【正文】 0 0 1 ?1 ?2 2 1 2 1 2 = ?3 3 ?3 3 第二章 矩陣運(yùn)算和行列式 167。 矩陣及其運(yùn)算 ? 三 . 矩陣與矩陣相乘 例 4. 某廠家向三個代理商發(fā)送四種產(chǎn)品 . 南京 蘇州 常州啤酒( 瓶裝) 20 16 200 180 190啤酒( 易拉罐) 50 20 100 120 100干啤 30 16 150 160 140生啤 25 16 180 150 15018000 18150 1675010480 10240 9680數(shù)量 ( 箱 )總價( 元)總重( K g )重量( K g / 箱 )單價( 元 / 箱 )A = 20 50 30 25 16 20 16 16 B = 200 180 190 100 120 100 150 160 140 180 150 150 第二章 矩陣運(yùn)算和行列式 167。 矩陣及其運(yùn)算 ? 4. 兩個矩陣的行數(shù)相等 , 列數(shù)也相等時 , 稱 它們是 同型矩陣 . 5. 若兩個同型矩陣 A = [aij]m?n與 B = [bij]m?n 滿足 : 對于任意的 1? i ? m, 1? j ? n, aij = bij都成立 , 則稱這兩個矩陣 相等 , 記 為 A = B. 二 . 矩陣的線性運(yùn)算 1. 加法 兩個同型矩陣 A = [aij]m?n與 B = [bij]m?n的 和 C定義為 : C = [cij]m?n = [aij+bij]m?n. 第二章 矩陣運(yùn)算和行列式 167。 a11 a12 … a1n a21 a22 … a2n … … … … am1 am2 … amn 注 : 元素都是實(shí) (復(fù) )數(shù)的矩陣稱為 實(shí) (復(fù) )矩陣 . 今后除非特別說明 , 我們所考慮的矩陣都 是實(shí)矩陣 . ? 例 1. 某廠家向三個代理商發(fā)送四種產(chǎn)品 . 南京 蘇州 常州啤酒( 瓶裝) 20 16 200 180 190啤酒( 易拉罐) 50 20 100 120 100干啤 30 16 150 160 140生啤 25 16 180 150 150重量( K g / 箱 )單價( 元 / 箱 )數(shù)量 ( 箱 )A = 20 50 30 25 16 20 16 16 B = 200 180 190 100 120 100 150 160 140 180 150 150 第二章 矩陣運(yùn)算和行列式 167。 矩陣及其運(yùn)算 一 . 矩陣與向量 1. m?n矩陣 元素 : aij (i = 1, …, m, j = 1, …, n) ? 167。 167。 矩陣及其運(yùn)算 第二章 矩陣運(yùn)算和行列式 167。 矩陣及其運(yùn)算 ? 注 : ① 若矩陣 A = (aij)m?n的元素都是零 , 則稱之 為 零矩陣 , 記為 Om?n. 在不引起混淆的情況下 , 簡記為 O. ② 設(shè)矩陣 A = (aij)m?n , 記 ?A = (?aij)m?n , 稱 之為 A的 負(fù)矩陣 . ③ 設(shè) A, B是同型矩陣 , 則它們的 差 定義為 A + (?B). 記為 A ? B. 即 A ?B = A + (?B). 第二章 矩陣運(yùn)算和行列式 167。 矩陣及其運(yùn)算 ? 例 5. 四個城市間的單向航線如圖所示 . 若 aij表示從 i市直達(dá) j市航線的條數(shù) , 則右圖可用矩陣表示為 1 4 2 3 A = (aij) = 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 若 bij表示從 i市經(jīng)另外一個城市到 j市航線的條數(shù) , 則由右圖可得矩陣 B = (bij) = 2 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 2 1 1 1 2 3 4 i j 其中 bij = ai1a1j + ai2a2j + ai3a3j + ai4a4j . 第二章 矩陣運(yùn)算和行列式 167。 矩陣及其運(yùn)算 ? 定理 設(shè) k是數(shù) , 矩陣 A, B, C 使以下各式中 一端有意義 , 則另一端也有意義并且 等式成立 (1) (AB)C = A(BC), (2) A(B+C) = AB + AC, (A+B)C = AC+BC, (3) (kA)B = k(AB). 對于 (1)的證明 , 我們先來看一個具體的例子 : a11 a12 a13 a21 a22 a23 如 A= , b11 b12 b21 b22 b31 b32 B = , c11 c12 c21 c22 C = . 第二章 矩陣運(yùn)算和行列式 167。 矩陣及其運(yùn)算 ? AkAl = Ak+l, (Ak)l = Akl (AB)k = AkBk 但即使 A與 B是同階方陣 , 也未必成立 ! 注 : 不能說 “因?yàn)?AB = BA未必成立 , 所以 (AB)k = AkBk 未必成立” . 例如 A = 0 1 0 0 , B = 1 0 0 0 , AB = 0 0 0 0 , BA = 0 1 0 0 , AB ? BA, 但 (AB)k = AkBk成立 . 第二章 矩陣運(yùn)算和行列式 167。 矩陣及其運(yùn)算 ? 例 6. 