(fù) )矩陣 . 今后除非特別說明 , 我們所考慮的矩陣都 是實(shí)矩陣 . ? 例 1. 某廠家向三個(gè)代理商發(fā)送四種產(chǎn)品 . 南京 蘇州 常州啤酒( 瓶裝) 20 16 200 180 190啤酒( 易拉罐) 50 20 100 120 100干啤 30 16 150 160 140生啤 25 16 180 150 150重量( K g / 箱 )單價(jià)( 元 / 箱 )數(shù)量 ( 箱 )A = 20 50 30 25 16 20 16 16 B = 200 180 190 100 120 100 150 160 140 180 150 150 第二章 矩陣運(yùn)算和行列式 167。 矩陣及其運(yùn)算 ? 注 : ① 若矩陣 A = (aij)m?n的元素都是零 , 則稱之 為 零矩陣 , 記為 Om?n. 在不引起混淆的情況下 , 簡(jiǎn)記為 O. ② 設(shè)矩陣 A = (aij)m?n , 記 ?A = (?aij)m?n , 稱 之為 A的 負(fù)矩陣 . ③ 設(shè) A, B是同型矩陣 , 則它們的 差 定義為 A + (?B). 記為 A ? B. 即 A ?B = A + (?B). 第二章 矩陣運(yùn)算和行列式 167。 矩陣及其運(yùn)算 ? 例 6. 設(shè) A = cos? ?sin? sin? cos? , . 求證 An = cosn? ?sinn? sinn? cosn? 證明 : 當(dāng) n = 1時(shí) , 結(jié)論顯然成立 . 假設(shè)結(jié)論對(duì)于 n = k成立 , 即 . cosk? ?sink? sink? cosk? Ak = cos? ?sin? sin? cos? 則 Ak+1 = AkA cosk? ?sink? sink? cosk? = 第二章 矩陣運(yùn)算和行列式 167。 方陣的行列式 定理 . 每一個(gè)對(duì)換都改變排列的奇偶性 . ????????? ????????? ????????? 1 ????????? 2 ????????? 3 ????????? 4 ????????? 5 ????????? 6 ????????? 7 ????????? 8 9 ????????? ????????? 1 ????????? 2 ????????? 3 ????????? 4 ????????? 5 ????????? 6 ????????? 7 推論 . n?2時(shí) , n個(gè) 元素的所有排列中 , 奇、偶 排列各占一半 , 即各有 n!/2個(gè) . 第二章 矩陣運(yùn)算和行列式 ? 167。 行列式的性質(zhì)及計(jì)算 ? 注 : 用常數(shù) k乘行列式 D中的第 j行 (列 )再加到第 i行 (列 )上 , 記為 ri+krj (ci+kcj). 例 2. 1 2 ?4 (1) ?2 2 1 ?3 4 ?2 ?2 1 2 ?4 = 0 6 ?7 ?3 4 ?2 ?3 1 2 ?4 = 0 6 ?7 0 10 ?14 1 2 ?4 = 2 0 6 ?7 0 5 ?7 1 ?4 2 = ? 2 0 ?7 6 0 ?7 5 ?(? 1) 1 ?4 2 = ? 2 0 ?7 6 0 0 ?1 = ?14. ?(? ) 5 3 第二章 矩陣運(yùn)算和行列式 167。 行列式的性質(zhì)及計(jì)算 第二章 矩陣運(yùn)算和行列式 ? 一般地 , 在 n階行列式中 , 把元素 aij所在的第 i行 和第 j列劃去 , 留下來的 n?1階行列式叫做元素 aij的 余子式 , 記作 Mij, 令 Aij = (?1)i+jMij, 并稱之 為 aij的 代數(shù)余子式 . 例如 , 四階階行列式 中 a32的余子式為 a11 a12 a13 a14 a21 a22 a23 a24 a31 a32 a33 a34 a41 a42 a43