【正文】 5）所確定的 三階行列式 . 323122211211aaaaaa? ? ????.312213332112322311 aaaaaaaaa ???(1)沙路法 三階行列式的計算 322113312312332211 aaaaaaaaa ???D333231232221131211aaaaaaaaaD ?.列標 行標 333231232221131211aaaaaaaaaD ?333231232221131211aaaaaaaaa332211 aaa?.322311 aaa?(2)對角線法則 注意 紅線上三元素的乘積冠以正號，藍線上三 元素的乘積冠以負號． 說明 1 對角線法則只適用于二階與三階行列式． 322113 aaa? 312312 a?312213 aaa? 332112 a? 如果三元線性方程組 ??????????????。 行列式的性質 167。,333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa,3333123221131112abaabaabaD ?得 ??????????????。 4的前面比 4大的數有 1個 ,故逆序數為 1。 再考慮非相鄰對換的情形。 即 的符號為 nnppp aaa ?21 21 ? ? .1 t?例 1 計算對角行列式 0004003002001000分析 展開式中項的一般形式是 4321 4321 pppp aaaa41 ?p若 ,011 ?? pa從而這個項為零， 所以 只能等于 , 1p 4同理可得 1,2,3 432 ??? ppp解 0004003002001000? ? ? ? 43211 4321 ????? t .24?即行列式中不為零的項為 .aaaa 41322314例 2 計算上 三角行列式 nnnnaaaaaa??????????00022211211分析 展開式中項的一般形式是 .21 21 nnppp aaa ?,npn ? ,11 ??? np n ,1,2,3 123 ????? ppnp n ?所以不為零的項只有 .2211 nnaaa ?nnnnaaaaaa??????????00022211211?? ? ? ? nnnt aaa ?? 2211121??.2211 nnaaa ??解 例 3 ?8000650012404321??D443322118000650012404321aaaaD ??.16 08541 ?????同理可得 下三角行列式 nnnnnaaaaaaa???????????32122211100000.2211 nnaaa ??n????21? ? ? ? .1 212 1 nnn ??? ????。,0,1 jijiDDAaijnkjkik 當當????????.,0,1jijiij 當，當其中三、小結 思考題 階行列式設 nnnDn?????????00103010021321?求第一行各元素的代數余子式之和 .11211 nAAA ??? ?思考題解答 解 第一行各元素的代數余子式之和可以表示成 nAAA 11211 ??? ?n?????????001030100211111?.11!2???????? ?? ??nj jn。kpkp ab ? 當 時 , jik ,?, ipjpjpip abab ??例如 推論 如果行列式有兩行（列）完全相同，則此行列式為零 . 證明 互換相同的兩行，有 .0?? D,DD ??? ? ? ? ,11 1tt ????故 ? ? .111 11 DaaaaDnij npjpippt ????? ? ???證畢 ,571571??266853.825825??361567567361266853性質 3 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一數 ，等于用數 乘此行列式 . k knnnniniinaaakakakaaaa?????????????????212111211nnnniniinaaaaaaaaak?????????????????212111211?推論 行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符號的外面． 性質４ 行列式中如果有兩行（列）元素成比例，則此行列式為零． 證明 nnnniniiiniinaaakakakaaaaaaa?????????????????????????21212111211nnnniniiiniinaaaaaaaaaaaak?????????????????????????21212111211?.0?性質 5 若行列式的某一列（行）的元素都是兩數之和 . nnnininnniiniiaaaaaaaaaaaaaaaD??????????)()()(2122222211111211???????則 D等于下列兩個行列式之和： nnninnininnninniniaaaaaaaaaaaaaaaaaaD?????????????????????????122211111122211111例如 性質６ 把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一數然后加到另一列 (行 )對應的元素上去，行列式不變． njnjninjjinjiaaaaaaaaaaaa?????????????12222111111njnjnjninjjjinjjijiaakaaaaakaaaaakaaakrr?????????????)()()(1222221111111?????k例如 例１ 2101044614753124025973313211???????????D應用舉例 計算行列式常用方法：利用運算 把行列式化為上三角形行列式，從而算得行列式的值 ． ji krr ?3? ?2101044614753124025973313211???????????D3? ?解 2101044614753124022022013211312?????????? rr2101044614753140202022013211?????????2101044614753124022022013211312?????????? rr? ?2???? ?3???13 2rr ?? ??? 4?42 rr ?2220020220140203512013211????????? 2220035120140202022013211?????????14 4rr ?13 3rr ?2220001000211003512013211????????34 rr ?2220020220211003512013211?????????23 rr ??? ?2???6000001000211003512013211????