【正文】 a M? ? ? ?1 1 01 0 3 80 2 0????0 1 00 4 3 83 2 0?????0 1 05 4 0 8300???0 1 16 4 0 33 0 2?????1 6 5 2 4 6 9 8? ? ? ? ? ?解 2： 按行列式第 2列展開，得 1 0 5 60 1 1 04 0 3 83 0 2 0D????1 2 1 2 2 2 2 2 3 2 3 2 4 2 4 2D a A a A a A a A? ? ? ?1 2 1 2 2 2 2 2 3 2 3 2 4 2 4 2a M a M a M a M? ? ? ? ?1 2 2 2 3 2 4 20 1 0 0M M M M? ? ? ? ? ? ? ? ?22M?1 5 64 3 83 2 0??? 1 2 0 4 8 5 4 1 6 9 8? ? ? ? ? ? ? 顯然，解 2比解 1要簡單。按行 (列 )展開尋找 0多的行(列 )展開，或者利用性質(zhì)將行列式的某行 (列 )化為只有一個非零元素后再展開。 例 計算行列式 解 當(dāng) x＝ 0 或 y＝ 0時，顯然 D＝ 0，現(xiàn)假設(shè) x≠ 0，且 y≠0 ，由引理知 返回 上一頁 下一頁 推論 行列式一行 (列 )的元素與另一行 (列 )的對應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零 ,即 證 返回 上一頁 下一頁 當(dāng) i?j,將式中 ajk換成 aik(k=1,2,…,n ),可得 同理可證 返回 上一頁 下一頁 代數(shù)余子式的重要性質(zhì) : 返回 上一頁 下一頁 例 計算 n階行列式 (遞推公式法 ) 解 由行列式 Dn可知 將 Dn按第 1列展開 返回 上一頁 下一頁 這個式子對任何 n(n?2) 都成立 ,故有 返回 上一頁 下一頁 證 用數(shù)學(xué)歸納法 21211xxD ?? 12 xx ?? ,)(12 ? ??? ?? ji ji xx）式成立．時（當(dāng) 12?? n例 證明范德蒙德 (Vandermonde)行列式 ??????????1112112222121).(111jinjinnnnnnnxxxxxxxxxxxD???????)1(，階范德蒙德行列式成立）對于假設(shè)（ 11 ?n)()()(0)()()(0011111213231222113312211312xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxDnnnnnnnnn?????????????????????就有提出，因子列展開，并把每列的公按第 )(1 1xx i ?)()())((211312 jjin innxxxxxxxxD ?????? ?????).(1 jjin ixx ?? ????223223211312111)())((???????nnnnnnxxxxxxxxxxxx??????? n1階范德蒙德行列式 注：對于此類型行列式，可直接用公式計算。 222111cbacbaD ?如：).)()(( abacbc ????64169843111?D又如：.20224)34)(38)(48( ????????課堂練習(xí) 計算行列式的值 設(shè)有行列式 2 1 3 23 3 3 23 1 1 23 1 3 1D???????（ 1） （ 2） 1 0 2 01 4 3 60 2 5 33 1 1 0D???2 1 3 233220 3 4 03 1 3 1D????A1 A1 A1 A14分別是 D的 第一行元素的代數(shù)余子式，試求 3A11A12+3A13A14的值。 解答 （ 1） 原式 1 2 3 23 3 3 21 3 1 21 3 3 1???????12CC? 213rr?31rr?41rr?1 2 3 20 3 6 40 1 4 00 1 0 3?? ? ????