【正文】 定義 : 設(shè) A為方陣 , 若存在方陣 B, 使得 AB=BA=I. 則稱 A可逆 , 并稱 B為 A的 逆矩陣 . 2. 逆矩陣的唯一性 事實上 , 若 AB=BA=I, AC=CA=I, 則 B = BI = B(AC) = (BA)C = IC = C. 今后我們把可逆矩陣 A的逆矩陣記為 A?1. 命題 . 設(shè)方陣 A可逆 , 則其逆矩陣是唯一的 . 第二章 矩陣運算和行列式 ? 167。 逆矩陣 對于 n元線性方程組 ???????????????????nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa????????22112222212111212111 記 D = a11 a12 … a1n a21 a22 … a2n … … … … an1 an2 … ann , D1 = b1 a12 … a1n b2 a22 … a2n … … … … bn an2 … ann , D2 = a11 b1 … a1n a21 b2 … a2n … … … … an1 bn … ann , …, Dn = . a11 a12 … b1 a21 a22 … b2 … … … … an1 an2 … bn 第二章 矩陣運算和行列式 ? 167。 逆矩陣 二 . 逆矩陣的運算性質(zhì) 定理 A, B為同階可逆方陣 , 數(shù) k ? 0. 則 (1) (A?1)?1 = A, |A?1| = |A|?1. (2) (AT)?1 = (A?1)T. (3) (kA)?1 = k?1A?1. (4) (AB)?1 = B?1A?1. 例 9. 設(shè) A與 I?A都可逆 , G = (I?A)?1?I, 求證 G也 可逆 , 并求 G?1. 證明 : G = (I?A)?1? (I?A)?1(I?A) = (I?A)?1(I? (I?A)) = (I?A)?1A G?1 = A?1(I?A) = A?1 ?I. 第二章 矩陣運算和行列式 ? 167。 行列式的性質(zhì)及計算 命題 . n階行列式的某一行 (列 )元素與另一行 (列 ) 的對應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和為零 . 即 ai1Aj1 + ai2Aj2 + … + ainAjn = 0 (i ? j) a1iA1j + a2iA2j + … + aniAnj = 0 (i ? j). 定理 n階行列式 D = |[aij]|, 則 ? aikAjk = D?ij , k=1 n ? akiAkj = D?ij . k=1 n ? ? 第二章 矩陣運算和行列式 ? 167。 行列式的性質(zhì)及計算 第二章 矩陣運算和行列式 ? 一般地 , 在 n階行列式中 , 把元素 aij所在的第 i行 和第 j列劃去 , 留下來的 n?1階行列式叫做元素 aij的 余子式 , 記作 Mij, 令 Aij = (?1)i+jMij, 并稱之 為 aij的 代數(shù)余子式 . 例如 , 四階階行列式 中 a32的余子式為 a11 a12 a13 a14 a21 a22 a23 a24 a31 a32 a33 a34 a41 a42 a43 a44 a11 a13 a14 a21 a23 a24 a41 a43 a44 M32= , 代數(shù)余子式 A32 = (?1)3+2M32 = ?M32. 167。 行列式的性質(zhì)及計算 ? 性質(zhì) 7. 方陣乘積的行列式等于方陣行列式的 乘積 , 即對于同階方陣 A, B, 有如下 乘 法公式 |AB| = |A||B|. 二 . 行列式按行 (列 )展開 a11 a12 a21 a22 a11+0 0+a12 a21 a22 = a11 0 a21 a22 = 0 a12 a21 a22 + = a11a22 ? a12a21 = a11 行列式的性質(zhì)及計算 ? 注 : 用常數(shù) k乘行列式 D中的第 j行 (列 )再加到第 i行 (列 )上 , 記為 ri+krj (ci+kcj). 例 2. 1 2 ?4 (1) ?2 2 1 ?3 4 ?2 ?2 1 2 ?4 = 0 6 ?7 ?3 4 ?2 ?3 1 2 ?4 = 0 6 ?7 0 10 ?14 1 2 ?4 = 2 0 6 ?7 0 5 ?7 1 ?4 2 = ? 2 0 ?7 6 0 ?7 5 ?(? 1) 1 ?4 2 = ? 2 0 ?7 6 0 0 ?1 = ?14. ?(? ) 5 3 第二章 矩陣運算和行列式 167。 行列式的性質(zhì)及計算 167。 方陣的行列式 定理 . 每一個對換都改變排列的奇偶性 . ????????? ????????? ????????? 1 ????????? 2 ????????? 3 ????????? 4 ????????? 5 ????????? 6 ????????? 7 ????????? 8 9 ????????? ????????? 1 ????????? 2 ????????? 3 ????????? 4 ????????? 5 ????????? 6 ????????? 7 推論 . n?2時 , n個 元素的所有排列中 , 奇、偶 排列各占一半 , 即各有 n!/2個 . 第二章 矩陣運算和行列式 ? 167。 矩陣及其運算 ? 六 . 