【正文】 數(shù)決定每項(xiàng)的 “ +、 ”號，偶 “ +”、奇 “ ”． 例如 322113 aaa 列標(biāo)排列的逆序數(shù)為 ? ? 211312 ????322311 aaa 列標(biāo)排列的逆序數(shù)為 ? ?1 3 2 0 1 1? ? ? ?偶排列 奇排列 1?? 2正號 ( 1 )1? ? ?1負(fù)號 ( 1 )1 2 3 1 2 31 2 3 1 2 311 12 13( ) ( )21 22 23 1 2 3 1 2 331 32 33( 1 ) ( 1 ) .j j j i i ij j j i i ia a aa a a a a a a a aa a a??? ? ? ? ???（ 4） 3階行列式的一般項(xiàng)為： 1 1 2 2 3 3( 1 ) p q p q p qa a a?? ?為行標(biāo) 排列逆序數(shù) 與列標(biāo) 排列逆序數(shù)的和 . 說明： 2 2 3ppp1 2 3q q q13 21 32a a a 任意改變元素的順序，排列的奇偶性不變? ?? ? ? ?13 21 3232 13 2131 2 1 1 231 2 23 1 2 2 4a a aa a a???? ? ?? ? ? ?，都是偶排列，奇偶性不變nnnnnnnjjjjjjaaaaaaaaaDaaannnnn????????21222211121121)(2.)1(2121???記作的代數(shù)和個元素的乘積取自不同行不同列的階行列式等于所有個數(shù)組成的由?定義 4 (p3) ).d e t ( ija簡記作 的元素．稱為行列式數(shù) )d e t ( ijij aa二、 n階行列式 ? ?? ?nnnnjjjjjjjjjnnnnnnaaaaaaaaaaaaD?????????????212121212122221112111?????規(guī)定 一階行列式 aa ?? ? nppppppnn aaaD ??21)(21211? ?? ?其中 ? 為行標(biāo)排列 的逆序數(shù) . nppp ?21 階行列式也可定義為 n事實(shí)上 按行列式定義有 ? ? nnppp aaaD ?21 211? ?? ?? ? nppp naaaD ?211 211? ?? ?記 對于 D中任意一項(xiàng) ? ? ,121 21 nnppp aaa ???總有且僅有 中的某一項(xiàng) 1D ? ? ,1 2121 nqqqsnaaa ??與之對應(yīng)并相等 。 n !n 階行列式的每項(xiàng)都是 位于不同行、不同列 個元素的乘積 。 aa ? 的符號為 nnppp aaa ?21 21 ? ?.1 )( 21 nppp ???思考題 1. 若 n階行列式 D有一行 (列 )元素全為零 ,則 D=? 例 試判斷 是否都是六階行列式中的項(xiàng)。 1 1 1 2 12 2 21 1 2 2000nnnnnna a aaaaa a a?證明： 上 三角行列式 nnnnaaaaaa??????????00022211211解 展開式中一般項(xiàng)是 .21 21 nnppp aaa ?,npn ?,11 ??? np n,1,2,3 123 ????? ppnp n ?所以不為零的項(xiàng)只有 .2211 nnaaa ?nnnnaaaaaa??????????00022211211?? ? ? ? nnnt aaa ?? 2211121??.2211 nnaaa ??例 2 ?8000650012404321??D443322118000650012404321aaaaD ??.1608541 ????? 特點(diǎn)：對角線以上元素都是 0 nnnnnaaaaaaa???????????32122211100000.2211 nnaaa ?? 特點(diǎn)：主對角線以外的元素都是 0 112211 22 nnnnaaa a aa?0004003002001000 即行列式中不為零的項(xiàng)為 逆序數(shù)： 故 例 3 計(jì)算行列式 ( 1 ) 2 4 2 4D ?? ? ? ? ? ?（4321） 61 2 3 4 = ( 1 ).aaaa 41322314?（4 3 2 1 ）= 0 + 1 + 2 + 3 = 6注： ? ?? ?112 , 121 2 , 1 111nnnnn n nnaaa a aa????? ( 1 )( ( 1 ) 2 1 ) 0 1 ( 1 )2nnn n n? ?? ? ? ? ? ? ? 解：行列式中不為零的項(xiàng)為 逆序數(shù)： 故 ( 1 ) 2 4 2 4D ?? ? ? ? ? ?（2314） 22 1 3 4 = ( 1 )12 23 31 44 .a a a a?