【正文】 逆矩陣 可以表示為 Ax = b. 則線性方程組 x1 x2 … xn 1. 記 x = , b1 b2 … bm b = , A = a11 a12 … a1n a21 a22 … a2n … … … … am1 am2 … amn , ???????????????????mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa????????22112222212111212111 三 . 克拉默法則 下面討論 A為 n階方陣的情形 . 第二章 矩陣運(yùn)算和行列式 ? 167。 逆矩陣 167。 行列式的性質(zhì)及計(jì)算 第二章 矩陣運(yùn)算和行列式 ? 定理 . n階行列式 D等于它的任意一行 (列 ) 的各元素與其對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式乘積 之和 . 即 D = a11A11 + a12A12 + … + a1nA1n = a21A21 + a22A22 + … + a2nA2n = … = an1An1 + an2An2 + … + annAnn = a11A11 + a21A21 + … + an1An1 = a12A12 + a22A22 + … + an2An2 = … = a1nA1n + a2nA2n + … + annAnn . 167。( ?1)1+1a22 +a12 行列式的性質(zhì)及計(jì)算 ? ?(? 3) 3 1 ?1 2 ?5 1 3 ?4 2 0 1 ?1 1 ?5 3 ?3 (2) = 3 1 ?1 2 ?5 1 3 ?4 2 0 1 ?1 ?5 ?5 0 0 = ?5 3 1 ?1 2 ?5 1 3 ?4 2 0 1 ?1 1 1 0 0 = 5 1 3 ?1 2 1 ?5 3 ?4 0 2 1 ?1 1 1 0 0 = 5 1 1 0 0 0 2 1 ?1 1 ?5 3 ?4 1 3 ?1 2 ? (? 1) = 5 1 1 0 0 0 2 1 ?1 0 ?6 3 ?4 0 2 ?1 2 ?2 第二章 矩陣運(yùn)算和行列式 167。 行列式的性質(zhì)及計(jì)算 一 . 行列式的性質(zhì) ? 性質(zhì) 1. DT = D. 記 D = 行列式 DT稱為 D的 轉(zhuǎn)置 . 記 bij = aji, 則 DT a11 a12 … a1n a21 a22 … a2n … … … … an1 an2 … ann a11 a21 … an1 a12 a22 … an2 … … … … a1n a2n … ann , DT = ? ?? nppppppN nn bbb ?? 21)( 2121)1(.)1( 2121 21)( Daaa nn nppppppN ??? ? ??第二章 矩陣運(yùn)算和行列式 167。 方陣的行列式 三 . n階行列式的定義 1. 三階行列式的特點(diǎn) ? 每一項(xiàng)都是三個(gè)元素的乘積 . a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 = a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 ? a11 a23 a32 ? a12 a21 a33 ? a13 a22 a31 . ? 每一項(xiàng)的三個(gè)元素都位于不同的行和列 . ? 行列式的 6項(xiàng)恰好對(duì)應(yīng)于 1, 2, 3的 6種排列 . ? 各項(xiàng)系數(shù)與對(duì)應(yīng)的列指標(biāo)的排列的奇偶性 有關(guān) . 第二章 矩陣運(yùn)算和行列式 167。 方陣的行列式 ? 167。 矩陣及其運(yùn)算 ? cos? ?sin? sin? cos? Ak+1 = AkA cosk? ?sink? sink? cosk? = 因此對(duì)于任意正整數(shù) n, cosk? cos? ?sink? sin? ?cosk? sin? ?sink? cos? sink? cos? +cosk? sin? ?sink? sin? +cosk? cos? = cos(k+1)? ?sin(k+1)? sin(k+1)? cos(k+1)? = cosn? ?sinn? sinn? cosn? An = 成立 . 第二章 矩陣運(yùn)算和行列式 167。 矩陣及其運(yùn)算 ? a11b11+a12b21+a13b31 a11b12+a12b22+a13b32 a21b11+a22b21+a23b31 a21b12+a22b22+a23b32 AB = BC = b11c11+b12c21 b11c12+b12c22 b21c11+b22c21 b21c12+b22c22 b31c11+b32c21 b31c12+b32c22 a11 a12 a13 a21 a22 a23 A= , b11 b12 b21 b22 b31 b32 B = , c11 c12 c21 c22 C = . 我們比較 (AB)C和 A(BC)的“規(guī)格”以及它們的 第一行第一列處的元素 . 第二章 矩陣運(yùn)算和行列式 167。 矩陣及其運(yùn)算 ? 2. 數(shù)乘 設(shè)矩陣 A = (aij)m?n , 數(shù) k與 A的 乘積 定義為 (kaij)m?n , 記為 kA或 Ak. 注 : 矩陣加法和數(shù)乘運(yùn)算統(tǒng)稱為矩陣的 線性運(yùn) 算 . 