設(shè) A = cos? ?sin? sin? cos? , . 求證 An = cosn? ?sinn? sinn? cosn? 證明 : 當(dāng) n = 1時 , 結(jié)論顯然成立 . 假設(shè)結(jié)論對于 n = k成立 , 即 . cosk? ?sink? sink? cosk? Ak = cos? ?sin? sin? cos? 則 Ak+1 = AkA cosk? ?sink? sink? cosk? = 第二章 矩陣運(yùn)算和行列式 167。 矩陣及其運(yùn)算 ? 2. 對角矩陣 方陣 A = [aij]n?n的 a11, a22, …, ann稱為 對角線 元素 . 若方陣 A = [aij]n?n除了對角線元素 (可能不是 0)以外 , 其它元素都是 0, 則稱 A為 對角矩陣 . 對角線元素依次為 ?1, ?2, …, ?n的對角矩陣 ? 有時也記為 ? = diag[?1, ?2, …, ?n], 即 ? = diag[?1, ?2, …, ?n] = ?1 0 … 0 0 ?2 … 0 ? ? ? ? 0 0 … ?n . 第二章 矩陣運(yùn)算和行列式 167。 矩陣及其運(yùn)算 ? 六 . 方陣的多項(xiàng)式 設(shè) A為一個方陣 , f(x)為一個多項(xiàng)式 稱之為 方陣 A的一個多項(xiàng)式 . f(x) = asxs + as?1xs?1 + … + a1x + a0 規(guī)定 f(A) = asAs + as?1As?1 + … + a1A + a0I 5. 反對稱矩陣 若矩陣 A滿足 AT = ?A, 則稱 A為 反對稱矩陣 . 可以證明任何一個方陣都可以寫成一個對 稱矩陣與一個反對稱矩陣的和 . 第二章 矩陣運(yùn)算和行列式 167。 方陣的行列式 1 1 0 0 1 2 0 0 0 0 1 ?1 0 0 1 2 仿照三階行列式的對角線法則可得 = 1?2?1?2 ? 1?1?(?1)?1 = 4+1 = 5. 3 1 0 0 5 2 0 0 0 0 1 ?1 3 0 1 2 = 3?2?1?2 ? 1?5?(?1)?1 = 12+5 = 17. 但方程組 ? ? ? x1 + x2 = 3 x1 + 2x2 = 5 x3 ? x4 = 0 x3 + 2x4 = 3 有唯一解 ? ? ? x1 = 1 x2 = 2 x3 = 1 x4 = 1 ? 17 5 ? 第二章 矩陣運(yùn)算和行列式 ? 167。 方陣的行列式 定理 . 每一個對換都改變排列的奇偶性 . ????????? ????????? ????????? 1 ????????? 2 ????????? 3 ????????? 4 ????????? 5 ????????? 6 ????????? 7 ????????? 8 9 ????????? ????????? 1 ????????? 2 ????????? 3 ????????? 4 ????????? 5 ????????? 6 ????????? 7 推論 . n?2時 , n個 元素的所有排列中 , 奇、偶 排列各占一半 , 即各有 n!/2個 . 第二章 矩陣運(yùn)算和行列式 ? 167。 方陣的行列式 第二章 矩陣運(yùn)算和行列式 ? (2) 上 (下 )三角形行列式 a11 a12 … a1n 0 a22 … a2n … … … … 0 0 … ann a11 0 … 0 a21 a22 … 0 … … … … an1 an2 … ann = a11 a22… ann . = a11 a22… ann . 事實(shí)上 , 只有 pi ? i (i = 1,2,… n)時 , nnppp aaa ?21 21才有可能不為 0. 若有某個 pk k, 則必然有 若有某個 pl l, 否則 1+2+…+ n = p1+p2+…+ pn 1+2+…+ n, 矛盾 ! 167。 行列式的性質(zhì)及計(jì)算 167。 行列式的性質(zhì)及計(jì)算 ? a11 a12 … a1n ka21 ka22 … ka2n … … … … an1 an2 … ann 例如 ? ?? nn npppppppt aakaa ?? 32121 321)( )()1(? ?? nn nppppppt aaak ?? 2121 21)()1(a11 a12 … a1n a21 a22 … a2n … … … … an1 an2 … ann =k . 第二章 矩陣運(yùn)算和行列式 167。 行列式的性質(zhì)及計(jì)算 ? 注 : 用常數(shù) k乘行列式 D中的第 j行 (列 )再加到第 i行 (列 )上 , 記為 ri+krj (ci+kcj). 例 2. 1 2 ?4 (1) ?2 2 1 ?3 4 ?2 ?2 1 2 ?4 = 0 6 ?7 ?3 4 ?2 ?3 1 2 ?4 = 0 6 ?7 0 10 ?14 1 2 ?4 = 2 0 6 ?7 0 5 ?7 1 ?4 2 = ? 2 0 ?7 6 0 ?7 5 ?(? 1) 1 ?4 2 = ? 2 0 ?7 6 0 0 ?1 = ?14. ?(? ) 5 3 第二章 矩陣運(yùn)算和行列式 167。 行列式的性質(zhì)及計(jì)算 ? a b c d a a+b a+b+c a+b+c+d a 2a+b 3a+2b+c 4a+3b+2c+d a 3a+b 6a+3b+c 10a+6b+3c+d (4) a b c