第一章行列式(文件)
【正文】 bbbaaa111111111111122223??.0?,312213332112322311322113312312332211aaaaaaaaaaaaaaaaaa??????333231232221131211aaaaaaaaa例如 ? ?3223332211 aaaaa ?? ? ?3321312312 aaaaa ??? ?3122322113 aaaaa ??333123211333312321123332232211 aaaaaaaaaaaaaaa ???一、余子式與代數(shù)余子式 在 階行列式中，把元素 所在的第 行和第 列劃去后，留下來的 階行列式叫做元素 的 余子式 ，記作 n ija i j1?n ija.Mij? ? ，記 ijjiij MA ??? 1叫做元素 的 代數(shù)余子式 ． ija例如 44434241343332312423222114131211aaaaaaaaaaaaaaaaD ?44424134323114121123aaaaaaaaaM ?? ? 233223 1 MA ??? .23M??,44434241343332312423222114131211aaaaaaaaaaaaaaaaD ?,44434134333124232112aaaaaaaaaM ?? ? 122112 1 MA ??? .12M??,33323123222113121144aaaaaaaaaM ?? ? .1 44444444 MMA ??? ?.個(gè)代數(shù)余子式對(duì)應(yīng)著一個(gè)余子式和一行列式的每個(gè)元素分別引理 一個(gè) 階行列式，如果其中第 行所有元素除 外都為零，那末這行列式等于 與它的代數(shù)余子式的乘積，即 ． ijij AaD ?n iija ija44434241332423222114131211000aaaaaaaaaaaaaD ?? ? .14442412422211412113333aaaaaaaaaa???例如 證 當(dāng) 位于第一行第一列時(shí) , ijannnnnaaaaaaaD??????21222211100?即有 .1111 MaD ?又 ? ? 111111 1 MA ??? ,11M?從而 .1111 AaD ?在證一般情形 , 此時(shí) nnnjnijnjaaaaaaaD????????????1111100?,1,2,1 行對(duì)調(diào)第行第行行依次與第的第把 ?? iiiD得 ? ?nnnjnnijiiijiaaaaaaaD????????????1,1,11,11001 ??????ijaija,1,2,1對(duì)調(diào)列第列第列列依次與第的第再把 ?? jjjD得 ? ? ? ?nnjnnjnijijiijjiaaaaaaaD????????????1,11,1,1110011???????????ija? ?nnjnnjnijijiijjiaaaaaaa????????????1,11,1,12001?????????? ?nnjnnjnijijiijjiaaaaaaa????????????1,11,1,1001????????ijaijannnjnijnjaaaaaaaD????????????1111100?中的余子式 .ijM在余子式仍然是中的在行列式元素ijnnjnnjnijijiijijaaaaaaaaa????????????1,11,1,100?????ijaija故得 ? ?nnjnnjnijijiijjiaaaaaaaD????????????1,11,1,1001????????? ? .1 ijijji Ma???于是有 nnjnnjnijijiijaaaaaaa????????????1,11,1,100?????,ijij Ma?ijaija定理３ 行列式等于它的任一行（列）的各元素與其對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和，即 ininiiii AaAaAaD ???? ?2211? ?ni ,2,1 ??證 nnnniniinaaaaaaaaaD??????????????212111211000000 ??????????二、行列式按行（列）展開法則 nnnninaaaaaaa???????????2111121100?nnnninaaaaaaa???????????2121121100?nnnninnaaaaaaa????????????211121100??ininiiii AaAaAa ???? ?2211? ?ni ,2,1 ??例 1 3351110243152113???????D03550100131111115?????? ? 31 2 cc ??34 cc ?0551111115)1( 33?????? ?055026115???5526)1( 31????? ?5028???.40?12 rr ? 證 用數(shù)學(xué)歸納法 21211xxD ?? 12 xx ?? ,)(12 ? ??? ?? ji ji xx）式成立．時(shí)（當(dāng) 12?? n例 2 證明范德蒙德 (Vandermonde)行列式 ??????????1112112222121).(111jinjinnnnnnnxxxxxxxxxxxD???????)1(，階范德蒙德行列式成立）對(duì)于假設(shè)（ 11 ?n)()()(0)()()(0011111213231222113312211312xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxDnnnnnnnnn?????????????????????就有提出，因子列展開，并把每列的公按第 )(1 1xx i ?)()())((211312 jjin innxxxxxxxxD ?????? ?????).(1 jjin ixx ?? ????223223211312111)())((???????nnnnnnxxxxxxxxxxxx??????? n1階范德蒙德行列式 推論 行列式任一行（列）的元素與另一行（列）的對(duì)應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零，即 .ji,AaAaAa jninjiji ????? 02211 ?,11111111nnnjnjininjnjnjjaaaaaaaaAaAa??????????? ???證 行展開，有按第把行列式 jaD ij )d e t (?,11111111nnniniininjninjiaaaaaaaaAaAa??????????? ???可得換成把 ),1( nkaa ikjk ??行第 j行第 i,時(shí)當(dāng) ji ?).(,02211 jiAaAaAa jninjiji ????? ?同理 ).(,
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