第一章行列式-全文預(yù)覽
【正文】 02211 jiAaAaAa njnijiji ????? ?相同 關(guān)于代數(shù)余子式的重要性質(zhì) ????????? 。,0,1 jijiDDAaijnkjkik 當(dāng)當(dāng)????????.,0,1jijiij 當(dāng)，當(dāng)其中三、小結(jié) 思考題 階行列式設(shè) nnnDn?????????00103010021321?求第一行各元素的代數(shù)余子式之和 .11211 nAAA ??? ?思考題解答 解 第一行各元素的代數(shù)余子式之和可以表示成 nAAA 11211 ??? ?n?????????001030100211111?.11!2???????? ?? ??nj jn。,0,1 jijiDDAaijnkjkik 當(dāng)當(dāng)????????.,0,1jijiij 當(dāng)，當(dāng)其中例３ 計算行列式 277010353????D解 27013 ???D.27?按第一行展開，得 2005?7713 ??0532004140013202527102135?????D例４ 計算行列式 解 0532004140013202527102135?????D66027013210 ???? ? 66 27210 ?????? ? .1080124220 ?????53241413252 ?????? ?53204140132021352152???????13 rr ?? ? 12 2 rr ??? 1. 行列式按行（列）展開法則是把高階行列式的計算化為低階行列式計算的重要工具 . ????????? 。kpkp ab ? 當(dāng) 時 , jik ,?, ipjpjpip abab ??例如 推論 如果行列式有兩行（列）完全相同，則此行列式為零 . 證明 互換相同的兩行，有 .0?? D,DD ??? ? ? ? ,11 1tt ????故 ? ? .111 11 DaaaaDnij npjpippt ????? ? ???證畢 ,571571??266853.825825??361567567361266853性質(zhì) 3 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一數(shù) ，等于用數(shù) 乘此行列式 . k knnnniniinaaakakakaaaa?????????????????212111211nnnniniinaaaaaaaaak?????????????????212111211?推論 行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符號的外面． 性質(zhì)４ 行列式中如果有兩行（列）元素成比例，則此行列式為零． 證明 nnnniniiiniinaaakakakaaaaaaa?????????????????????????21212111211nnnniniiiniinaaaaaaaaaaaak?????????????????????????21212111211?.0?性質(zhì) 5 若行列式的某一列（行）的元素都是兩數(shù)之和 . nnnininnniiniiaaaaaaaaaaaaaaaD??????????)()()(2122222211111211???????則 D等于下列兩個行列式之和： nnninnininnninniniaaaaaaaaaaaaaaaaaaD?????????????????????????122211111122211111例如 性質(zhì)６ 把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一數(shù)然后加到另一列 (行 )對應(yīng)的元素上去，行列式不變． njnjninjjinjiaaaaaaaaaaaa?????????????12222111111njnjnjninjjjinjjijiaakaaaaakaaaaakaaakrr?????????????)()()(1222221111111?????k例如 例１ 2101044614753124025973313211???????????D應(yīng)用舉例 計算行列式常用方法：利用運算 把行列式化為上三角形行列式，從而算得行列式的值 ． ji krr ?3? ?2101044614753124025973313211???????????D3? ?解 2101044614753124022022013211312?????????? rr2101044614753140202022013211?????????2101044614753124022022013211312?????????? rr? ?2???? ?3???13 2rr ?? ??? 4?42 rr ?2220020220140203512013211????????? 2220035120140202022013211?????????14 4rr ?13 3rr ?2220001000211003512013211????????34 rr ?2220020220211003512013211?????????23 rr ??? ?2???6000001000211003512013211????????? ?? ?? ?612 ?????45 4rr ? .12?6400001000211003512013211????????35 2rr ?4??例 2 計算 階行列式 nabbbbabbbbabbbbaD??????????解 ? ?? ?? ?? ? abbbnababbnabbabnabbbbna?????????1111?????????D將第 都加到第一列得 n,3,2 ?? ?abbbabbbabbbbna?????????1111)1( ???? ?babababbbbna????????1)1(00? ? .)()1( 1????? nbabna例 3 nnnnnknkkkkkbbbbccccaaaaD????????????1111111111110?設(shè),)d e t (11111kkkkijaaaaaD?????? ,)d e t (11112nnnnijbbbbbD??????.21 DDD ?證明 證明 。 n !n 一階行列式 不要與絕對值記號相混淆 , 例如 |1|=1。 推論： n個數(shù)的所有排列中 一半，各為 !2n 個 。 設(shè) n級排列 11mli i abj j經(jīng)相鄰對換變成 11mli i baj j顯然，這一變化只使 a,b兩數(shù)間的“序”發(fā)生變化。 將相鄰的兩個數(shù)對換，稱為 相鄰對換。
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