【正文】 ). 現(xiàn)設(shè)等式對于 (n?1)階范德蒙行列式成立 , 則 ? (? a1) ? (? a1) ? (? a1) … 第二章 矩陣運算和行列式 ? 167。 行列式的性質(zhì)及計算 = 1 1 1 … 1 0 a2?a1 a3?a1 … an ? a1 0 a2(a2?a1) a3(a3?a1) … an2 (an?a1) … … … … … 0 a2n2(a2?a1) a3n2(a3?a1) … ann2(an?a1) Dn = 1 1 … 1 a1 a2 … an a12 a22 … an2 … … … … a1n1 a2n1 … an n1 ? (? a1) ? (? a1) ? (? a1) … 第二章 矩陣運算和行列式 ? = (a2?a1)(a3?a1)…( an?a1) 1 1 … 1 a2 a3 … an … … … … a2n2 a3n2 … an n2 = 1 1 1 … 1 0 a2?a1 a3?a1 … an ? a1 0 a2(a2?a1) a3(a3?a1) … an2 (an?a1) … … … … … 0 a2n2(a2?a1) a3n2(a3?a1) … ann2(an?a1) = (a2?a1)(a3?a1)…( an?a1) ? (ai? aj) n? i j ? 2 = ? (ai? aj). n? i j ? 1 167。 行列式的性質(zhì)及計算 第二章 矩陣運算和行列式 ? 167。 行列式的性質(zhì)及計算 前面我們得到 , a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 = a31A31 + a32A32 + a33A33. 下面來看 a11A31 + a12A32 + a13A33 = ? a11A31 + a12A32 + a13A33 = a11 a12 a13 a21 a22 a23 a11 a12 a13 = 0. 推廣到一般情形 , 我們有如下結(jié)論 : 由 定理 第二章 矩陣運算和行列式 ? 167。 行列式的性質(zhì)及計算 命題 . n階行列式的某一行 (列 )元素與另一行 (列 ) 的對應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和為零 . 即 ai1Aj1 + ai2Aj2 + … + ainAjn = 0 (i ? j) a1iA1j + a2iA2j + … + aniAnj = 0 (i ? j). 定理 n階行列式 D = |[aij]|, 則 ? aikAjk = D?ij , k=1 n ? akiAkj = D?ij . k=1 n ? ? 第二章 矩陣運算和行列式 ? 167。 逆矩陣 167。 逆矩陣 一 . 可逆矩陣 1. 定義 : 設(shè) A為方陣 , 若存在方陣 B, 使得 AB=BA=I. 則稱 A可逆 , 并稱 B為 A的 逆矩陣 . 2. 逆矩陣的唯一性 事實上 , 若 AB=BA=I, AC=CA=I, 則 B = BI = B(AC) = (BA)C = IC = C. 今后我們把可逆矩陣 A的逆矩陣記為 A?1. 命題 . 設(shè)方陣 A可逆 , 則其逆矩陣是唯一的 . 第二章 矩陣運算和行列式 ? 167。 逆矩陣 3. 設(shè) A = [aij]n?n為方陣 , 元素 aij的代數(shù)余子式 為 Aij, 則稱如下矩陣 A* = A11 A21 … An1 A12 A22 … An2 … … … … A1n A2n … Ann 為方陣 A的 伴隨矩陣 . 命題 . 設(shè) A為方陣 , A*為其伴隨矩陣 . 則 AA* = A*A = |A|I. 由 定理 第二章 矩陣運算和行列式 ? 167。 逆矩陣 事實上 , 由 AB=BA=I得 1 = |I| = |AB| = |A||B|. 命題 . 設(shè) A為方陣 , 若 A可逆 , 則 |A| ? 0. 4. 逆矩陣的存在性 定理 A可逆的充分必要條件是 |A| ? 0. 當 |A| ? 0時 , 有 A?1 = |A| 1 A*. 注 . 設(shè) A為方陣 ,若 |A| = 0, 則稱之為 奇異 (或 退化 )矩陣 . 若 |A| ? 0, 則稱之為 非奇異 (或 非退化 )矩陣 . 可見 , A可逆 ? |A| ? 0 ? A非奇異 (非退化 ). 第二章 矩陣運算和行列式 ? 167。 逆矩陣 推論 . 設(shè) A, B為方陣 , 若 AB = I(或 BA = I), 則 B = A?1. = (BA)A?1 = IA?1 = A?1. 事實上 , AB = I ? |A| ? 0 ? A可逆 ? B = IB = (A?1A)B = A?1(AB) = A?1I = A?1. BA = I ? |A| ? 0 ? B = BI = B(AA?1) ? A可逆 例 6. 設(shè)方陣 A滿足 A3?2A2+3A?I = 0. 證明 : A及 A ?2I可逆 , 并求它們的 逆矩陣 . 