【正文】 0?D．齊次線性方程組解的定理 定理 如果齊次線性方程組 ()的系數(shù)行列式 ,則它僅有零解 . 0?D練習選講： 例 1 用克萊姆法則解方程組?????????????????????.0674,522,963,85243214324214321xxxxxxxxxxxxxx例 2 設曲線 332210 xaxaxaay ???? 通過四點 )3,1( 、)4,2(、 )3,3( 、 )3,4( ? , 求系數(shù) ., 3210 aaaa。 0?D例 解線性方程組 ??????????????????????067452296385243214324214321xxxxxxxxxxxxxx解：這個方程組的行列式 276741212060311512??????D因為 ，我們可以應用克拉默規(guī)則。這就是說， （ 2）是方程組（ 1）得解。 我們證明（ 2）是（ 1）的解。 n??? ?， 21 當 時，方程組（ 3）有唯一解，就是（ 2）。那么在（ 1）中把 代以 ，就得到一組等式。 如果線性方程組（ ）的常數(shù)項為零，即 ???????????????????000221122221211212111nnnnnnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa??????稱為齊次線性方程組。 3熟練掌握齊次線性方程組解的定理 三、重點難點： 利用克萊姆法則求線性方程組的解及證明一些相關問題。如此繼續(xù)下去，最后得 2?nD)()()()())((1223111312????????????nnnnnnaaaaaaDaaaaaaD????????練習題： 例 1 計算行列式 .5021011321014321????D例 2 計算行列式 .5021011321014321????D例 3 計算行列式 .0532004140013202527102135?????D21)1(????nnx .11213112211132114321???xxxxxxnxxnxnn????????????例 4 求證例 5 證明范德蒙德 ( V a n d e rm o n d e 行列式,)(1111112112222121??????????jinjinnnnnnnxxxxxxxxxxxD???????)其中記號“ ”表示全體同類因子的乘積 .?例 6 設 ,3142313150111253???????D D 中元素ija 的余子式和代數(shù)余子式依次記作 ijM 和 ijA , 求14131211AAAA ??? 及41312111MMMM ??? .例 7 .2100321003210032的值用拉普拉斯定理求行列式 克拉默法則 一、內(nèi)容分布 二、教學目的： 。 n?1??n1)1( ?? n 所以 nnn ax ???? ? 1這個式子對于任何 都成立，因此有 ( 2)nn ?nnnnnnnnnnnnnaxaxaxaxaxaaxxax???????????????????????????12211122121 )(??????但 ,所以 111 axax ????? nnnn axax ????? ? ?111a由最后一行開始，每一行減去它的相鄰的前一行乘以 ，得 例 6 計算四階行列式 112112222121111????nnnnnnnaaaaaaaaaD????????這個行列式叫做一個 n階范德蒙德 (Vandermonde)行列式 . 22322223223211312111)())((???????nnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaD?????????)()()(0)()()(0011111213231222113312211312aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaDnnnnnnnnn??????????????????????由定理 )()()()()()(1213231222113312211312aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaDnnnnnnnnn????????????? ???????提取每列的公因子后，得 最后的因子是一個 n1階的范德蒙德行列式?？葱辛惺? )()(.212121112111jiaaaaaaaaaaaaDnnnniniiiniin????????????????? 的第 i行與第 j行完全相同，所以 =0。因此，每一行列式的第 i行的元素的代數(shù)余子式與 D的第 i行的對應元素的代數(shù)余子式相同。 定理 n階行列式 等于它的任意一行(列 )的各元素與其對應代數(shù)余子式乘積的和 , 即 ijDa?),2,1(2211 niAaAaAaD ininiiii ?? ?????),2,1(2211 njAaAaAaD njnjjjjj ?? ?????證 我們只對行來證明，即證明（ 3），先把行列式D寫成以下形式： nnnniniinaaaaaaaaaD??????????????212111211000000 ??????????也就是說，把 D的第 i行的每一元素寫成 n項的和。然后再把第j列依次與第 j－ 1， j－ 2， … ， 2， 1列交換，一共經(jīng)過了 j－ 1次交換兩列的步驟， 就被交換到第一行與第一列的位置上，這時， D變?yōu)橄旅嫘问降男辛惺剑? ijaijannjnjnnnjnijijiijinijijiijinjjjijaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaD????????????????????????1,1,1,11,11,11,1,1,11,11,11,1,111,11,111110000??????????????????? 是由 D經(jīng)過（ i－ 1） +(j－ 1)次換行換列的步驟而得到的。所以 1111Ma11Mnjjj , 32 ?11M11M ))1()1(( 2)1( ??? njj ??))1()1(()( 22 ??? nn jjjj ?? ??1111Ma 1111 MaD ?2) 現(xiàn)在我們來看一般的情形，設 nnjnnjjnnijnjjjaaaaaaaaaaaD????????????????????1,1,111,111,1110000?????ija 我們變動行列式 D的行列，使 位于第一行 與第一列，并且保持 的余子式不變。乘積（ 1）在元素既然位在 D的 第 2， 3， … ， n行與在第 列，因此它位在 的第 1， 2， … ， n－１行與列，所以（ 1）在 中的符號應該是 。這就是說， D的每一項都是 與它的子式 的某一項的乘積，又 的不同項是 D的不同項，因此 D與 有相同的項。 證 設給定行列式 nnnnnnaaaaaaaaaD???????212222111211?把 D的第 j行的元素乘以