【正文】 求解方程個數(shù)和未知量個數(shù)相同的一次方程組的需要而定義的 . 階行列式共有 項，每項都是位于不同行、不同列 的 個元素的乘積 ,正負號由下標排列的逆序數(shù)決定 . nn!n小結 行列式的性質 研究行列式性質的主要目的是 : 一、簡化行列式的計算 . 二、為進一步在理論上研究行列式做準備。 性質 1 行列式與它的轉置行列式相等 。 交換行列式 i， j兩行記作 ri←→ rj，交換行列式 i， j兩列，記作 ci←→ cj 證：由條件有 D＝－ D 故可得 D＝ 0 返回 上一頁 下一頁 性質 3 行列式的某一行（列）中所有元素都乘以同一個數(shù) k，等于用數(shù) k乘以此行列式。 二、兩種計算方法： ；（主要用于二、三階行列式或每行每列只有 一個非零元素的高階行列式。 返回 上一頁 下一頁 例 寫出行列式 D中元素 和 32a 的余子式和代數(shù)余子式， 其中 3 2 2 70 1 3 01 5 6 34 1 0 2D??????解： 根據(jù)定義，得 32M ?3 2 70 3 0 。 返回 上一頁 下一頁 定理 3 行列式等于它的任一行（列）的各元素與其對應的代數(shù)余子式乘積之和，即 證 返回 上一頁 下一頁 返回 上一頁 下一頁 例 計算四階行列式 1 0 5 60 1 1 0.4 0 3 83 0 2 0D????解 1： 按行列式第一行展開，得 1 1 1 1 1 2 1 2 1 3 1 3 1 4 1 4D a A a A a A a A????1 1 1 2 1 3 1 41 1 1 1 1 2 1 2 1 3 1 3 1 4 1 4( ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )a M a M a M a M? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?1 1 1 1 1 2 1 2 1 3 1 3 1 4 1 4a M a M a M a M? ? ? ?1 1 01 0 3 80 2 0????0 1 00 4 3 83 2 0?????0 1 05 4 0 8300???0 1 16 4 0 33 0 2?????1 6 5 2 4 6 9 8? ? ? ? ? ?解 2： 按行列式第 2列展開，得 1 0 5 60 1 1 04 0 3 83 0 2 0D????1 2 1 2 2 2 2 2 3 2 3 2 4 2 4 2D a A a A a A a A? ? ? ?1 2 1 2 2 2 2 2 3 2 3 2 4 2 4 2a M a M a M a M? ? ? ? ?1 2 2 2 3 2 4 20 1 0 0M M M M? ? ? ? ? ? ? ? ?22M?1 5 64 3 83 2 0??? 1 2 0 4 8 5 4 1 6 9 8? ? ? ? ? ? ? 顯然，解 2比解 1要簡單。 解答 （ 1） 原式 1 2 3 23 3 3 21 3 1 21 3 3 1???????12CC? 213rr?31rr?41rr?1 2 3 20 3 6 40 1 4 00 1 0 3?? ? ????按第一列展開 113 6 4( 1 ) ( 1 ) 1 4 01 0 3?? ? ?? ? ? ? ??214cc? 3 1 8 41 0 01 4 3? ? ??按第二行展開 21 1 8 41 ( 1 )43? ?????? ?1 ( 1 8 ) ( 3 ) ( 4 ) 4 7 0? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?解答 （ 2） 原式 1 0 2 01 0 13 00 2 5 33 1 1 0??232rr?341 0 23 ( 1 ) 1 0 133 1 1?? ? ?按第四列展開 32 123 1 ( 1 )1 1 3?? ? ? ??按第二列展開 3 (1 3 2 ) 4 5? ? ?將代數(shù)式還原成 行列式，得 11 12 13 1433A A A A? ? ?3 1 3 13 3 2 20 3 4 03 1 3 1?????0? 克拉默法則 克拉默法則 如果線性方程組 的系數(shù)行列式不等于零 ,即 那么 ,方程組有唯一解 其中 Dj(j=1,2,…,n )是把系數(shù)行列式 D中的第 j列元素用方程組右端的常數(shù)項代替后所得到的 n階行列式 . 返回 上一頁 下一頁 證明 (1) 方程組簡寫為 把方程組的唯一解代入第 i個方程 ,左端為 返回 上一頁 下一頁 所以 (2)用 D中第 j列元素的代數(shù)余子式 A1j,A2j,…,A nj依次乘方程組的 n個方程 ,再把它們相加 ,得 當 D不等于零時 ,方程組有唯一解 . 返回 上一頁 下一頁 例 17 解線性方程組 解 返回 上一頁 下一頁 于是方程組有解 x1=3,x2=4,x3=1,x4=1 返回 上一頁 下一頁 克拉默法則亦可敘述為 定理 4 如果線性方程組的系數(shù)行列式 D?0,則方程組一定有解 ,且解是唯一的 。 例 若齊次線性方程組 有非零解，則 t應滿足什么條件？ 解 由定理 5,要方程組有非零解，其系數(shù)行列式必為零 . 返回 上一頁 下一頁 例 18 問 ?為何值時，齊次線性方程組 有非零解？ 解 方程組的系數(shù)行列式為 1t? ? ?返回 上一頁 下一頁 若方程組有非零解 ,則它的系數(shù)行列式 D=0,從而有 ? =2, ? =5, ? =8。 ,? ? ?例 計算由行向量 所確定的平行六面體的體積。 ? ?例 計算由行向量 所確定的平行四邊形的面積。 返回 上一頁 下一頁 推論 如果齊次線性方程組有非零解 ,則齊次線性方程組的系數(shù)行列式必為零 。 例 計算行列式 解 當 x＝ 0 或 y＝ 0時，顯然 D＝ 0，現(xiàn)假設 x≠ 0，且 y≠0 ，由引理知 返回 上一頁 下一頁 推論 行列式一行 (列 )的元素與另一行 (列 )的對應元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零 ,即 證 返回 上一頁 下一頁 當 i?j,將式中 ajk換成 aik(k=1,2,…,n ),可得 同理可證 返回 上一頁 下一頁 代數(shù)余子式的重要性質 : 返回 上一頁 下一頁 例 計算 n階行列式 (遞推公式法 ) 解 由行列式 Dn可知 將 Dn按第 1列展開 返回 上一頁 下一頁 這個式子對任何 n(n?2) 都成立 ,故有 返回 上一頁 下一頁 證 用數(shù)學歸納法 21211xxD ?? 12 xx ?? ,)(12 ? ??? ?? ji ji xx）式成立．時（當 12?? n例 證明范德蒙德 (Vandermonde)行列式 ??????????1112112222121).(111jinjinnnnnnnxxxxxxxxxxxD???????)1(，階范德蒙德行列式成立）對于假設（ 11 ?n)()()(0)()()(0011111213231222113312211312xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxDnnnnnnnnn?????????????????????就有提出，因子列展開，并把每列的公按第 )(1 1xx i ?)()())((211312 jjin innxxxxxxxxD ?????? ?????).(1 jjin ixx ?? ????223223211312111)())((???????nnnnnnxxxxxxxxxxxx??????? n1階范德蒙德行列式 注：對于此類型行列式，可直接用公式計算。4 0 2??? ? ??22A ? ? ?22 221 M??3 2 71 6 3 。 Aij叫做 元素 aij的代數(shù)余子式 。 返回 上一頁 下一頁 例 1. 計算行列式 11 3 12( 1 ) 0 0 03 9 10D ???21 3 12( 2) 2 6 973 9 0D ???12 0DD??答 案 ：性質 5 若行列式的某行（列）的元素都是兩個數(shù)之和