第二章 矩陣運算和行列式 ? 167。 逆矩陣 例 7. 求下列方陣的逆矩陣 . (1) A = 1 2 3 4 , 1 2 3 2 2 1 3 4 3 (2) B = . 解 : (1) A?1 = |A| 1 A* = ? 2 1 4 ?2 ?3 1 . (2) |B| = 2 ? 0, B?1 = |B| 1 B* B11 = (?1)1+1 2 1 4 3 = 2, B21 =6, B31 = ?4, B12 = ?3, B22 = ?6, B32 = 5, B13 = 2, B23 = 2, B33 = ?2. = 2 1 2 6 ?4 ?3 ?6 5 2 2 ?2 . 第二章 矩陣運算和行列式 ? 167。 逆矩陣 求矩陣 X使 AXB = C. 1 2 3 2 2 1 3 4 3 B = , 例 8. 設(shè) A = 1 2 3 4 , 1 2 3 3 0 1 C = , 解 : 由例 7可知 A, B都可逆 . 故 AXB = C ? A?1AXB = A?1C ? XB = A?1C ? XBB?1 = A?1CB?1 ? X = A?1CB?1 . 因此 X = ? 2 1 4 ?2 ?3 1 1 2 3 3 0 1 2 1 2 6 ?4 ?3 ?6 5 2 2 ?2 4 20 ?14 ?1 ?10 7 = . 1 2 第二章 矩陣運算和行列式 ? 167。 逆矩陣 二 . 逆矩陣的運算性質(zhì) 定理 A, B為同階可逆方陣 , 數(shù) k ? 0. 則 (1) (A?1)?1 = A, |A?1| = |A|?1. (2) (AT)?1 = (A?1)T. (3) (kA)?1 = k?1A?1. (4) (AB)?1 = B?1A?1. 例 9. 設(shè) A與 I?A都可逆 , G = (I?A)?1?I, 求證 G也 可逆 , 并求 G?1. 證明 : G = (I?A)?1? (I?A)?1(I?A) = (I?A)?1(I? (I?A)) = (I?A)?1A G?1 = A?1(I?A) = A?1 ?I. 第二章 矩陣運算和行列式 ? 167。 逆矩陣 可以表示為 Ax = b. 則線性方程組 x1 x2 … xn 1. 記 x = , b1 b2 … bm b = , A = a11 a12 … a1n a21 a22 … a2n … … … … am1 am2 … amn , ???????????????????mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa????????22112222212111212111 三 . 克拉默法則 下面討論 A為 n階方陣的情形 . 第二章 矩陣運算和行列式 ? 167。 逆矩陣 對于 n元線性方程組 ???????????????????nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa????????22112222212111212111 記 D = a11 a12 … a1n a21 a22 … a2n … … … … an1 an2 … ann , D1 = b1 a12 … a1n b2 a22 … a2n … … … … bn an2 … ann , D2 = a11 b1 … a1n a21 b2 … a2n … … … … an1 bn … ann , …, Dn = . a11 a12 … b1 a21 a22 … b2 … … … … an1 an2 … bn 第二章 矩陣運算和行列式 ? 167。 逆矩陣 考察 bi ai1 ai2 … ain b1 a11 a12 … a1n b2 a21 a22 … a2n … … … … … bn an1 an2 … ann , 按第一行展開得 bi D ? ai1D1 ? ai2D2 ? … ? ainDn = 0 (i = 1, 2, …, n). 當 D ? 0時 , 移項整理可得 ai1 + ai2 + … + ain = bi (i = 1, 2, …, n). D1 D2 Dn D D D 這就是說 x1 = D1 D , x2 = D2 D , …, xn = Dn D 是 (?)的解 . 第二章 矩陣運算和行列式 ? 167。 逆矩陣 又因為 D ? 0時 , A可逆 , 因而由 Ax = b可得 x =A?1b, 即 D ? 0時 , Ax = b有唯一的解 . 于是可得 定理 (Cramer法則 ). 若系數(shù)行列式 D=|A|?0, x1 = D1 D , x2 = D2 D , …, xn = Dn D , 其中 Dj 是用 b替換 D的第 j列所得的行 列式 ( j = 1, 2, …, n). 則 線性方程組 Ax = b有唯一的解 第二章 矩陣運算和行列式 ? 167。 逆矩陣 若線性方程組 Ax = b中 b= ?, 則稱之為 齊次 線性方程組 , 否則稱之為 非齊次線性方程組 . 對于 Ax = ?來說 , 它必然有一組 零解