【正文】 ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ???? ? ? ?????數(shù) 余 子 式 乘 積 之 和 等 于 零 ， 所 以 ：， 即120 2 6 6010 0 1??? ? ? ?111 0 .. . 0 00 1 .. . 0 00 0 .. . 0 0 .. . .. . .. . .. . .. . .. .0 0 0 .. . 1.3.. 0nn n nxxxDxa a a x a??????算例 計1 2 3 1111 0 ... 0 00 1 ... 0 00 0 ... 0 0... ... ... ... ... ...0 0 0 ... 1... 0 ( 1 ) ( 1 ) nn n nnnnxxxDxxa a a x aa? ? ????????? ? ?按 第 一 列 展 開解11 2 12 3 22 1 22111121 2 1.......1...n n nn n nn n nn n nn n nD x D aD x D aD x D axD x D aa x aD x aD x a x a x a x a?? ? ?? ? ???????????? ? ????? ? ? ? ? ? ?11 2 12 2 2 21 2 111 1 1 11 2 11 2 11 1 2 2 1 1, ..., 21 1 ... 1 1... ... ( )... ... ... ... ......1 1 ... 1 1( ) ( ) ... ( ) 0 ( ) ( ) ... ( ) 0... ...4i n innn n n i jj i nn n n nnnn n n nr x rn n n n n ninx x x xD x x x x x xx x x xx x x x x xD x x x x x x x x x???? ? ?? ? ? ???????? ? ?? ? ?? ? ? ??例證證 明2 2 21 1 2 2 1 111 2 1 11 2 1 1... ... ...( ) ( ) ... ( ) 0 ( 1 ) ( ) ( ) ...( ) ( ) ( ) ...( )n n nn n n n nnn n n n nn n n n n nx x x x x x x x xx x x x x x Dx x x x x x D? ? ??????? ? ?? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?1 2 1 12 2 1121 2 2 11 2 1 2 1 1( ) ( ) ...( ) ( , 1 , ..., 3 )11( ) ( ) ...( ) ( ) ( ) ...( ) ( ) k k k k k k kn n n n n n nn n n nD x x x x x x D k n nD x xxxD x x x x x x x xx x x x x x? ? ???? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?3 2 3 1 2 1 ...... ( ) ( ) ( )x x x x x x? ? ? ? ?該 行 列 式 稱 之 為 范 德 蒙 行 列 式12 11 1 12 2 1 121 1 22 2 2 21 1 2 , , ..., ...... ...............nijinnnnnnn x x x naba x a x a x ba x a x a x ba x a? ? ? ?? ? ? ??含 有 個 末 知 數(shù) 的 個 線 性 方程 的 方 程 組 稱 為 線 性 方 程 組 ， 稱 為 方 程 組 的系 數(shù) ， 稱 為 常 數(shù) 項 。 常 數(shù) 項 不 全 為 零 的 方 程 組稱 為 非 齊 次 線 性 方 程 組 ， 常 數(shù) 項 全 為 零 的 方 程組 稱 為 齊 次 方 程 組 。2 ( 1)...nn n nx a x b?????? ? ? ??一、線性方程組 第五節(jié) 克萊姆法則 11 1 12 2 121 1 22 2 21 1 2 2... 0... 0 ( 2).................. 0nnnnn n nn na x a x a xa x a x a xa x a x a x? ? ? ???? ? ? ????? ? ? ? ??二、克萊姆法則 11 12 121 22 212 ( 1) ...... 0... ... ... ......nnn n nna a aa a aDa a a??如 果 線 性 方 程 組 的 系 數(shù) 行 列 式 不 等 于 零 ，即121211 1 1 1 1 1 121 2 1 2 2 1 21 1 1 ( 1) ... ... ...... ... ... ... ... ... ... ... ...... ... ( 1,2, ..., )nnj j nj j njn nj n nj nnD D Dx x xD D Da a b a aa a b a aDa a b a ajn??????? ? ???那 么 方 程 組 有 唯 一 組 解其 中1 2 111111 ( 1) , , ..., ( ) ... ( ) ... ( ) j j n jnnk k j k j k j jkknnk n k j n k k jkkjA A Aa A x a A xa A x b AxD????? ? ???????將 方 程 組 依 次 乘 以 ， 然后 相 加 得由 代 數(shù) 余 子 式 的 性 質(zhì) 可 知 ， 上 式 中 除 的 系 數(shù)為 外 ， 其 余 全 為 零 ， 于 是 有證 明 ： ( 1 , 2 , ..., ) ( 3)jjDx D j n??1212 0 ( 3) ... ( 4)nnDD D Dx x xD D D?? ? ?當 時 ， 方 程 組 有 唯 一 解 ， 且 解 為至 于 （ 1 ） 解 的 唯 一 性 在 稍 后 矩 陣 論 中 則 為 顯 然 。定理 1： 方程組 (1)一定有解，且解是唯一的充要條件是線性方程組 (1)的系數(shù)行列式 D≠0。 定理 2： 如果線性方程組 (1)無解或有兩個不同的解，則它的系數(shù)行列式必等于零，即 D =0。 定理 3： 齊次方程組 (2)只有零解，而沒有非零解的充要條件是齊次線性方程組 (2)的系數(shù)行列式D≠0。 定理 4： 齊次方程組 (2)有非零解的充要條件是齊次線性方程組 (2)的系數(shù)行列式 D =0。 三、幾個相關(guān)定理 121 2 32 3 43 4 5455 6 1 ,5 6 0 ,5 6 0 ,5 6 0 ,15 1..xxx x xx x xx x xxx????? ? ???? ? ???? ? ??????求 解 方 程 組例1 2 3 451 2 3446 6 5 0 , 10 57, 11 45 , 70 3 , 39 5 , 21 2 ,1 5 0 7 1 1 4 5 7 0 3 。 。 。6 6 5 6 6 5 6 6 53 9 5 2 1 2 。6 6 5 6 6 5DD D D DDx x xxx??? ? ? ? ? ??? ? ? ????由 于 所 以 方 程 組 有 唯 一 解 . 而解所 以：1 2 31 2 31 2 3,( 1 ) 2 4 0 22.( 3 ) 0 ?( 1 ) 0x x xx x xx x x????? ? ? ???? ? ? ??? ? ? ? ??問 取 何 值 時 齊 次 線 性 方 程 組有 非 零 解例3321 2 4 1 3 42 3 1 2 1 11 1 1 1 0 1 ( 1 ) ( 3 ) 4( 1 ) 2( 1 ) ( 3 ) ( 1 ) 2( 1 ) 3 (3 ) ( 2: )03 2 0 .DDor or? ? ?????? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ?齊 次 方 程 組 要 有 非 零 解 ， 必 有 ，故 時 方 程 組 有 非 零 解解1 1 21 2 212...... ( 0 ). . . . . . . . . . . ....3.nnninna b a aa a b aDba a a b?????例 121 1 21 2 2121 ...0 ...0 ...... ... ... ... ...0 ...nnn nnna a aa b a aD a a b aa a a b?? ??解 ： 采 用 加 邊 法 11111 2 1 21122121 2 1 21212121 ... ...1 0 ... 0 0 0 ... 01 0 ... 0 0 0 ... 0... ... ... ... ... ... ... ... ... ...1 0 0 ... 0 0 0 ...... ... 1 ...1 ...niinnccbnnnnnnnna a a t a a abbbbbba a at b b b b b bb b ba a atb b b?? ????????? ? ? ? ? ?????? ? ? ? ?其 中