【正文】 d 0 a a+b a+b+c 0 a 2a+b 3a+2b+c 0 a 3a+b 6a+3b+c = ? (?1) ? (?1) ? (?1) a b c d 0 a a+b a+b+c 0 0 a 2a+b 0 0 a 3a+b = ? (?1) = a4. 第二章 矩陣運(yùn)算和行列式 167。 行列式的性質(zhì)及計(jì)算 ? 性質(zhì) 7. 方陣乘積的行列式等于方陣行列式的 乘積 , 即對(duì)于同階方陣 A, B, 有如下 乘 法公式 |AB| = |A||B|. 二 . 行列式按行 (列 )展開(kāi) a11 a12 a21 a22 a11+0 0+a12 a21 a22 = a11 0 a21 a22 = 0 a12 a21 a22 + = a11a22 ? a12a21 = a11( ?1)2+1a12 +a22 行列式的性質(zhì)及計(jì)算 第二章 矩陣運(yùn)算和行列式 ? 一般地 , 在 n階行列式中 , 把元素 aij所在的第 i行 和第 j列劃去 , 留下來(lái)的 n?1階行列式叫做元素 aij的 余子式 , 記作 Mij, 令 Aij = (?1)i+jMij, 并稱之 為 aij的 代數(shù)余子式 . 例如 , 四階階行列式 中 a32的余子式為 a11 a12 a13 a14 a21 a22 a23 a24 a31 a32 a33 a34 a41 a42 a43 a44 a11 a13 a14 a21 a23 a24 a41 a43 a44 M32= , 代數(shù)余子式 A32 = (?1)3+2M32 = ?M32. 167。 行列式的性質(zhì)及計(jì)算 例 5. 證明 n階級(jí) (n?2)范德蒙 (Vandermonde)行列式 Dn = 1 1 … 1 a1 a2 … an a12 a22 … an2 … … … … a1n1 a2n1 … an n1 = ? (ai? aj). n? i j ? 1 Dn = 1 1 … 1 a1 a2 … an a12 a22 … an2 … … … … a1n1 a2n1 … an n1 證明 :當(dāng) n =2時(shí) , D2 = (a2? a1). 現(xiàn)設(shè)等式對(duì)于 (n?1)階范德蒙行列式成立 , 則 ? (? a1) ? (? a1) ? (? a1) … 第二章 矩陣運(yùn)算和行列式 ? 167。 行列式的性質(zhì)及計(jì)算 命題 . n階行列式的某一行 (列 )元素與另一行 (列 ) 的對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和為零 . 即 ai1Aj1 + ai2Aj2 + … + ainAjn = 0 (i ? j) a1iA1j + a2iA2j + … + aniAnj = 0 (i ? j). 定理 n階行列式 D = |[aij]|, 則 ? aikAjk = D?ij , k=1 n ? akiAkj = D?ij . k=1 n ? ? 第二章 矩陣運(yùn)算和行列式 ? 167。 逆矩陣 事實(shí)上 , 由 AB=BA=I得 1 = |I| = |AB| = |A||B|. 命題 . 設(shè) A為方陣 , 若 A可逆 , 則 |A| ? 0. 4. 逆矩陣的存在性 定理 A可逆的充分必要條件是 |A| ? 0. 當(dāng) |A| ? 0時(shí) , 有 A?1 = |A| 1 A*. 注 . 設(shè) A為方陣 ,若 |A| = 0, 則稱之為 奇異 (或 退化 )矩陣 . 若 |A| ? 0, 則稱之為 非奇異 (或 非退化 )矩陣 . 可見(jiàn) , A可逆 ? |A| ? 0 ? A非奇異 (非退化 ). 第二章 矩陣運(yùn)算和行列式 ? 167。 逆矩陣 二 . 逆矩陣的運(yùn)算性質(zhì) 定理 A, B為同階可逆方陣 , 數(shù) k ? 0. 則 (1) (A?1)?1 = A, |A?1| = |A|?1. (2) (AT)?1 = (A?1)T. (3) (kA)?1 = k?1A?1. (4) (AB)?1 = B?1A?1. 例 9. 設(shè) A與 I?A都可逆 , G = (I?A)?1?I, 求證 G也 可逆 , 并求 G?1. 證明 : G = (I?A)?1? (I?A)?1(I?A) = (I?A)?1(I? (I?A)) = (I?A)?1A G?1 = A?1(I?A) = A?1 ?I. 第二章 矩陣運(yùn)算和行列式 ? 167。 逆矩陣 又因?yàn)?D ? 0時(shí) , A可逆 , 因而由 Ax = b可得 x =A?1b, 即 D ? 0時(shí) , Ax = b有唯一的解 . 于是可得 定理 (Cramer法則 ). 若系數(shù)行列式 D=|A|?0, x1 = D1 D , x2 = D2 D , …, xn = Dn D , 其中 Dj 是用 b替換 D的第 j列所得的行 列式 ( j = 1, 2, …, n). 則 線性方程組 Ax = b有唯一的解 第二章 矩陣運(yùn)算和行列式 ? 167。 