16733n階行列式(編輯修改稿)
2024-11-04 19:11 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 D與 D?均有 n!項(xiàng) , ∴ D與 D?是相同項(xiàng) (符號(hào)也相同 )的代數(shù)和 . 即 D=D?. ? 1212, , . . . , nk k n ka a a12( ... )( 1) nk k k??167。 n 階行列式 命題 交換一個(gè)行列式的兩行 (或兩列 ), 這個(gè)行列式的符號(hào)要改變 . 證 : 給定行列式 : 11 12 1 11 12 11 2 1 2,11 2 1 21 2 1 2... ...... ... ... ... ... ... ... ...... ...... ... ... ... ... ... ... ...... ...... ... ... ... ... ... ... ...... ...nni i i n j j j nijj j j n i i i nn n nn n n nna a a a a aa a a a a a iDDa a a a a a ja a a a a a? ????? ?交換 兩行第行第行167。 n 階行列式 D的每項(xiàng)可寫成 : ⑸ ∵ ⑸ 的元素位于 D1的不同行 , 不同列 , ∴ ⑸ 也是 D的一項(xiàng) . 反之 , D1每項(xiàng)也是 D的一項(xiàng) , 且 D的不同項(xiàng)對(duì)應(yīng) D1的不同項(xiàng) , ∴ D與 D1含有相同的項(xiàng) . ⑸ 在 D中的符號(hào)是 , 但在 D1中 , D的 第 i行與第 j行已互換 , 而列的次序不變 , 由 引理 , 并注意到 ?(1...j...i...n)是一奇數(shù) , ⑸ 在 D1中的符號(hào)是 : 11 , . . . , , . . . , , . . .i j nk ik jk n ka a a a1( ,. . . , ,. . . , ,. . . , )( 1 ) i j nk k k k??11( 1 . . . . . . . . . ) ( , . . . , , . . . , , . . . , ) ( , . . . , , . . . , , . . . , )( 1 ) ( 1 )i j n i j nj i n k k k k k k k k? ? ??? ? ?167。 n 階行列式 ∴ ⑸ 在 D與 D?中的符號(hào)相反 , 最終有 : D與 D1符號(hào)相反 . 交換行列式兩列的情況 , 利用 命題 , 可歸結(jié)為上一情況 . ? 證明中最后一句體現(xiàn)了命題 , 即由命題 : 行列式中 : 對(duì)行成立的性質(zhì) ? 對(duì)列成立的性質(zhì) . (后面的行列式性質(zhì)只對(duì)行加以證明 ) 167。 n 階行列式 推論 若一個(gè)行列式有兩行 (列 )完全相同 , 則這個(gè)行列式等于零 . 證 : 設(shè)行列式 D的第 i行與第 j行 (i?j)相同 . 由命題 , 交換這兩行后 , 行列式改變符號(hào) , 即變成 ?D. 交換后的 i, j兩行并沒(méi)有改變 , 所以有 : D = ?D.∴ 2D = 0, 即 D = 0. ? 167。 n 階行列式 命題 把一個(gè)行列式的某一行 (列 )的所有元素同乘以某一個(gè)數(shù) k, 等于用 k乘以這個(gè)行列式 . 證 : 把行列式 D的第 i行的元素 ai1,ai2,...,ain同乘以 k, 得行列式 D1 , 則其第 i行元素為 kai1,kai2,...,kain , D每項(xiàng)可寫作 : ⑹ D1中對(duì)應(yīng)項(xiàng)為 : ⑺ ⑹ 在 D中符號(hào)與 ⑺ 在 D1中符號(hào)都是 , ∴ D1 = kD. ? 1 212, , . . . , n
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