即 kA = Ak = ka11 ka12 … ka1n ka21 ka22 … ka2n … … … … kam1 kam2 … kamn 第二章 矩陣運(yùn)算和行列式 167。 167。 167。 矩陣及其運(yùn)算 ? 3. 性質(zhì) 定理 設(shè) A, B, C, O是同型矩陣 , k, l是數(shù) , 則 (1) A + B = B + A, (2) (A + B) + C = A + (B + C), (3) A + O = A, (4) A + (?A) = O, (5) 1A = A, (6) k(lA) = (kl)A, (7) (k + l)A = kA + lA, (8) k(A + B) = kA + kB. 第二章 矩陣運(yùn)算和行列式 167。 矩陣及其運(yùn)算 ? 一般地 , 設(shè) A = [aij]m?k, B = [bij]k?s, C = [cij]s?n, AB = U = [uij]m?s, BC = V = [vij]k?n, 則 (AB)C = UC與 A(BC) = AV 都是 m?n矩陣 , 且 (AB)C = UC的 (i, j)元素是 它恰好是 A(BC) = AV的 (i, j)元素 . 可見 (AB)C = A(BC). ? uiqcqj q=1 s = ? [(? aipbpq )cqj] q=1 s p=1 k = ? (? aipbpq cqj) q=1 s p=1 k = ? (? aipbpqcqj) q=1 s p=1 k = ? [aip (? bpq cqj)] q=1 s p=1 k = ? aipvpj p=1 k 第二章 矩陣運(yùn)算和行列式 167。 矩陣及其運(yùn)算 ? 四 . 矩陣的轉(zhuǎn)置 1. 設(shè)矩陣 A = a11 a12 … a1n a21 a22 … a2n … … … … am1 am2 … amn , AT = a11 a21 … am1 a12 a22 … am2 … … … … a1n a2n … amn 為 A的 轉(zhuǎn)置 . 則稱矩陣 第二章 矩陣運(yùn)算和行列式 167。 方陣的行列式 一 . 二元線性方程組與二階行列式 (a11a22?a12a21)x1 = b1a22?a12b2 (a11a22?a12a21)x2 = a11b2?b1a21 ? 當(dāng) a11a22?a12a21 ?0時(shí) , a11x1 + a12x2 = b1 a21x1 + a22x2 = b2 x1= b1a22?a12b2 a11a22?a12a21 , x2= a11a22?a12a21 a11b2?b1a21 . 第二章 矩陣運(yùn)算和行列式 ? a11 a12 a21 a22 記 D = , b1 a12 b2 a22 D1 = , a11 b1 a21 b2 D2 = , 則當(dāng) D = a11a22?a12a21 ?0時(shí) , , = D1 D = D2 D . 167。 方陣的行列式 ? ? ??321321321321)()1(jjjjjjjjjN aaaa11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 j1 j2 j3的逆序數(shù) 對(duì)所有不同的三級(jí)排列 j1 j2 j3求和 ? ??21212121)()1(jjjjjjN aaa11 a12 a21 a22 第二章 矩陣運(yùn)算和行列式 ? 2. n階行列式的定義 a11 a12 … a1n a21 a22 … a2n … … … … an1 an2 … ann ? ??nnnjjjnjjjjjjN aaa?? ?21212121)()1(注 : ① 當(dāng) n = 1時(shí) , 一階行列式 |a11| = a11, 這與絕 對(duì)值符號(hào)的意義是不一樣的 . ② 設(shè) A = [aij]為 n階方陣 , A的行列式記為 |A|, 或 detA. 167。 行列式的性質(zhì)及計(jì)算 ? 性質(zhì) 2. 互換行列式中的兩行 (列 ), 行列式變號(hào) . 證明 : 記互換行列式 D中的第 k, l行得到的行列式為 D1. ? ?? nlknlk nplpkppppppN bbbbD ?????? 11 1)(1 )1(? ?? nlknlk npkplppppppN aaaa ?????? 11 1)()1(? ?? nklnlk nplpkppppppN aaaa ?????? 11 1)()1(? ??? nklnkl nplpkppppppN aaaa ?????? 11 11)()1(? ??? nklnkl nplpkppppppN aaaa ?????? 11 1)()1(= ? D. 第二章 矩陣運(yùn)算和行列式 167。 行列式的性質(zhì)及計(jì)算 ? = 5 1 1 0 0 0 4 1 ?1 0 0 3 ?4 0 0 ?1 2 ?3 = 5 1 1 0 0 0 4 1 ?1 0 0 0 2 0 0 ?1 2 = ? 5 1 1 0 0 0 4 1 ?1 0 0 ?1 2 0 0 0 2 = 40. = 5 1 1 0 0 0 2 1 ?1 0 ?6 3 ?4 0 2 ?1 2 ?2 第二章 矩陣運(yùn)算和行列式 167。( ?1)1+2a21 第二章 矩陣運(yùn)算和行列式 167。 行列式的性質(zhì)及計(jì)算 第二章 矩陣運(yùn)算和行列式 ? 例 4. 計(jì)算 D2n = . 167。 逆矩陣 一 . 可逆矩陣 1.