逆矩陣 對(duì)于 n元線性方程組 ???????????????????nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa????????22112222212111212111 記 D = a11 a12 … a1n a21 a22 … a2n … … … … an1 an2 … ann , D1 = b1 a12 … a1n b2 a22 … a2n … … … … bn an2 … ann , D2 = a11 b1 … a1n a21 b2 … a2n … … … … an1 bn … ann , …, Dn = . a11 a12 … b1 a21 a22 … b2 … … … … an1 an2 … bn 第二章 矩陣運(yùn)算和行列式 ? 167。 逆矩陣 例 7. 求下列方陣的逆矩陣 . (1) A = 1 2 3 4 , 1 2 3 2 2 1 3 4 3 (2) B = . 解 : (1) A?1 = |A| 1 A* = ? 2 1 4 ?2 ?3 1 . (2) |B| = 2 ? 0, B?1 = |B| 1 B* B11 = (?1)1+1 2 1 4 3 = 2, B21 =6, B31 = ?4, B12 = ?3, B22 = ?6, B32 = 5, B13 = 2, B23 = 2, B33 = ?2. = 2 1 2 6 ?4 ?3 ?6 5 2 2 ?2 . 第二章 矩陣運(yùn)算和行列式 ? 167。 逆矩陣 一 . 可逆矩陣 1. 定義 : 設(shè) A為方陣 , 若存在方陣 B, 使得 AB=BA=I. 則稱 A可逆 , 并稱 B為 A的 逆矩陣 . 2. 逆矩陣的唯一性 事實(shí)上 , 若 AB=BA=I, AC=CA=I, 則 B = BI = B(AC) = (BA)C = IC = C. 今后我們把可逆矩陣 A的逆矩陣記為 A?1. 命題 . 設(shè)方陣 A可逆 , 則其逆矩陣是唯一的 . 第二章 矩陣運(yùn)算和行列式 ? 167。 行列式的性質(zhì)及計(jì)算 第二章 矩陣運(yùn)算和行列式 ? 167。 行列式的性質(zhì)及計(jì)算 第二章 矩陣運(yùn)算和行列式 ? 例 4. 計(jì)算 D2n = . 167。 行列式的性質(zhì)及計(jì)算 第二章 矩陣運(yùn)算和行列式 ? a12 a13 a22 a23 =a31(?1)2 a11 a13 a21 a23 +a32(?1)2+1 a11 a12 a21 a22 +a33(?1)2+2 a12 a13 a22 a23 =a31(?1)3+1 a11 a13 a21 a23 +a32(?1)3+2 a11 a12 a21 a22 +a33(?1)3+3 a31 0 0 a11 a12 a13 a21 a22 a23 = (?1)2 a32 0 0 a12 a11 a13 a22 a21 a23 +(?1)2+1 a33 0 0 a13 a11 a12 a23 a21 a22 +(?1)2+2 應(yīng)用本節(jié)的 例 3 167。( ?1)1+2a21 第二章 矩陣運(yùn)算和行列式 167。 行列式的性質(zhì)及計(jì)算 ? 例 3. 設(shè) D = a11 … a1m am1 … amm D1 = … … , 證明 : D = D1D2. 證明 : 對(duì) D1施行 ri+krj 這類(lèi)運(yùn)算 , 把 D1化為下三 角形行列式 : = p11 pm1 … pmm … . . . = p11 … pmm , b11 … b1n bn1 … bnn D2 = , … … a11 … a1m 0 … 0 … … … … … … … … , am1 … amm 0 … 0 c11 … c1m b11 … b1n 1 … m bn1 … bnn a11 … a1m am1 … amm D1 = … … 應(yīng)用 ? 第二章 矩陣運(yùn)算和行列式 167。 行列式的性質(zhì)及計(jì)算 ? = 5 1 1 0 0 0 4 1 ?1 0 0 3 ?4 0 0 ?1 2 ?3 = 5 1 1 0 0 0 4 1 ?1 0 0 0 2 0 0 ?1 2 = ? 5 1 1 0 0 0 4 1 ?1 0 0 ?1 2 0 0 0 2 = 40. = 5 1 1 0 0 0 2 1 ?1 0 ?6 3 ?4 0 2 ?1 2 ?2 第二章 矩陣運(yùn)算和行列式 167。 行列式的性質(zhì)及計(jì)算 ? 例 1. a11 a12 a13 a14 a21 a22 a23 a24 0 0 a33 0 a41 a42 a43 a44 + a11 a12 a13 a14 a21 a22 a23 a24 a31 a32 a33 a34 a41 a42 a43 a44 D = a11 a12 a13 a14 a21 a22 a23 a24 0 a32 0 0 a41 a42 a43 a44 + a11 a12 a13 a14 a21 a22 a23 a24 a31 0 0 0 a41 a42 a43 a44 = a11 a12 a13 a14 a21 a22 a23 a24 0 0 0 a34 a41 a42 a43 a44 + a11 a12 a13 a14 a21 a22