【正文】 逆矩陣 考察 bi ai1 ai2 … ain b1 a11 a12 … a1n b2 a21 a22 … a2n … … … … … bn an1 an2 … ann , 按第一行展開得 bi D ? ai1D1 ? ai2D2 ? … ? ainDn = 0 (i = 1, 2, …, n). 當 D ? 0時 , 移項整理可得 ai1 + ai2 + … + ain = bi (i = 1, 2, …, n). D1 D2 Dn D D D 這就是說 x1 = D1 D , x2 = D2 D , …, xn = Dn D 是 (?)的解 . 第二章 矩陣運算和行列式 ? 167。 逆矩陣 求矩陣 X使 AXB = C. 1 2 3 2 2 1 3 4 3 B = , 例 8. 設 A = 1 2 3 4 , 1 2 3 3 0 1 C = , 解 : 由例 7可知 A, B都可逆 . 故 AXB = C ? A?1AXB = A?1C ? XB = A?1C ? XBB?1 = A?1CB?1 ? X = A?1CB?1 . 因此 X = ? 2 1 4 ?2 ?3 1 1 2 3 3 0 1 2 1 2 6 ?4 ?3 ?6 5 2 2 ?2 4 20 ?14 ?1 ?10 7 = . 1 2 第二章 矩陣運算和行列式 ? 167。 逆矩陣 3. 設 A = [aij]n?n為方陣 , 元素 aij的代數(shù)余子式 為 Aij, 則稱如下矩陣 A* = A11 A21 … An1 A12 A22 … An2 … … … … A1n A2n … Ann 為方陣 A的 伴隨矩陣 . 命題 . 設 A為方陣 , A*為其伴隨矩陣 . 則 AA* = A*A = |A|I. 由 定理 第二章 矩陣運算和行列式 ? 167。 行列式的性質及計算 前面我們得到 , a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 = a31A31 + a32A32 + a33A33. 下面來看 a11A31 + a12A32 + a13A33 = ? a11A31 + a12A32 + a13A33 = a11 a12 a13 a21 a22 a23 a11 a12 a13 = 0. 推廣到一般情形 , 我們有如下結論 : 由 定理 第二章 矩陣運算和行列式 ? 167。 行列式的性質及計算 D2n = adD2(n?1) ? bcD2(n?1) . 依次類推可得 D2n = (ad ? bc)n. 第二章 矩陣運算和行列式 ? 167。 行列式的性質及計算 第二章 矩陣運算和行列式 ? a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 a12 a13 a22 a23 = a31(?1)3+1 a11 a13 a21 a23 +a32(?1)3+2 a11 a12 a21 a22 +a33(?1)3+3 a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 拆 , 移 , 降 余子式 代 數(shù) 余 子 式 按第三行展開 167。 行列式的性質及計算 ? a11 a12 a21 a22 a11 a12 a21+0 0+a22 = a11 a12 a21 0 = a11 a12 0 a22 + = ?a21a12+a11a22 = a21 行列式的性質及計算 ? 對 D2施行 ci+kcj 這類運算 , 把 D2化為下三角形行列式 : b11 … b1n bn1 … bnn D2 = … … = q11 qn1 … qnn … . . . = q11 … qnn , 于是對 D的前 m行施行上述 ri+krj 運算 , 再對 D的后 n列 施行上述施行 ci+kcj 運算 , 可得 : . p11 pm1 … pmm c11 … c1k q11 1 … k qn1 … qnn … … … … = . . . . . 0 = p11 … pmm q11 … qnn =D1D2. a11 … a1m 0 … 0 … … … … … … … … D = am1 … amm 0 … 0 c11 … c1m b11 … b1n 1 … m bn1 … bnn 第二章 矩陣運算和行列式 167。 行列式的性質及計算 ? 3 1 1 1 1 3 1 1 1 1 3 1 1 1 1 3 (3) 6 6 6 6 1 3 1 1 1 1 3 1 1 1 1 3 = 1 1 1 1 1 3 1 1 1 1 3 1 1 1 1 3 = 6 ? (?1) 1 1 1 1 0 2 0 0 0 0 2 0 0 0 0 2 = 6 = 48. 第二章 矩陣運算和行列式 167。 行列式的性質及計算 ? 性質 6. 