【正文】 ,0,i j i j i n jnD i ja A a A a Aij??? ? ? ?? ??綜上所述，有 同理可得 例 設(shè) , 的 元的余子式和 代數(shù)余子式依次記作 和 ，求 分析 利用 3 5 2 11 1 0 51 3 1 32 4 1 3D????? ? ?D ( , )ijijM ijA1 1 1 2 1 3 1 4A A A A???及 1 1 2 1 3 1 4 1 .M M M M???1 1 1 2 1 3 1 42 1 2 2 2 3 2 41 1 1 1 1 2 1 2 1 3 1 3 1 4 1 43 1 3 2 3 3 3 44 1 4 2 4 3 4 4a a a aa a a aa A a A a A a Aa a a aa a a a? ? ? ?1 2 52 0 21 0 0??解 1 1 1 2 1 3 1 41 1 11 1 0 5134311321A A A A?? ? ? ??? ? ?43rr?31rr?1 1 1 11 1 0 52 2 0 21 1 0 0???1152 2 2110????21cc?2502?? 4.?1 5 2 11 1 0 51 3 1 31 4 1 3????? ? ? ?1 0 51 0 51 1 3??? ? ?43rr?1 5 2 11 1 0 51 3 1 30 1 0 0????1 2 11 0 51 1 3? ? ? ?132rr?0.?1 1 2 1 3 4 4 1 1 1 2 1 3 1 4 1M M M M A A A A? ? ? ? ? ? ?拉普拉斯展開定理 行列式 D的 k階子式 M： 任選 D中 k行 k列，位于其交叉點元素按原來順序排列成的一個 k階行列式叫做 D的一個 k階子式 ,記為 M nnnnnnaaaaaaaaaD??????212222111211?設(shè) M的代數(shù)余子式 A： 在 N 之前冠以一個符號，符號由下式?jīng)Q定 )()( 21121)1( kk jjjiii ???????? ??其中 ),( 21,21 kk jjjiii ??表示 M 在 D中的 行標 和 列標 。 M的余子式 N： 劃去 k行、 k列后，余下的元素按原來順序排成的一個 nk階行列式 ,記為 N 如： 44434241343332312423222114131211aaaaaaaaaaaaaaaaD ?33312321aaaaMD ?的一個二階子式：44421412aaaaNM ?的余子式為：NAM )31()32()1( ?????的代數(shù)余子式為：定理 （拉普拉斯定理） 在 n階行列式 D中，任意 取定 k行 (列 )后，由這 k行 (列 )元素所組成的 一切 k階子式 與它的代數(shù)余子式的乘積之和等于行列式 D的值。 例 計算 1111021220121101010120222?????D 解： 按 1， 2行展開，不為零的二階子式為 1121111221 ???? MM1111021220121101010120222?????D 011121212111 ??NM 的余子式0)1( 1311111 ??? ??? NAM 的代數(shù)余子式011012021022 ??NM 的余子式0)1( 2531122 ??? ??? NAM 的代數(shù)余子式由拉普拉斯定理 0 ??? AMAMD — 利用 n階行列式的定義計算 。 — 利用性質(zhì)化為三角形行列式來 計算； — 利用行列式的按行 (列 )展開 性質(zhì)對行列式進行降階計算； 4. 加邊法 (升階法 )。 5. 遞推公式法； . 總結(jié) n行列式的計算方法 112211nnnnnababDabba???計算 n 階行列式 （ 兩道一點 ） 例 解 11 2 1 2 1( 1 )nn n n nD a a a b b b b??? ? ?11 2 1 2 1( 1 )nn n na a a b b b b??? ? ?0 1 21122000000nnna b b bcacaDca?0 1 21121221 0 00 1 0()0 0 1nnnna b b bcacD a a aaca?)0,( 21 ?naaa ?其中解： 例 計算行列式 箭形行列式 從第二行開始，每一行提出對角線上的元素。 0 1 21121221 0 00 1 0()0 0 1nnnna b b bcacD a a aaca?011112 220 0 01 0 0()0 1 00 0 1niii innnbcaacaa a a caca????1 2 01( ) ( )niini ibca a a aa??? ? 第一行減去 bi ri i=2,3…,n 練習 1 nD?????????001030100211111?箭形行列式 nccc13121321 ???? ?nini?????????00003000020111112???)11(!2????ni inbaaaaabaaaaabaaaaabaDnnnn??????????????32132132132111312 rrrrrrn????bbbbbbaaaban?????????????000000321nccc ??? ?21練習 2 （可化為箭形行列式的行列式） bbbaaabaaann?????????????????000000000)(3221121 )]()[( ?????? nn bbaaa ?1111nD??????? