【正文】 3 2 5 1 4 0 1 0 3 1于是排列 32514的逆序數(shù)為 13010 ?????t .5?5的前面沒有比 5大的數(shù) ,其逆序數(shù)為 0。,333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa,3333123221131112abaabaabaD ?得 ??????????????。,333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa,3332323222131211aabaabaabD ?記 ,3332323222131211aabaabaabD ?即 ??????????????。 Cramer 法則 }} 行列式的基本性質(zhì) 及計(jì)算方法 利用行列式求解線性方程組 {第一章 行列式 用消元法解二元線性方程組 ???????.,22221211212111bxaxabxaxa ??1??2? ? :1 22a? ,2212221212211 abxaaxaa ??? ? :2 12a? ,1222221212112 abxaaxaa ??，得兩式相減消去 2x一、二階行列式的引入 。目 錄 ? 第一章 n 階行列式 ? 第二章 矩陣 ? 第三章 線性方程組 ? 第四章 線性空間 ? 第五章 矩陣的特征值與特征向量 ? 第六章 二次型 167。 行列式按行（列）展開定理 167。,333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa,3332323222131211aabaabaabD ?若記 333231232221131211aaaaaaaaaD ?或 ??????????121bbb??????????????。,333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa333231232221131211aaaaaaaaaD ???????????????。 2的前面比 2大的數(shù)只有一個(gè) 3,故逆序數(shù)為 1。 例 2 計(jì)算下列排列的逆序數(shù)，并討論它們的奇偶性 . ? ? 2 1 7 9 8 6 3 5 41解 453689712544310010?t18?此排列為 偶排列 . 5 4? 0100134 ???????? ? ? ?? ? 32 1212 ??? nnn解 12 ??? ?? ? ,21?? nn當(dāng) 時(shí)為偶排列； 14,4 ?? kkn當(dāng) 時(shí)為奇排列 . 34,24 ??? kkn? ?1?? nt ? ?2?? n? ?? ? 32121 ??? nnn???? ????? ?? 1?n??? ???? ?? ? ?2?n? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? kkkkkk 132322212123 ???? ?解 0?t? ?? ?? ? kkk ?????21112 ,2k?當(dāng) 為偶數(shù)時(shí)，排列為偶列， k當(dāng) 為奇數(shù)時(shí)，排列為奇排列 . k1? 1? 2? ? ? ? ? kkk ??????? 112 ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? kkkkkk 13232221212 ???? ??0 ?1 ?1 ?2 ?2 ? ?k考慮，在 123 的全排列中 有 個(gè)偶排列 ： 有 個(gè)奇排列： 123， 231， 312 132， 213， 321 3 3 定義： 把一個(gè)排列中的任意兩個(gè)數(shù)交換位置，其余數(shù)碼 不動(dòng)，叫做對(duì)該排列作一次 對(duì)換 ，簡稱對(duì)換 。 證明思路 先證相鄰對(duì)換，再證一般對(duì)換 。 設(shè) n級(jí)排列 1 1 1r s ti i ak k bj j經(jīng)非相鄰對(duì)換變成新排列 1 1 1r s ti i bk k aj j期間共經(jīng)過 2s+1次相鄰對(duì)換，也即經(jīng)歷了 2s+1次 奇偶性的變化，從而最終改變了排列的奇偶性。 階行列式是 項(xiàng)的代數(shù)和 。21 n??? ??n????21例 4 證明 對(duì)角行列式 n????21? ? ? ?? ? 11,212111 nnnnnt aaa ?? ????? ? ? ? .1 212 1 nnn ??? ????證明 第一式是顯然的 ,下面證第二式 . 若記 ,1, ??? inii a? 則依行列式定義 11,21nnnaaa???證畢 補(bǔ)充：符號(hào)定理 設(shè) 1 1 2 2 nni j i j i ja a a 是 n階行列式中的任一項(xiàng) ， 則項(xiàng) 1 1 2 2 nni j i j i ja a a的符號(hào)等于 1 2 1 2( ) ( )( 1 ) nni i i j j j?? ??的符號(hào) . 1 、行列式是一種特定的算式，它是根據(jù)求解方程個(gè)數(shù)和未知量個(gè)數(shù)相同的一次方程組的需要而定義的 . 階行列式共有 項(xiàng)，每項(xiàng)都是位于不同行、不同列 的 個(gè)元素的乘積 ,正負(fù)號(hào)由下標(biāo)排列的逆序數(shù)決定 . nn!n小結(jié) 思考題 已知 ? ?1211123111211xxxxxf??.3 的系數(shù)求 x思考題解答 解 含 的項(xiàng)有兩項(xiàng) ,即 3x ? ?1211123111211xxxxxf??對(duì)應(yīng)于 ? ? ? ? 4334221112341 aaaat??? ? 443322111 aaaat?? ? ,1 344332211 xaaaat ??? ? ? ? 3433422111 2 3 4 21 xaaaat ???.13 ?的系數(shù)為故 x第二節(jié) 行列式的性質(zhì) 性質(zhì) 1 行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等 . 行列式 稱為行列式 的轉(zhuǎn)置行列式 . TD D記 nnaaa?2211???nnaaa2112??2121nnaaa?D???2121nnaaa??nnaaa2112?TDnnaaa?2211證明 ? ?的轉(zhuǎn)置行列式記 ijaD de t? ,212222111211nnnnnnTbbbbbbbbbD???????????? ? ,2,1, njiab ijij ???即 按定義 ? ? ? ? .11 2121 2121 ?? ???? nppptnppptT nn aaabbbD ?? 又因?yàn)樾辛惺?D可表示為 ? ? .1 21 21? ?? npppt naaaD ?故 .TDD ? 證畢 性質(zhì) 2 互換行列式的兩行（列） ,行列式變號(hào) . 證明 設(shè)行列式 ,2122221112111nnnnnnbbbbbbbbbD???????????說明 行列式中行與列具有同等的地位 ,因此行列 式的性質(zhì)凡是對(duì)行成立的對(duì)列也同樣成立 . 是由行列式 變換 兩行得到的 , ? ?ijaD de t? ji,于是 ? ?nji npjpippt bbbbD ???111 1? ??? ? nji npjpippt aaaa ???111? ??? ? ,1 11 nij npjpippt aaaa ???? ??,1 為自然排列其中 nji ???.1 的逆序數(shù)為排列 nji ppppt ???,11 tpppp nji 的逆序數(shù)為設(shè)排列 ???則有 即當(dāng) 時(shí) , jik ,? 。,0,1 jijiDDAaijnkkjki 當(dāng)當(dāng)?????????