高等代數(shù)--第一章行列式(參考版)
2024-12-10 18:39本頁面
【正文】 ????????002121xxxx??1???0111 2??? ???。 ? 解 系數(shù)行列式為 所以，當(dāng) 時，方程組有非零解。（ 5）式左端， 上式用了定理 3 ? ??? ???niniikinjjijik AbcaA1 11kD1 1 1 1 1 1()n n n n n ni k i j j i j i k j i j i k j ki j i j j iA a c a A c a A c D c? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ?1,0,nij ikiD j kaAjk???? ????于是（ 8）即為 也就是 這就說明方程組最多有一組解。 11 1 , 1 1 1 , 1 121 2 , 1 2 2 , 1 21 , 1 , 1j j nj j njn n j n n j nna a b a aa a b a aDa a b a a????????方程組有解； ?解是唯一的； ?解由公式（ 2）給出 定理中包含三個結(jié)論 證明 把方程（ 1）簡寫成 （ 3） nibxainjjij,2,1,1?????首先證明（ 2）的確是（ 1）的解 . 把（ 2）代 入第 i 個方程左端為 因為 所以 1 1 2 21nj j j n n j s s jsD b A b A b A b A?? ? ? ? ? ?111nn jij ij jjjDa a DDD????? 所以公式（ 2）確為方程（ 1）的解。 44434241343332312423222114131211aaaaaaaaaaaaaaaaD ?23211311aaaaD ?44423432aaaaD ?? 定義 8 設(shè) D的 k級子式 M在 D中所在的行、列指標(biāo)分別為 ，則 稱為 M的代數(shù)余子式 ? 引理 行列式 D的任一個子式 M與它的代數(shù)余子式 A的乘積中的每一項都是行列式 D的展開式中的一項，而且符號也一致。 naaa , 21 ?Laplace 定理 ? 定義 7 在一個 n級行列式 D中任意選定 k行 k列 (k≤n). 位于這些行和列的交點上的 個元素按照原來的次序組成一個 k級行列式 M， 稱為行列式 D的一個 k級子式 . 在 D中劃去這 k行 k列后余下的元素按照原來的次序組成的 nk級行列式稱為 k級子式 M的余子式 . 記為 ? 從定義可以看出， M也是 的余子 式 。假設(shè) n1階成立， 現(xiàn)證明 n階也成立。 ? 例 1 行列式 ?????053200414001320252710213553204140132021352)1(52?????? ? 例 2 Vandermonde行列式 1 0 8 043241413252 ????????1 2 32 2 2 21 2 311 1 1 11 2 31 1 1 1()nn i jj i nn n n nna a a aD a a a a a aa a a a? ? ?? ? ? ?? ? ??? 證明 用數(shù)學(xué)歸納法。 njiaa jiij ,2,1, ????nia ii ,2,1,0 ???iiii aa ??0000)1(00000000321323132231211312321323132231211312321323132231211312???????????????????????????nnnnnnnnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa?????????????????????167。 4 n階行列式的性質(zhì) ? 按行列式的定義計算行列式，要算 n!項，計算需 n!(n1)個乘法，所以按定義計算幾乎是不可能的 . ? 性質(zhì) 17 ? 運用性質(zhì)計算行列式 ? 性質(zhì) 1 行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等 nnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaaa??????????????212221212111212222111211?? 性質(zhì) 2 行列式某一行有公因子，可以提出去，即 nnnniniinnnnniniinaaaaaaaaakaaakakakaaaa??????????????????????212111211212111211?? 推論 行列式中一行為零，值為零 . ? 性質(zhì) 3 nnnnnnnnnnnnnnnnnnnaaacccaaaaaabbbaaaaaacbcbcbaaa?????????????????????????????????2
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