【正文】 ow)、 豎排稱 列(column))的數(shù)表 1 1 1 22 1 2 2 ( 1 )aaaa1. 定義 11 22 12 2111 1221 221( 2 )a a a aaaaa?表 達(dá) 稱 為 數(shù) 表 （ ） 所 確 定 二 階行 列 式的， 并 記 作式即 .2112221122211211 aaaaaaaaD ???其中 aij 稱為行列式 (1)的元素或元 . (i,j=1,2) aij 的第一個下標(biāo) i 稱為行標(biāo) . aij 的第二個下標(biāo) j 稱為列標(biāo) . aij 稱為 行列式第 i 行第 j 列的元素 . 11a 12a22a21a主對角線 副對角線 對角線法則 2211aa? .2112 aa?二階行列式的計(jì)算 若記 1 1 1 21 1 2 2 1 2 2 12 1 2 2,aaD a a a aaa? ? ????????.,22221211212111bxaxabxaxa對于二元線性方程組 系數(shù)行列式 ???????.,22221211212111bxaxabxaxa,22211211aaaaD ?，211222112122211 aaaabaabx??????????.,22221211212111bxaxabxaxa,2221211 ababD ????????.,22221211212111bxaxabxaxa,22211211aaaaD ?，211222112122211 aaaabaabx???1 1 2 1 2 121 1 2 2 1 2 2 1.a b b ax a a a a?? ????????.,22221211212111bxaxabxaxa,2221211 ababD ????????.,22221211212111bxaxabxaxa.2211112 babaD ?，211222112122211 aaaabaabx???1 1 2 1 2 121 1 2 2 1 2 2 1.a b b ax a a a a?? ?則二元線性方程組的解為 1 122 221 1 22 2 12111 12 11 22 21 1221 22,babaD b a b axaaD a a a aaa?? ? ??注意 分母都為原方程組的系數(shù)行列式 . 11 121 22 2 11 1 21211 12 11 22 21 1221 22.ababD b a b axaaD a a a aaa?? ? ??并且可以看到，二元線性方程組的求解問題其實(shí)就是 二階行列式的計(jì)算問題 . 例 1 求方程組 的解。212221121122211 baabxaaaa ??? ）（,211211221122211 abbaxaaaa ??? ）（21a?11a?類似可以消去 得， 1,x1 1 2 2 1 2 2 1 1 1 2 2 1 2 21 1 2 2 1 2 2 1 2 1 1 2 1 2 1。 ??????????????。,333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa,3333123221131112abaabaabaD ?得 ??????????????。 三、 全排列及其逆序數(shù) 在一個排列 中，若數(shù) 則稱這兩個數(shù)組成一個逆序 . ? ?nst iiiii ???21st ii ?例如 排列 32514 中， 定義 排列的逆序 數(shù) 3 2 5 1 4 逆序 逆序 逆序 定義 一個排列中所有逆序的總數(shù)稱為此排列的逆序數(shù) .記為 12()ni i i?32 31 21 51 54都是逆序 3 2 5 1 4 逆序數(shù)為 2 0 2 01故此排列的逆序數(shù)為 2+1+2+0+0=5. 所以 τ(32514)=5 計(jì)算排列的逆序數(shù)的方法： 分別計(jì)算出排列中 每個元素后面比它小的數(shù)碼個數(shù) ， 即算出排列中 每個元素的逆序數(shù) ， 將每個元素的逆序數(shù)求和即得所求 排列的逆序數(shù) . 32 31 21 51 54都是逆序 定義 逆序數(shù)為偶數(shù)的排列稱為 偶排列 ，逆序數(shù)為奇數(shù)的排列稱為 奇排列 。 返回 上一頁 下一頁 練習(xí) 計(jì)算下列排列的逆序數(shù)，并判斷奇偶性。 123 312231( 321 ) 3,? ?同理： ( 321 ) ( 213 ) ( 132 )( 1 ) 1 , ( 1 ) 1 , ( 1 ) 1? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?11 12 1321 22 2331 32 33a a aa a aa a a?( 213 ) 1 ,? ? 全為奇排列， 為負(fù)號。如 nn 的符號為 nnppp aaa ?21 21 12()( 1 ) np p p??項(xiàng)。 定理 121 1 2 2( . . . ) ( . . . )12( 1 ) ...nnnp p p q q q np q p q p qD a a a?? ?? ? ?1 2 1 2.. . .. .nnp p p q q q n其 中 和 都 是 級 排 列 。 其中， 階行列式還可定義為 n 參見 P8：等價(jià)定義形式二 例 1 計(jì)算對角行列式 0004003002001000分析 展開式中項(xiàng)的一般形式是 1 2 3 41 2 3 4() 1 2 3 4( 1 ) p p p p p p p pa a a a??41 ?p若 ,011 ?? pa 從而這個項(xiàng)為零， 所以 只能等于 , 1p 4 同理可得 1,2,3 432 ??? ppp解 0004003002001000? ? ? ? 43211 4 3 2 1 ????? ? .24?即行列式中不為零的項(xiàng)為 .aaaa 41322314n????21? ? ? ? .1 212 1 nnn ??? ????。 行列式中 ， 除對角線上的元素以外 ， 其他元素全為零 （ 即 i≠j時(shí)元素 aij＝ 0） 的行列式稱為 對角行列式 ，它等于對角線上元素的乘積 。 主要內(nèi)容： ，即行、列互換； 、列初等變換。 證： 記 即 bij＝ aji (i， j＝ 1， 2， … ， n) 返回 上一頁 下一頁 按行列式定義 性質(zhì) 2 互換行列式的兩行（列），行列式反號。 性質(zhì) 4 行列式中若有兩行元素對應(yīng)成比例， 則此行列式為零。） (下 )三角形方法． 行列式按行（列）展開 定義 6 n階行列式中，劃去元素 aij所在的行和列中的元素，余下的元素按其原有的順序構(gòu)成一個 n－ 1階行列式叫做 元素 aij的余子式 ，記為 Mij 。4 0 2????32A ? ? ?32 321 M??22a3 2 70 3 0 。按行 (列 )展開尋找 0多的行(列 )展開，或者利用性質(zhì)將行列式的某行 (列 )化為只有一個非零元素后再展開。 當(dāng)方程組右邊的常數(shù)項(xiàng)全部為零時(shí) ,方程組變?yōu)?齊次線性方程組 . 它總有解 x1=0,x2=0,…,x n=0,稱為齊次線性方程組的零解。 容易驗(yàn)證 ,當(dāng) ? =2, ? =5,或 ? =8時(shí) ,齊次線性方程組有非零解 . 返回 上一頁 應(yīng)用舉例 00aDb?ab?α β ( , 0 )( 0 , )a b?? ??????從上圖得知： 二階行列式的行向量組 ,?? 所確定的矩形的面積等于 D進(jìn)一步： 二階行列式的行向量組 , k? ? ?? 所確定的平行四邊形的面積等于 k???二階行列式的行向量組 ,?? 所確定的矩形的面積等于 D11 1221 22aaaa00ab行 變 換二階行列式： 返回 上一頁 下一頁 定理 1 二階行列式的絕對值等于由 與 所確定的平行四邊形的面積。 ( 1 , 1 , 0) , ( 2 , 0 , 2) , ( 1 , 1 , 1 )? ? ?? ? ? ?解 構(gòu)造三階行列式 1 1 02 0 2 2111D?? ? ?根據(jù)定理，可知平行四邊形的面積為 2SD??