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ???證明 n階 (三對角 )行列式 例 ????????????nn11 其中 對行列式階數(shù) n用數(shù)學歸納法證明 n=2 時 ， 2 1D???? ? ????結(jié)論成立 . () 2? ? ? ?? ? ? ?33??????證 n=1 時 ， 221D ? ? ? ??????? ? ? ???結(jié)論成立 . 1。則對于 n階行列式 按第一行展開有 nD設(shè) n1, n2時結(jié)論成立 , 12()n n nD D D??? ? ?? ? ? ?11n n n n???????? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ???11nn a????????2。例 計算 nnnnnaaaaaaaaaD????111212121???????解： （加邊法） ）（ 1212121211010101?????nnnnnnaaaaaaaaaaaaD?????????)1(2113,210010101001111????????nnnirraaai??????????）（第一列全加到列起，從第二12111000010000101?????nnniiaaaa?????????????niia11167。 5 克萊姆法則 二元線性方程組 1 1 1 1 2 2 12 1 1 2 2 2 2a x a x ba x a x b???? ???若令 1 1 1 22 1 2 2aaDaa?12112 22bbaDa?1221121baDa b?(方程組的系數(shù)行列式 ) 則上述二元線性方程組的解可表示為 11 2 2 1 2 211 1 2 2 1 2 2 1DDb a a bxa a a a ????1 1 2 1 2 1 221 1 2 2 1 2 2 1a b b a Dxa a a a D????一、克萊姆法則 如果線性方程組 1 1 1 1 2 2 1 12 1 1 2 2 2 2 21 1 2 2( 1 )nnnnn n nn n na x a x a x ba x a x a x ba x a x a x b? ? ? ???? ? ? ????? ? ? ? ??的系數(shù)行列式不等于零，即 1 1 1 2 12 1 2 2 2120nnn n nna a aa a aDa a a??1 2 21 2 3, , , , . ( 2 )nnDD D Dx x x xD D D D? ? ? ?其中 是把系數(shù)行列式 中第 列的元素用方程組右端的常數(shù)項代替后所得到的 階行列式，即 jD D jn1 1 1 , 1 1 , 1 11 , 1 , 11j j njn n j n j nnna a a aDa a a abb?????那么線性方程組 (1)有解并且解是唯一的 ，解可以表示成 定理中包含著三個結(jié)論： ?方程組有解 ； （解的存在性） ?解是唯一的 ； （解的唯一性） ?解可以由公式 (2)給出 . 這三個結(jié)論是有聯(lián)系的 . 應(yīng)該注意，該定理所討論的只是系數(shù)行列式不為零的方程組，至于系數(shù)行列式等于零的情形，將在第三章的一般情形中一并討論 . 關(guān)于 克萊姆 法則的等價命題 定理 如果線性方程組 (1)的 系數(shù)行列式不等于零 ，則該線性方程組一定 有解 ,而且 解是唯一 的 . 定理 ′ 如果線性方程組 無解 或有 兩個不同的解 ，則它的系數(shù)行列式必為零 . 設(shè) 1 1 1 1 2 2 1 12 1 1 2 2 2 2 21 1 2 2( 1 )nnnnn n nn n na x a x a x ba x a x a x ba x a x a x b? ? ? ???? ? ? ????? ? ? ? ??線性方程組 常數(shù)項全為零的線性方程組稱為 齊次線性方程組 ，否則稱為 非齊次線性方程組 . 11 1 12 2 1 121 1 22 2 2 21 1 2 2nnnnn n nn n na x a x a x ba x a x a x ba x a x a x b? ? ? ???? ? ? ????? ? ? ? ??齊次線性方程組總是有解的，因為 (0,0,… , 0)就是一個解，稱為 零解 . 因此，齊次線性方程組一定有零解，但不一定有非零解 . 我們關(guān)心的問題是，齊次線性方程組除零解以外是否存在著非零解 . 齊次線性方程組的相關(guān)定理 定理 如果齊次線性方程組的系數(shù)行列式 ，則齊次 線性方程組 只有零解 ， 沒有非零解 . 0D?定理 ′ 如果齊次線性方程組 有非零解 ,則它的