方陣的多項式 設(shè) A為一個方陣 , f(x)為一個多項式 稱之為 方陣 A的一個多項式 . f(x) = asxs + as?1xs?1 + … + a1x + a0 規(guī)定 f(A) = asAs + as?1As?1 + … + a1A + a0I 5. 反對稱矩陣 若矩陣 A滿足 AT = ?A, 則稱 A為 反對稱矩陣 . 可以證明任何一個方陣都可以寫成一個對 稱矩陣與一個反對稱矩陣的和 . 第二章 矩陣運算和行列式 167。 矩陣及其運算 ? 例 6. 設(shè) A = cos? ?sin? sin? cos? , . 求證 An = cosn? ?sinn? sinn? cosn? 證明 : 當(dāng) n = 1時 , 結(jié)論顯然成立 . 假設(shè)結(jié)論對于 n = k成立 , 即 . cosk? ?sink? sink? cosk? Ak = cos? ?sin? sin? cos? 則 Ak+1 = AkA cosk? ?sink? sink? cosk? = 第二章 矩陣運算和行列式 167。 矩陣及其運算 ? 定理 設(shè) k是數(shù) , 矩陣 A, B, C 使以下各式中 一端有意義 , 則另一端也有意義并且 等式成立 (1) (AB)C = A(BC), (2) A(B+C) = AB + AC, (A+B)C = AC+BC, (3) (kA)B = k(AB). 對于 (1)的證明 , 我們先來看一個具體的例子 : a11 a12 a13 a21 a22 a23 如 A= , b11 b12 b21 b22 b31 b32 B = , c11 c12 c21 c22 C = . 第二章 矩陣運算和行列式 167。 矩陣及其運算 ? 注 : ① 若矩陣 A = (aij)m?n的元素都是零 , 則稱之 為 零矩陣 , 記為 Om?n. 在不引起混淆的情況下 , 簡記為 O. ② 設(shè)矩陣 A = (aij)m?n , 記 ?A = (?aij)m?n , 稱 之為 A的 負(fù)矩陣 . ③ 設(shè) A, B是同型矩陣 , 則它們的 差 定義為 A + (?B). 記為 A ? B. 即 A ?B = A + (?B). 第二章 矩陣運算和行列式 167。 167。 a11 a12 … a1n a21 a22 … a2n … … … … am1 am2 … amn 注 : 元素都是實 (復(fù) )數(shù)的矩陣稱為 實 (復(fù) )矩陣 . 今后除非特別說明 , 我們所考慮的矩陣都 是實矩陣 . ? 例 1. 某廠家向三個代理商發(fā)送四種產(chǎn)品 . 南京 蘇州 常州啤酒( 瓶裝) 20 16 200 180 190啤酒( 易拉罐) 50 20 100 120 100干啤 30 16 150 160 140生啤 25 16 180 150 150重量( K g / 箱 )單價( 元 / 箱 )數(shù)量 ( 箱 )A = 20 50 30 25 16 20 16 16 B = 200 180 190 100 120 100 150 160 140 180 150 150 第二章 矩陣運算和行列式 167。 矩陣及其運算 ? 三 . 矩陣與矩陣相乘 例 4. 某廠家向三個代理商發(fā)送四種產(chǎn)品 . 南京 蘇州 常州啤酒( 瓶裝) 20 16 200 180 190啤酒( 易拉罐) 50 20 100 120 100干啤 30 16 150 160 140生啤 25 16 180 150 15018000 18150 1675010480 10240 9680數(shù)量 ( 箱 )總價( 元)總重( K g )重量( K g / 箱 )單價( 元 / 箱 )A = 20 50 30 25 16 20 16 16 B = 200 180 190 100 120 100 150 160 140 180 150 150 第二章 矩陣運算和行列式 167。 矩陣及其運算 ? ? 結(jié)合律的妙用之一 設(shè) A = BC, 其中 B = , C = [1 2 3], 1 2 3 1 2 3 2 4 6 , 3 6 9 則 A = 我們可以定義 A的 正整數(shù)冪 (還有“ 妙用 之二”喔 ~~~!) A1 = A, A2 = AA, …, Ak+1 = AkA, 對于這里的 A, A2022 = ? 當(dāng)然 , 對于任意方陣 A, 都可以像上面這樣去 定義 A的正整數(shù)冪 . 而且有如下結(jié)論 第二章 矩陣運算和行列式 167。 矩陣及其運算 ? 定理 矩陣的轉(zhuǎn)置運算滿足如下性質(zhì) (1) (AT)T = A, (2) (A+B)T = AT + BT, (3) (kA)T = kAT, (4) (AB)T = BTAT. 五 . 幾種特殊的矩陣 1. 對稱矩陣 若矩陣 A滿足 AT = A, 則稱 A為 對稱矩陣 . 矩陣 A = [aij]m?n為對稱矩陣的充分必要 條件是 : m = n且 aij = aji (i, j = 1, 2, …, n). 第二章 矩陣運算和行列式 167。 方陣的行列式 a11x1 + a12x2 = b1 a21x1 + a22x2 = b2 x1= b1a22?a12b2 a11a22?a12a21 有唯一確定的解 x2= a11a22?a12a21 a11b2?b1a21 問題 : ① 能用對角線法則定義四階行列式嗎 ?