【正文】 B = (bij) = 2 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 2 1 1 1 2 3 4 i j 其中 bij = ai1a1j + ai2a2j + ai3a3j + ai4a4j . 第二章 矩陣運算和行列式 167。 矩陣及其運算 ? AkAl = Ak+l, (Ak)l = Akl (AB)k = AkBk 但即使 A與 B是同階方陣 , 也未必成立 ! 注 : 不能說 “因為 AB = BA未必成立 , 所以 (AB)k = AkBk 未必成立” . 例如 A = 0 1 0 0 , B = 1 0 0 0 , AB = 0 0 0 0 , BA = 0 1 0 0 , AB ? BA, 但 (AB)k = AkBk成立 . 第二章 矩陣運算和行列式 167。 矩陣及其運算 ? 2. 對角矩陣 方陣 A = [aij]n?n的 a11, a22, …, ann稱為 對角線 元素 . 若方陣 A = [aij]n?n除了對角線元素 (可能不是 0)以外 , 其它元素都是 0, 則稱 A為 對角矩陣 . 對角線元素依次為 ?1, ?2, …, ?n的對角矩陣 ? 有時也記為 ? = diag[?1, ?2, …, ?n], 即 ? = diag[?1, ?2, …, ?n] = ?1 0 … 0 0 ?2 … 0 ? ? ? ? 0 0 … ?n . 第二章 矩陣運算和行列式 167。 方陣的行列式 1 1 0 0 1 2 0 0 0 0 1 ?1 0 0 1 2 仿照三階行列式的對角線法則可得 = 1?2?1?2 ? 1?1?(?1)?1 = 4+1 = 5. 3 1 0 0 5 2 0 0 0 0 1 ?1 3 0 1 2 = 3?2?1?2 ? 1?5?(?1)?1 = 12+5 = 17. 但方程組 ? ? ? x1 + x2 = 3 x1 + 2x2 = 5 x3 ? x4 = 0 x3 + 2x4 = 3 有唯一解 ? ? ? x1 = 1 x2 = 2 x3 = 1 x4 = 1 ? 17 5 ? 第二章 矩陣運算和行列式 ? 167。 方陣的行列式 第二章 矩陣運算和行列式 ? (2) 上 (下 )三角形行列式 a11 a12 … a1n 0 a22 … a2n … … … … 0 0 … ann a11 0 … 0 a21 a22 … 0 … … … … an1 an2 … ann = a11 a22… ann . = a11 a22… ann . 事實上 , 只有 pi ? i (i = 1,2,… n)時 , nnppp aaa ?21 21才有可能不為 0. 若有某個 pk k, 則必然有 若有某個 pl l, 否則 1+2+…+ n = p1+p2+…+ pn 1+2+…+ n, 矛盾 ! 167。 行列式的性質(zhì)及計算 ? a11 a12 … a1n ka21 ka22 … ka2n … … … … an1 an2 … ann 例如 ? ?? nn npppppppt aakaa ?? 32121 321)( )()1(? ?? nn nppppppt aaak ?? 2121 21)()1(a11 a12 … a1n a21 a22 … a2n … … … … an1 an2 … ann =k . 第二章 矩陣運算和行列式 167。 行列式的性質(zhì)及計算 ? a b c d a a+b a+b+c a+b+c+d a 2a+b 3a+2b+c 4a+3b+2c+d a 3a+b 6a+3b+c 10a+6b+3c+d (4) a b c d 0 a a+b a+b+c 0 a 2a+b 3a+2b+c 0 a 3a+b 6a+3b+c = ? (?1) ? (?1) ? (?1) a b c d 0 a a+b a+b+c 0 0 a 2a+b 0 0 a 3a+b = ? (?1) = a4. 第二章 矩陣運算和行列式 167。( ?1)2+1a12 +a22 行列式的性質(zhì)及計算 例 5. 證明 n階級 (n?2)范德蒙 (Vandermonde)行列式 Dn = 1 1 … 1 a1 a2 … an a12 a22 … an2 … … … … a1n1 a2n1 … an n1 = ? (ai? aj). n? i j ? 1 Dn = 1 1 … 1 a1 a2 … an a12 a22 … an2 … … … … a1n1 a2n1 … an n1 證明 :當(dāng) n =2時 , D2 = (a2? a1). 現(xiàn)設(shè)等式對于 (n?1)階范德蒙行列式成立 , 則 ? (? a1) ? (? a1) ? (? a1) … 第二章 矩陣運算和行列式 ? 167。 逆矩陣 事實上 , 由 AB=BA=I得 1 = |I| = |AB| = |A||B|. 命題 . 設(shè) A為方陣 , 若 A可逆 , 則 |A| ? 0. 4. 逆矩陣的存在性 定理 A可逆的充分必要條件是 |A| ? 