【正文】 aaaaaaDnnnnnnnnn??????????????????????由定理 )()()()()()(1213231222113312211312aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaDnnnnnnnnn????????????? ???????提取每列的公因子后，得 最后的因子是一個(gè) n1階的范德蒙德行列式。我們用 代表它： 1?nD111312 )())(( ????? nnn DaaaaaaD ?同樣得 2224231 )())(( ?? ???? nnn DaaaaaaD ?此處 是一個(gè) n2階的范德蒙德行列式。如此繼續(xù)下去，最后得 2?nD)()()()())((1223111312????????????nnnnnnaaaaaaDaaaaaaD????????練習(xí)題： 例 1 計(jì)算行列式 .5021011321014321????D例 2 計(jì)算行列式 .5021011321014321????D例 3 計(jì)算行列式 .0532004140013202527102135?????D21)1(????nnx .11213112211132114321???xxxxxxnxxnxnn????????????例 4 求證例 5 證明范德蒙德 ( V a n d e rm o n d e 行列式,)(1111112112222121??????????jinjinnnnnnnxxxxxxxxxxxD???????)其中記號(hào)“ ”表示全體同類因子的乘積 .?例 6 設(shè) ,3142313150111253???????D D 中元素ija 的余子式和代數(shù)余子式依次記作 ijM 和 ijA , 求14131211AAAA ??? 及41312111MMMM ??? .例 7 .2100321003210032的值用拉普拉斯定理求行列式 克拉默法則 一、內(nèi)容分布 二、教學(xué)目的： 。 。 3熟練掌握齊次線性方程組解的定理 三、重點(diǎn)難點(diǎn)： 利用克萊姆法則求線性方程組的解及證明一些相關(guān)問題。 含有 n 個(gè)方程的 n 元線性方程組的一般形式為 ???????????????????nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa??????22112222212111212111（ ） 它的系數(shù) 構(gòu)成的行列式 ),2,1,( njia ij ??nnnnnnaaaaaaaaaD???????212222111211? （ ） 稱為方程組（ ）的系數(shù)行列式。 如果線性方程組（ ）的常數(shù)項(xiàng)為零，即 ???????????????????000221122221211212111nnnnnnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa??????稱為齊次線性方程組。 ．克萊姆法則 定理 (克萊姆法則 ) 線性方程組 ()當(dāng)其系數(shù)行列式 時(shí) ,有且僅有唯一解 0?D, 2211 DDxDDxDDx nn ??? ?此處 是將系數(shù)行列式中第 j列的元素對(duì)應(yīng)地?fù)Q為方程組的常數(shù)項(xiàng) 后得到的 n 階行列式 . jDnbbb , 21 ?證 時(shí)是顯然的 .設(shè) .令是整數(shù) 1， 2， … ，中的任意一個(gè) .分別以 乘方程組（ 1）的第一，第二， … ，第個(gè) 方程，然后相加，得 1?n 1?nnjjj AAA ，， ?21n11221111 )( xAaAaAa njnjj ??? ??????????????jnjnjjjjj xAaAaAa )( 2211 ???? ??????????????nnjnnjnjn xAaAaAa )( 2211 ???? ?njnjj AbAbAb ???? ?2211jx由定理 ， 的系數(shù)等于 D而 的系數(shù)都是零；因此等式左端等于 ，而等式右端剛好是 階行列式 )( jixi ?jDxnnnnnnnjaaabababaD???????????211221111?這樣，我們得到 jj DDx ?令 我們得到方程組 ，， nj ?21?.2211 nn DDxDDxDDx ?? ，＝，（ 3） ix方程組（ 1）的每一解都是方程組（ 3）的解 .事實(shí)上，設(shè) 是方程組（ 1）的一個(gè)解。那么在（ 1）中把 代以 ，就得到一組等式。對(duì)于這一組等式施以由方程組（ 1）到方程組（ 3）的變換，顯然得到下面的一組等式： n??? ?， 21)21( nii ，， ???.2211 nn DDDDDD ?? ??? ，＝，這就是說， 也是方程組（ 3）的一解。 n??? ?， 21 當(dāng) 時(shí)，方程組（ 3）有唯一解，就是（ 2）。因此方程組（ 1）也最多有這一個(gè)解。 我們證明（ 2）是（ 1）的解。為此，把（ 2）代入方程組（ 1），那么（ 1）的第 個(gè)方程的左端變?yōu)? )21( nii ，， ??0?D，DDaDDaDDa ninii ??? ?2211而 .,2,122111 njAbAbAbD njnjj ?? ????? ，計(jì)算出來，我們得到 DAbAbAb nniii1)(111111 ??? ?????? ????? DAbAbAb nniii 1)( 221212?DAbAbAb nnnininin1)(11 ???? ?????? ????? DAaAaAab ninii 1)( 11221111??? ????? DAaAaAab ininiiiii 1)( 2211inninninin bDAaAaAab ?????1)(2211 ??這里我們應(yīng)用了定理 。這就是說， （ 2）是方程組（ 1）得解。 因此，當(dāng) 時(shí)，方程組（ 1）有且僅有一個(gè)解，這個(gè)解由公式（ 2）給出。 0?D例 解線性方程組 ??????????????????????067452296385243214324214321xxxxxxxxxxxxxx解：這個(gè)方程組的行列式 276741212060311512??????D因?yàn)? ，我們可以應(yīng)用克拉默規(guī)則。再計(jì)算以下的行列式： 0?D8167402125603915181 ???????D10867012150608115822 ???????D2760412520693118123 ?????D2707415120903185124 ???????D由克拉默規(guī)則，得方程組的解是 1,1,4,3 4321 ?????? xxxx注意：克拉默規(guī)則只有在 時(shí)才能應(yīng)用。 0?D．齊次線性方程組解的定理 定理 如果齊次線性方程組 ()的系數(shù)行列式 ,則它僅有零解 . 0?D練習(xí)選講： 例 1 用克萊姆法則解方程組?????????????????????.0674,522,963,85243214324214321xxxxxxxxxxxxxx例 2 設(shè)曲線 332210 xaxaxaay ???? 通過四點(diǎn) )3,1( 、)4,2(、 )3,3( 、 )3,4( ? , 求系數(shù) ., 3210 aaaa