【正文】 ? nbabna例 3 nnnnnknkkkkkbbbbccccaaaaD????????????1111111111110?設(shè),)d e t (11111kkkkijaaaaaD?????? ,)d e t (11112nnnnijbbbbbD??????.21 DDD ?證明 證明 。 即 的符號為 nnppp aaa ?21 21 ? ? .1 t?例 1 計算對角行列式 0004003002001000分析 展開式中項的一般形式是 4321 4321 pppp aaaa41 ?p若 ,011 ?? pa從而這個項為零， 所以 只能等于 , 1p 4同理可得 1,2,3 432 ??? ppp解 0004003002001000? ? ? ? 43211 4321 ????? t .24?即行列式中不為零的項為 .aaaa 41322314例 2 計算上 三角行列式 nnnnaaaaaa??????????00022211211分析 展開式中項的一般形式是 .21 21 nnppp aaa ?,npn ? ,11 ??? np n ,1,2,3 123 ????? ppnp n ?所以不為零的項只有 .2211 nnaaa ?nnnnaaaaaa??????????00022211211?? ? ? ? nnnt aaa ?? 2211121??.2211 nnaaa ??解 例 3 ?8000650012404321??D443322118000650012404321aaaaD ??.16 08541 ?????同理可得 下三角行列式 nnnnnaaaaaaa???????????32122211100000.2211 nnaaa ??n????21? ? ? ? .1 212 1 nnn ??? ????。 n !n 一階行列式 不要與絕對值記號相混淆 , 例如 |1|=1。 （ 而且是 p個不同的偶排列 ） 因為總共有 q 個偶排列，所以 pq?同理 ,qp? 所以 !2npq??四、 n階行列式的定義 觀察三階行列式 333231232221131211aaaaaaaaaD ?322113312312332211 aaaaaaaaa ???332112322311312213 aaaaaaaaa ???尋找規(guī)律 （ 1）三階行列式共有 項，即 項． 6 !3（ 2）每項都是位于不同行不同列的三個元素的 乘積． （ 3）每項的正負號都取決于位于不同行不同列 的三個元素的下標排列． 例如 322113 aaa 列標排列的逆序數(shù)為 ? ? ,211312 ???t322311 aaa 列標排列的逆序數(shù)為 ? ? ,101132 ???t偶排列 奇排列 正號?,負號?.)1(321 321333231232221131211? ??? pppt aaaaaaaaaaaannnnnnnppptaaaaaaaaaDaaannnn???????212222111211212.)1(21???記作的代數(shù)和個元素的乘積取自不同行不同列的階行列式等于所有個數(shù)組成的由定義 ).de t ( ija簡記作 的元素．稱為行列式數(shù) )de t ( ijij aa為這個排列的逆序數(shù)．的一個排列，為自然數(shù)其中tnppp n ?? 2121? ?? ?nnnnppppppppptnnnnnnaaaaaaaaaaaaD?????????????212121212122221112111? ???說明 行列式是一種特定的算式，它是根據(jù)求解方程個數(shù)和未知量個數(shù)相同的一次方程組的需要而定義的 。 推論： n個數(shù)的所有排列中 一半，各為 !2n 個 。 再考慮非相鄰對換的情形。 設(shè) n級排列 11mli i abj j經(jīng)相鄰對換變成 11mli i baj j顯然，這一變化只使 a,b兩數(shù)間的“序”發(fā)生變化。 定理 經(jīng)一次對換改變排列的奇偶性 。 將相鄰的兩個數(shù)對換，稱為 相鄰對換。 4的前面比 4大的數(shù)有 1個 ,故逆序數(shù)為 1。 3 2 5 1 4 0 1 0 3 1于是排列 32514的逆序數(shù)為 13010 ?????t .5?5的前面沒有比 5大的數(shù) ,其逆序數(shù)為 0。 逆序數(shù)為偶數(shù)的排列稱為 偶排列 . 排列的奇偶性 分別計算出排列中每個元素前面比它大的數(shù)碼 個數(shù)之和，即算出排列中每個元素的逆序數(shù)， 這每個元素的逆序數(shù)之總和即為所求排列的逆 序數(shù) . 方法 2 例 1 求排列 32514的逆序數(shù) . 解 在排列 32514中 , 3排在首位 ,逆序數(shù)為 0。,333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa,3333123221131112abaabaabaD ?得 ??????????????。,333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa,3333123221131112abaabaabaD ?得 ??????????????。,333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa,3332323222131211aabaabaabD ?記 ,3332323222131211aabaabaabD ?即 ??????????????。,333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa的系數(shù)行列式 333231232221131211aaaaaaaaaD ?,0? 利用三階行列式求解三元線性方程組 2. 三階行列式包括 3!項 ,每一項都是位于不同行 , 不同列的三個元素的乘積 ,其中三項為正 ,三項為 負 . ??????????????。 Cramer 法則 }} 行列式的基本性質(zhì) 及計算方法 利用行列式求解線性方程組 {第一章 行列式 用消元法解二元線性方程組 ???????.,22221211212111bxaxabxaxa ??1??2? ? :1 22a? ,2212221212211 abxaaxaa ??? ? :2 12a? ,1222221212112 abxaaxaa ??，得兩式相減消去 2x一、二階行列式的引入 。 行列式的性質(zhì) 167。目 錄 ? 第一章 n 階行列式 ? 第二章 矩陣 ? 第三章 線性方程組 ? 第四章 線性空間 ? 第五章 矩陣的特征值與特征向量 ? 第六章 二次型 167。 n 階行列式 排列與逆序 n 階行列式的定義 167。 行列式按行（列）展開定理 167。212221121122211 baabxaaaa ??? ）（，得類似地，消去 1x,211211221122211 abbaxaaaa ??? ）（時，當 021122211 ?? aaaa 方程組的解為 ，211222112122211 aaaabaabx??? ）（ 3.211222112112112 aaaaabbax???由方程組的四個系數(shù)確定 . 由四個數(shù)排成二行二列