0. 當(dāng) |A| ? 0時 , 有 A?1 = |A| 1 A*. 注 . 設(shè) A為方陣 ,若 |A| = 0, 則稱之為 奇異 (或 退化 )矩陣 . 若 |A| ? 0, 則稱之為 非奇異 (或 非退化 )矩陣 . 可見 , A可逆 ? |A| ? 0 ? A非奇異 (非退化 ). 第二章 矩陣運算和行列式 ? 167。 逆矩陣 又因為 D ? 0時 , A可逆 , 因而由 Ax = b可得 x =A?1b, 即 D ? 0時 , Ax = b有唯一的解 . 于是可得 定理 (Cramer法則 ). 若系數(shù)行列式 D=|A|?0, x1 = D1 D , x2 = D2 D , …, xn = Dn D , 其中 Dj 是用 b替換 D的第 j列所得的行 列式 ( j = 1, 2, …, n). 則 線性方程組 Ax = b有唯一的解 第二章 矩陣運算和行列式 ? 167。 逆矩陣 例 7. 求下列方陣的逆矩陣 . (1) A = 1 2 3 4 , 1 2 3 2 2 1 3 4 3 (2) B = . 解 : (1) A?1 = |A| 1 A* = ? 2 1 4 ?2 ?3 1 . (2) |B| = 2 ? 0, B?1 = |B| 1 B* B11 = (?1)1+1 2 1 4 3 = 2, B21 =6, B31 = ?4, B12 = ?3, B22 = ?6, B32 = 5, B13 = 2, B23 = 2, B33 = ?2. = 2 1 2 6 ?4 ?3 ?6 5 2 2 ?2 . 第二章 矩陣運算和行列式 ? 167。 行列式的性質(zhì)及計算 第二章 矩陣運算和行列式 ? 167。 行列式的性質(zhì)及計算 第二章 矩陣運算和行列式 ? a12 a13 a22 a23 =a31(?1)2 a11 a13 a21 a23 +a32(?1)2+1 a11 a12 a21 a22 +a33(?1)2+2 a12 a13 a22 a23 =a31(?1)3+1 a11 a13 a21 a23 +a32(?1)3+2 a11 a12 a21 a22 +a33(?1)3+3 a31 0 0 a11 a12 a13 a21 a22 a23 = (?1)2 a32 0 0 a12 a11 a13 a22 a21 a23 +(?1)2+1 a33 0 0 a13 a11 a12 a23 a21 a22 +(?1)2+2 應(yīng)用本節(jié)的 例 3 167。 行列式的性質(zhì)及計算 ? 例 3. 設(shè) D = a11 … a1m am1 … amm D1 = … … , 證明 : D = D1D2. 證明 : 對 D1施行 ri+krj 這類運算 , 把 D1化為下三 角形行列式 : = p11 pm1 … pmm … . . . = p11 … pmm , b11 … b1n bn1 … bnn D2 = , … … a11 … a1m 0 … 0 … … … … … … … … , am1 … amm 0 … 0 c11 … c1m b11 … b1n 1 … m bn1 … bnn a11 … a1m am1 … amm D1 = … … 應(yīng)用 ? 第二章 矩陣運算和行列式 167。 行列式的性質(zhì)及計算 ? 例 1. a11 a12 a13 a14 a21 a22 a23 a24 0 0 a33 0 a41 a42 a43 a44 + a11 a12 a13 a14 a21 a22 a23 a24 a31 a32 a33 a34 a41 a42 a43 a44 D = a11 a12 a13 a14 a21 a22 a23 a24 0 a32 0 0 a41 a42 a43 a44 + a11 a12 a13 a14 a21 a22 a23 a24 a31 0 0 0 a41 a42 a43 a44 = a11 a12 a13 a14 a21 a22 a23 a24 0 0 0 a34 a41 a42 a43 a44 + a11 a12 a13 a14 a21 a22 a23 a24 a31 0 0 0 a41 a42 a43 a44 = a11 a12 a13 a14 a21 a22 a23 a24 0 a32 a33 a34 a41 a42 a43 a44 + 第二章 矩陣運算和行列式 167。 方陣的行列式 第二章 矩陣運算和行列式 4. n階行列式的另外一種定義 a11 a12 … a1n a21 a22 … a2n … … … … an1 an2 … ann ? ??nnnjjjnjjjjjjN aaa?? ?21212121)()1(? ??nnniiiniiiiiiN aaa?? ?21212121)()1(167。 方陣的行列式 2. 逆序數(shù) 對于 n個不同的元素 , 先規(guī)定各元素之間的 一個標(biāo)準次序 (如 n個不同的自然數(shù) , 可規(guī) 定由小到大的次序為標(biāo)準次序 ),