【正文】 nn???????????????????????????列展按第aaaaannn0000000000000000)1()1()1(11?????????????????2212)1( ??? ????? nnnnn aaaa61 思考練習(xí) （按行展開定理詳解 2） 10000100010001000100000.2132211121nnnrrnaaaaaaanDnii???????????????????????nnnnnnaaanaaaaaaan???????????2113221)1(11)1()1(0000000000000)1()1(?????????????行展按第62 （ Laplace）定理 ? k階子式 在 n階行列式中 ， 任意選定 k行 、 k列 （ 1≤k≤n） 位于這些行列交叉處的 k2個元素按原來順序構(gòu)成的一個 k階行列式 N， 稱為行列式 D的一個k階子式 . ? k階子式 N的余子式及代數(shù)余子式 在 D中劃去 k行、k列后，余下的元素按原來順序構(gòu)成的一個 nk階行列式 M，稱為 k階子式 N的余子式 。而 MA kk jjjiii )()( 2121)1( ????????? ??為其代數(shù)余子式 .這里 i1,i2,…, ik, j1, j2,…, jk分別為 k階子 式 N的行標(biāo)和列標(biāo) . 63 在 n階行列式 中，nnnnnnaaaaaaaaaD???????212222111211?拉普拉斯（ Laplace）定理 任意取定 k行 (1? k?n),由這 k行元素組成的 k階子式 N1, N2 ,…, V t 與它們的代數(shù)余子式 的乘積之和等于 D，即 )(knCt ?tt ANANAND ???? ?2211.的代數(shù)余子式是其中 ii NA64 1500310000430021??D解 例 7 計算行列式 66554433221121 ANANANANANAND ?????? 行展、按第.3215164000001531432103000)1(00005310)1(04021030)1(04025010)1(03011030)1(03011531)1(4321)43()21()42()21()32()21()41()21()31()21()21()21(????????????????????????????????????????????????）（）（65 第 克萊姆法則 教學(xué)目的：掌握克萊姆法則及相關(guān)推論 教學(xué)重點(diǎn)： 克萊姆法則 教學(xué)難點(diǎn)： 克萊姆法則 教學(xué)方法：講練結(jié)合 教學(xué)步驟：如下： 66 下面以行列式為工具 ,研究含有 n個未知量、 n個 方程的 n元線性方程組的問題 . 定理 （克萊姆法則） 如果 n元線性方程組 )1(22112222212111212111???????????????????nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa???????　　　　,0212222111211??nnnnnnaaaaaaaaaD??????則方程組有惟一解 的系數(shù)行列式 返 回 返回 67 )2(, 2211 DDxDDxDDx nn ??? ?其中 Dj(j=1,2,…, n)是把系數(shù)行列式 D中第 j列的元素 換成方程組的常數(shù)項(xiàng) b1,b2,…, bn所構(gòu)成的 n級行列式 , 即 定理的結(jié)論有兩層含義：①方程組（ 1）有解； ②解惟一且可由式 (2)給出 . nnjnnjnnnjjnjjjaabaaaabaaaabaaD?????????????1,1,121,221,22111,111,111???????68 證 首先證明方程組 (1)有解 .事實(shí)上 ,將 代入第 i個方程的左端，再將 Dj按第 j列展開 ),2,1( njDDx jj ???),2,1(2211 njAbAbAbD njnjjj ?? ?????得 iinninnininininiiiiininiininiinnnnninnninnininiibDbDAaAaAabAaAaAabAaAaAabAaAaAabDAbAbAbaAbAbAbaAbAbAbaDDDaDDaDDa????????????????????????????????????1)]()()()([1)]()()([1221122112222211211221111221122221212121211112211???????????即式 (2)給出的是方程組 (1)的解 . 69 下面證明解惟一 .設(shè) xj=cj(j=1,2,…, n)為方程組 (1) 的任意一個解，則 ???????????????????nnnnnnnnnnbcacacabcacacabcacaca???????????22112222212111212111　　以 D的第 j列元素的代數(shù)余子式 A1j, A2j ,… , Anj依次乘 以上式各等式 ， 相加得 )()()()(111111 ?????????????nkkjknnkkjknjnkkjkjnkkjk AbcAacAacAa ??從而 Dcj=Dj 由于 D?0,因此 ),2,1( njDDc jj ???即方程組的解是惟一的 . 70 推論 1 如果線性方程組 (1)無解或有兩個不同解， 則 D=0； ???????????????????000221122221211212111nnnnnnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa???????　　　　的系數(shù)行列式 D?0，則方程組只有零解 。而若方程組 有非零解，則 D=0. 可以證明 ,系數(shù)行列式 D=0，是上述方程組有非 零解的充分必要條件 . 推論 2 如果齊次線性方程組 71 例 1 解線性方程組 解 系數(shù)行列式 ),(1111433221433221433221433221為互不相同的常數(shù)dcbaxdxddxxxcxccxxxbxbbxxxaxaaxx???????????????????????0))()()()()((111132323232????????? cdbdbcadacabdddcccbbbaaaD0,.,4321 ???? DDDDD易得：方程組有惟一解由克萊姆法則.0,1 4321 ???? xxxx方程組的惟一解：72 例 2 若齊次線性方程組 解 系數(shù)行列式 ? ??????????????????0)1(0)1(01321321321xxxxxxxxx???2)3(111111111)3(111111333111111111?????????????????????????????D方程組有非零解，則 D= ?=3或 ? =0. 有非零解，求 ?值 .