把行列式的某一行 (列 )元素乘以同一 個數(shù) , 再加到另一行 (列 )對應的元素上 去 , 行列式的值不變 . a11 … ( a1i + ka1j) … a1j … a1n a21 … (a2i + ka2j) … a2j … a2n … … … … … … … an1 … ( ani + kanj) … anj … ann = + a11 … a1i … a1j … a1n a21 … a2i … a2j … a2n … … … … … … … an1 … ani … anj … ann a11 … ka1j … a1j … a1n a21 … ka2j … a2j … a2n … … … … … … … an1 … kanj … anj … ann 第二章 矩陣運算和行列式 167。 行列式的性質及計算 ? 注 : 互換第 k, l行記為 rk?rl, 互換第 k, l列記為 ck?cl. 推論 . 如果行列式 D中有兩行 (列 )完全相同 , 那么 D = 0. 性質 3. 行列式的某一行 (列 )的公因子可以 提到行列式記號外 . 事實上 , 若行列式 D中有兩行完全相同 , 交換 這兩行 , 得 D = ? D. 因此 D = 0. 對于有兩列完全相同的情形 , 可類似地證明 . 第二章 矩陣運算和行列式 167。 方陣的行列式 ? 第二章 矩陣運算和行列式 167。 方陣的行列式 第二章 矩陣運算和行列式 ? 3. 幾個特殊的行列式 ?1 0 … 0 0 ?2 … 0 … … … … 0 0 … ?n 0 … 0 ?1 0 … ? 2 0 … … … … ? n … 0 0 = ?1?2… ?n , ?1?2… ?n . 2 )1()1( ??? nn(1) 對角行列式 167。 方陣的行列式 例 1. 求下列排列的 逆序數(shù) (1) 32514, (2) (2n)(2n?2)…4213…(2 n?3)(2n?1). 3. 對換 在排列中 , 將任意兩個元素對調 , 其余的元 素不動 , 稱為 對換 . 將相鄰的兩個元素對調 , 稱為 鄰對換 . 注 : ① 任一鄰對換都 改變 排列的 奇偶性 . ② 任一對換都可通過 奇數(shù)次 鄰對換來實現(xiàn) . ????????? ????????? 第二章 矩陣運算和行列式 ? 167。 方陣的行列式 a11x1 + a12x2 = b1 a21x1 + a22x2 = b2 x1= b1a22?a12b2 a11a22?a12a21 有唯一確定的解 x2= a11a22?a12a21 a11b2?b1a21 問題 : ① 能用對角線法則定義四階行列式嗎 ? ② 用對角線法則定義的“四階行列式”有 用嗎 ? 第二章 矩陣運算和行列式 ? 167。 (ii) 對于任意 n?m矩陣 B, AB = B. (iii)對于任意 m?n矩陣 C, CA = C. ② 有時我們也把 n階單位矩陣 In簡記為 I. 有的書上用 En表示 n階單位矩陣 , 簡記 為 E. ③ 利用 克羅內克 (Kronecker)記號 ?ij = 1, i = j 0, i ? j n階單位矩陣 In也可以表示為 [?ij]n?n. 第二章 矩陣運算和行列式 167。 矩陣及其運算 ? 定理 矩陣的轉置運算滿足如下性質 (1) (AT)T = A, (2) (A+B)T = AT + BT, (3) (kA)T = kAT, (4) (AB)T = BTAT. 五 . 幾種特殊的矩陣 1. 對稱矩陣 若矩陣 A滿足 AT = A, 則稱 A為 對稱矩陣 . 矩陣 A = [aij]m?n為對稱矩陣的充分必要 條件是 : m = n且 aij = aji (i, j = 1, 2, …, n). 第二章 矩陣運算和行列式 167。 矩陣及其運算 ? 2. 第二數(shù)學歸納法原理 : 設 P為一個關于自然數(shù) n的命題 , 若 ① P對于 n = n0成立 , ② 由“ n0 ? n ? k時 P成立”可推出 “ n = k+1時 P成立” , 則 P對于任意的自然數(shù) n?n0成立 . 第二章 矩陣運算和行列式 167。 矩陣及其運算 ? ? 結合律的妙用之一 設 A = BC, 其中 B = , C = [1 2 3], 1 2 3 1 2 3 2 4 6 , 3 6 9 則 A = 我們可以定義 A的 正整數(shù)冪 (還有“ 妙用 之二”喔 ~~~!) A1 = A, A2 = AA, …, Ak+1 = AkA, 對于這里的 A, A2022 = ? 當然 , 對于任意方陣 A, 都可以像上面這樣去 定義 A的正整數(shù)冪 . 而且有如下結論 第二章 矩陣運算和行列式 167。 矩陣及其運算 ? 1 1 ?2 ?2 ?2 4 1 2 ?1 0 0 1 1 1 ?2 ?2 ?2 4 1 2 ?1 0 0 1 = 0 0 0 0 ?3 ?3 6 ?1 ?1 2 ?2 ?2 4 = 1 ?1 ?2 2 1 2 1 2 = 0 0