（2 3 1 4 ）= 0 + 0 + 2 + 0 = 20 2 0 00 0 1 03 0 0 00 0 0 4練習(xí) ：用定義計(jì)算行列式 例 5 設(shè) nnnnnnaaaaaaaaaD??????????2122221112111?nnnnnnnnnnabababaabababaaD??????????221122222111112112??????證明 .21 DD ?證 由行列式定義有 ? ?? ?nnnnppppppppptnnnnnnaaaaaaaaaaaaD ?????????????2121212121222211121111? ???nnnnnnnnnnabababaabababaaD??????????221122222111112112??????? ? ? ? ? ? ? ?nnnn pppnnpppppppppt baaa ???????? ?? ???? ? 21212121 21211由于 ,2121 nppp n ??????? ?? 所以 ? ? ? ? .1 2211212121 DaaaDnnnnpppppppppt ??? ? ???? ? ? ? ? ? ? ?nnnn pppnnpppppppppt baaaD ???????? ?? ???? ? 21212121 21212 1? ? ? ?nnnnpppppppppt aaa ???212121211? ??故 第二節(jié) 行列式的性質(zhì) 一、行列式的性質(zhì) 性質(zhì) 1 行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等 說明： 轉(zhuǎn)置即行列互換 行列位置相等 . 行列式 稱為行列式 的轉(zhuǎn)置行列式 . TD D記 nnaaa?2211???nnaaa2112??2121nnaaa?D ???2121nnaaa??nnaaa2112?TDnnaaa?2211證明 ? ?的轉(zhuǎn)置行列式記 ijaD d e t? ,212222111211nnnnnnTbbbbbbbbbD???????????? ?,2,1, njiab jiij ???即按定義 ? ? ? ? .11 2121 2121 ?? ???? nppptnppptT nn aaabbbD ?? 又因?yàn)樾辛惺?D可表示為 ? ? .1 2121? ?? nppptnaaaD ?故 .TDD ? 證畢 例： 13 1 4 2 3 224TD ? ? ? ? ? ? ?則 2 3 22 0 50 1 2D ??12 1 4 2 3 234D ? ? ? ? ? ? ?121212021???D練習(xí) : 寫出以下兩個行列式的轉(zhuǎn)置行列式，并證明 D=DT： 性質(zhì) 2 互換行列式的兩行（列） ,行列式變號 . 證明 設(shè)行列式 ,2122221112111nnnnnnbbbbbbbbbD???????????是由行列式 變換 兩行得到的 , ? ?ijaD d e t? ji,于是 ? ?nji npjpippt bbbbD ???111 1? ??? ? nji npjpippt aaaa ???111? ??即當(dāng) 時(shí) , jik ,? 。011 ?a（ 2） 11a的下方化為 0時(shí)，其它元素出現(xiàn)分?jǐn)?shù)，則可通過性質(zhì) 11a“不漂亮”，即 變化 a11，以盡量避免出現(xiàn)分?jǐn)?shù) . a22 、 a33 … … 的下方化為 0的過程依此類推 . 0步驟例 3計(jì)算 n 階行列式 abbbbabbbbabbbbaD??????????解 ? ?? ?? ?? ? abbbnababnabbabnabbbbna?????????1111?????????D將第 都加到第一列得 n,3,2 ?? ?abbbabbbabbbbna?????????1111)1( ???? ?babababbbbna????????1)1(00? ? .)()1( 1????? nbabna例 4 nnnnnknkkkkkbbbbccccaaaaD????????????1111111111110?設(shè),)d e t (11111kkkkijaaaaaD?????? ,)d e t (11112nnnnijbbbbbD??????.21 DDD ?證明 證明 。 推論 行列式任一行（列）的元素與另一行（列）的對應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零，即 .ji,AaAaAa jninjiji ????? 02211 ?,11111111nnnjnjininjnjnjjaaaaaaaaAaAa??????????? ???證