按第一列展開 113 6 4( 1 ) ( 1 ) 1 4 01 0 3?? ? ?? ? ? ? ??214cc? 3 1 8 41 0 01 4 3? ? ??按第二行展開 21 1 8 41 ( 1 )43? ?????? ?1 ( 1 8 ) ( 3 ) ( 4 ) 4 7 0? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?解答 （ 2） 原式 1 0 2 01 0 13 00 2 5 33 1 1 0??232rr?341 0 23 ( 1 ) 1 0 133 1 1?? ? ?按第四列展開 32 123 1 ( 1 )1 1 3?? ? ? ??按第二列展開 3 (1 3 2 ) 4 5? ? ?將代數(shù)式還原成 行列式，得 11 12 13 1433A A A A? ? ?3 1 3 13 3 2 20 3 4 03 1 3 1?????0? 克拉默法則 克拉默法則 如果線性方程組 的系數(shù)行列式不等于零 ,即 那么 ,方程組有唯一解 其中 Dj(j=1,2,…,n )是把系數(shù)行列式 D中的第 j列元素用方程組右端的常數(shù)項代替后所得到的 n階行列式 . 返回 上一頁 下一頁 證明 (1) 方程組簡寫為 把方程組的唯一解代入第 i個方程 ,左端為 返回 上一頁 下一頁 所以 (2)用 D中第 j列元素的代數(shù)余子式 A1j,A2j,…,A nj依次乘方程組的 n個方程 ,再把它們相加 ,得 當(dāng) D不等于零時 ,方程組有唯一解 . 返回 上一頁 下一頁 例 17 解線性方程組 解 返回 上一頁 下一頁 于是方程組有解 x1=3,x2=4,x3=1,x4=1 返回 上一頁 下一頁 克拉默法則亦可敘述為 定理 4 如果線性方程組的系數(shù)行列式 D?0,則方程組一定有解 ,且解是唯一的 。 當(dāng)方程組右邊的常數(shù)項全部為零時 ,方程組變?yōu)?齊次線性方程組 . 它總有解 x1=0,x2=0,…,x n=0,稱為齊次線性方程組的零解。 返回 上一頁 下一頁 推論 如果齊次線性方程組有非零解 ,則齊次線性方程組的系數(shù)行列式必為零 。 定理 5 如果齊次線性方程組的系數(shù)行列式不等于零 ,則齊次線性方程組沒有非零解。 例 若齊次線性方程組 有非零解，則 t應(yīng)滿足什么條件？ 解 由定理 5,要方程組有非零解，其系數(shù)行列式必為零 . 返回 上一頁 下一頁 例 18 問 ?為何值時，齊次線性方程組 有非零解？ 解 方程組的系數(shù)行列式為 1t? ? ?返回 上一頁 下一頁 若方程組有非零解 ,則它的系數(shù)行列式 D=0,從而有 ? =2, ? =5, ? =8。 容易驗證 ,當(dāng) ? =2, ? =5,或 ? =8時 ,齊次線性方程組有非零解 . 返回 上一頁 應(yīng)用舉例 00aDb?ab?α β ( , 0 )( 0 , )a b?? ??????從上圖得知： 二階行列式的行向量組 ,?? 所確定的矩形的面積等于 D進(jìn)一步： 二階行列式的行向量組 , k? ? ?? 所確定的平行四邊形的面積等于 k???二階行列式的行向量組 ,?? 所確定的矩形的面積等于 D11 1221 22aaaa00ab行 變 換二階行列式： 返回 上一頁 下一頁 定理 1 二階行列式的絕對值等于由 與 所確定的平行四邊形的面積。 ? ?例 計算由行向量 所確定的平行四邊形的面積。 ( 1 , 1 ) , ( 2 , 2)??? ? ?解 構(gòu)造二階行列式 11 422D?? ? ?根據(jù)定理，可知平行四邊形的面積為 4SD??返回 上一頁 下一頁 定理 2 三階行列式的絕對值等于由 所確定的平行六面體的體積。 ,? ? ?例 計算由行向量 所確定的平行六面體的體積。 ( 1 , 1 , 0) , ( 2 , 0 , 2) , ( 1 , 1 , 1 )? ? ?? ? ? ?解 構(gòu)造三階行列式 1 1 02 0 2 2111D?? ? ?根據(jù)定理，可知平行四邊形的面積為 2SD?