16733n階行列式-資料下載頁
2024-09-29 19:11本頁面
【導(dǎo)讀】橫排稱為行,縱排稱為列.積,它們既不同行,也不同列.而且,=6個)都在行列式中出現(xiàn),也就。根據(jù)討論發(fā)現(xiàn)的規(guī)律,定義n階行列式:(先考察?表示j1,j2,...,jn的反序數(shù).項的代數(shù)和,它們是所有取自。1),即j1,j2,...,jn為偶排列時,取正號;奇排。(這是2,3階行列式的推廣,特別地?例1考慮4階行列式:D=.是偶排列,2,4項是奇排列.行列式解線性方程組?將n階行列式行變成列后得到的新行列式,即:. 代替)不難算得:. j1,j2,...,jn列取出元素作乘積:⑶,兩個排列的反序數(shù)分別是s?與s+t同為偶數(shù)或奇數(shù),⑷,k1,k2,...,kn是n個數(shù)碼的一排列.命題行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等.由引理,該項在D與D?一項也是D的項.當(dāng)然,是相同項的代數(shù)和.
【正文】 a a a a a a? ? ? ?167。 n 階行列式 (此命題可推廣到第 i行或列的元素是 m(?2)項和的情形 ) 命題 行列式的某一行 (列 )的元素乘以同一數(shù)后加到另一行 (列 )的對應(yīng)元素上 , 行列式不變 . 證 : 給定行列式 D = , 把 D的第 j行的元素乘以同一數(shù) k后 , 加到第 i行(i?j)的對應(yīng)元 素上 , 11 12 121 22 212......... ... ... ......nnn n nna a aa a aa a a167。 n 階行列式 得行列式 11 12 11 1 2 21212...... ... ... ......... ... ... ......... ... ... ......ni j i j i n j nj j j nn n nna a aa k a a k a a k aDa a aa a a? ? ??167。 n 階行列式 由命題 , ∵ D1的第 i行與第 j行成比例 , 由推論 , D1=0. ∴ . ? (下面是兩個用性質(zhì)簡化行列式計算的例 ) 11 12 112111212...... ... ... ......, ... ... ... ......... ... ... ......nj j j nj j j nn n nna a ak a k a k aD D D Da a aa a a? ? ?DD?167。 n 階行列式 例 2 計算行列式 : . 解 : 從 D的第 2列與第 3列的元素減去第 1列的對應(yīng)元素 (D的第 1列元素同乘 ?1后加到第 2, 3列對應(yīng)元素上 ), 由命題 , 得 : , 其中兩列成比例 . ∴ 由推論 , D = 0. 1 1 12 2 23 3 31 2 31 2 31 2 3a a aD a a aa a a? ? ?? ? ? ?? ? ?1231 1 21 1 21 1 2aDaa????167。 n 階行列式 例 3 計算 n階行列式 : 解 : ∵ D的每列元素之和都是 n?1, 將第 2, 3, ..., n行都加 到第 1行上 , 得 : 0 1 1 ... 11 0 1 ... 11 1 0 ... 1... ... ... ... ...1 1 1 ... 0D ? 1 1 1 ... 11 0 1 ... 11 1 0 ... 1... ... ... ... ...1 1 1 ... 0n n n n? ? ? ?167。 n 階行列式 由推論 , 提出第 1行的公因子 n?1, 得 : 再由第 2, 3, ..., n行 減去第 1行 , 得 : 1 1 1 ... 11 0 1 ... 1( 1 ) 1 1 0 ... 1... ... ... ... ...1 1 1 ... 0Dn??返回第 三 章目錄 167。 n 階行列式 由行列式定義 , 最后一個行列式等于對角線上元素的乘積 (?1)n?1 . ∴ D = (?1)n?1(n?1). 1 1 1 ... 10 1 0 ... 0( 1 ) 0 0 1 ... 0... ... ... ... ...0 0 0 ... 1Dn??? ?
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