【正文】 = x x xxxx2 2 11211V= xxxx??2 1 3 1 3 2( ) ( ) ( )x x x x x x? ? ? ?例 計算 解： 2221D= 11aabbccT2 2 21 1 1D =D = abcabc是 3階范得蒙行列式 ( ) ( ) ( )D b a c a c b? ? ? ?故第四節(jié) 克萊姆法則 課前復習 余子式與代數(shù)余子式 記作 . 劃去后，留下來的 階行列式叫做元素 的 余子式 ， 在 階行列式中，把元素 所在的第 行和第 列 n i j1n? ijaijM? ?1 ijij ijAM ??? ，叫做元素 的 代數(shù)余子式 ． ija記 關(guān)于代數(shù)余子式的重要性質(zhì) 1, ,0 , 。nik jk ijkD i ja A Dij??????? ???當 當 1, ,0 , 。nki kj ijkD i ja A Dij??????? ???當 當 1 , 0 , .ijijij????? ??，當 當 非齊次與齊次線性方程組的概念 ???????????????????mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa???????????????22112222212111212111設(shè)線性方程組 , 21 不全為零若常數(shù)項 mbbb ?則稱此方程組為 非 齊次線性方程組 。 , 21 全為零若常數(shù)項 mbbb ?此時稱方程組為 齊次線性方程組 . 使得方程組成立的一組數(shù) 稱為此方 程組的解 . 12, , , nx x x1 2 3 41 2 42 3 41 2 3 42 5 8 ,3 6 9 ,2 2 5 ,4 7 6 0.x x x xx x xx x xx x x x? ? ? ???? ? ???? ? ? ??? ? ? ? ??例如 1 2 3 41 2 42 3 41 2 3 42 5 0 ,3 6 0 ,2 2 0 ,4 7 6 0.x x x xx x xx x xx x x x? ? ? ???? ? ???? ? ??? ? ? ? ??是 非齊次線性方程組 是 齊次線性方程組 顯然， 是齊次線性方程組的 一個解，簡稱 零解 12 0nx x x? ? ? ?一、引例 用消元法解二元線性方程組 ???????.,22221211212111bxaxabxaxa ??1??2? ? :1 22a? ,2212221212211 abxaaxaa ??? ? :2 12a? ,1222221212112 abxaaxaa ??，得兩式相減消去 2x。212221121122211 baabxaaaa ??? ）（，得消去類似地 1x，.211211221122211 abbaxaaaa ??? ）（,211211221122211 abbaxaaaa ??? ）（,212221121122211 baabxaaaa ??? ）（原方程組即 1 1 1 21 1 2 2 1 2 2 12 1 2 2aaD a a a aaa???記 1 1 21 1 2 2 2 1 22 2 2baD b a b aba? ? ?1 1 12 1 1 2 2 1 12 1 2abD a b a bab? ? ?則上述方程組可寫為 ,11 DDx ?.22 DDx ?D稱為原方程組的系數(shù)行列式 . 時，當 021122211 ?? aaaa方程組的解為 DDx 11 ?DDx 22 ?22211211222121aaaaabab?22211211221111aaaababa?時，即 0?D二、克萊姆法則 如果線性方程組 )1(22112222212111212111???????????????????nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa???????????????的系數(shù)行列式不等于零，即 nnnnnnaaaaaaaaaD??????????212222111211?0?., 332211DDxDDxDDxDDx nn ???? ?其中 是把系數(shù)行列式 中第 列的元素用方程 組 右端的常數(shù)項 代替后所得到的 階行列式，即 jD D jnnnj,nnj,nnnj,j,jaabaaaabaaD???????????????11111111111?????那么線性方程組 有解，并且解是唯一的，解 可以表為 ??1證明 ? ?? ?? ????????????????????njnnjnnnnnjjnnjjnnAbAxaxaxaAbAxaxaxaAbAxaxaxa???????????????221122222221211111212111? ? 得個方程的依次乘方程組列元素的代數(shù)余子式中第用,1, 21nAAAjD njjj ?再把 個方程依次相加，得 n,111111???????????????????????????????nkkjknnkkjknjnkkjkjnkkjkAbxAaxAaxAa ??由代數(shù)余子式的性質(zhì)可知 , ? ? .,2,1 njDDx jj ???., 332211 DDxDDxDDxDDx nn ???? ?,Dx j的系數(shù)等于上式中? ? 。0的系數(shù)均為而其余 jix i ? .jD又等式右端為于是 ?2當 時 ,方程組 有唯一的一個解 0?D ??2由于方程組 與方程組 等價 , ??2 ??1 故 ., 332211DDxDDxDDxDDx nn ???? ?也是方程組的 解 . ??1克拉默法則的局限性：只解決 nn? 方程組， 而且要求系數(shù)行列式 若 D=0，則無法求解 .0?D三、重要定理 定理 1 如果線性方程組 的系數(shù)行列式 則 一定有解 ,且解是唯一的 . ??1??1,0?D定理 2 如果線性方程組 無解或有無窮多個 解，則它的系數(shù)行列式必為零 . 注： 線性方程組可以是齊次或非齊次。 ??1niDDx ii ,2,1, ???事實上，方程組 則而存在某個若 ,0,0 ?? kDD.即原方程組無解,0,0 ??? iDD 且若,個方程沒有意義第 k.解則原方程組有無窮多個齊次線性方程組的相關(guān)定理 ? ?2000221122221211212111???????????????????nnnnnnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa???????????????定理 3 如果 齊次 線性方程組 的系數(shù)行列式 則齊次線性方程組 有唯一解， 只有零解。 注：沒有非零解 0?D??2??2定理 4 如果齊次線性方程組 ??2 有非零解 ,則它 的系數(shù)行列式必為零 . 注：有多個解，零和非零解。 11 1 12 2 121 1 22 2 21 1 2 2000nnnnn n nn na x a x a xa x a x a xa x a x a x? ? ? ???? ? ? ????? ? ? ? ??有非零解 . 系數(shù)行列式 0?D34,? 20,?DDx 11 ??34,21 DDx 22 ?20.21?今有牛五羊二，直金十兩，牛二羊五，直金八兩，問牛羊各直幾金？ 12125 2 10,2 5 8.xxxx???? ???5225D ? 25 4?? 2 1 0 ,??解：牛羊分別直 12,xx金，記 例 1 582101 ?D821052 ?D例 2 用克萊姆法則解方程組 解 016111132???D??????????????46613221321321xxxxxxxx12 rr ?016041132???231641)1(131????????,23??,46??0141161311????D0461611122??D,69??,1232311 ?????? DDx ,2234622 ????? DDx,3236933 ????? DDx4166111323????D例 3 問 取何值時，齊次方程組 ? ?? ?? ??????????????????,01,032,0421321321321xxxxxxxxx???有非零解？ ?解 ????????111132421D??????????1011124311 3 ( 1 ) ( 1 ) 42 1 2 ( 1 ) 11 0 0? ? ? ???? ? ? ? ?? ? ? ?23 2 31 2 1? ? ???? ? ? ????齊次方程組有非零解，則 0?D所以 或 時齊次方程組有非零解 . 20 ?? ?? , 3?1 ( 1 )( 3 )1 2 1??????????210( 3 )12? ? ? ??? ??2( 3 ) ( 2 )? ? ?? ? ?( 2 ) ( 3 )? ? ?? ? ? ? 例 4 當 為何值時，齊次線性方程組 有非零解？ ?分析： 系數(shù)行列式 D=0 ??????????????02030321321321xxxxxxxxx?解 011231111????D031261 ??????? ??所以 解得 23??用克拉默法則解方程組的兩個條件 (1)方程個數(shù)等于未知量個數(shù) 。 (2)系數(shù)行列式不等于零 . Cramer法則建立了線性方程組的解和已知的系 數(shù)與常數(shù)項之間的關(guān)系 .它主要適用于理論推導 . 如果線性方程組的系數(shù)行列式 則線性方程組一定有解 ,且解是唯一的 . ,0?D如果線性方程組無解或有兩個不同的解，則它的系數(shù)行列式必為零 . 四、小結(jié)