【正文】 ）的元素與另一行（列）的對(duì)應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零，即 1 1 2 2 0 , .i j i j i n j na A a A a A i j? ? ? ? ?1 1 2 2,0,nii ni j j jD i ja A a A a Aij??? ? ? ?? ??1 1 2 2,0,i j i j i n jnD i ja A a A a Aij??? ? ? ?? ??綜上所述，有 同理可得 5 3 1 2 01 7 2 5 20 2 3 1 00 4 1 4 00 2 3 5 0D?? ???例 計(jì)算行列式 解 5 3 1 2 01 7 2 5 20 2 3 1 00 4 1 4 00 2 3 5 0D?? ???? ?255 3 1 20 2 3 1120 4 1 40 2 3 5???????2 3 11 0 0 7 20 6 6??? 721 0 ( 2 )66?? ? ? ?20 ( 42 12 ) 1080.? ? ? ? ? ?2 3 12 5 4 1 42 3 5?? ? ? ? ?? ?53204140132021352152???????31rr?21( 2 )rr??例 設(shè) , 的 元的余子式和 代數(shù)余子式依次記作 和 ，求 分析 利用 3 5 2 11 1 0 51 3 1 32 4 1 3D????? ? ?D ( , )ijijM ijA1 1 1 2 1 3 1 4A A A A???及 1 1 2 1 3 1 4 1 .M M M M???11 12 13 1421 22 23 2411 11 12 12 13 13 14 1431 32 33 3441 42 43 44a a a aa a a aa A a A a A a Aa a a aa a a a? ? ? ?1 2 52 0 21 0 0??解 11 12 13 141 1 11 1 0 5134311321A A A A?? ? ? ??? ? ?43rr?31rr?1 1 1 11 1 0 52 2 0 21 1 0 0???1152 2 2110????21cc?2502?? 4.?1 5 2 11 1 0 51 3 1 31 4 1 3????? ? ? ?1 0 51 0 51 1 3??? ? ?43rr?1 5 2 11 1 0 51 3 1 30 1 0 0????1 2 11 0 51 1 3? ? ? ?132rr?0.?11 21 34 41 11 21 31 41M M M M A A A A? ? ? ? ? ? ?167。 7 克拉默法則 二元線性方程組 1 1 1 1 2 2 12 1 1 2 2 2 2a x a x ba x a x b???? ???若令 1 1 1 22 1 2 2aaDaa?12112 22bbaDa?1221121baDa b?(方程組的系數(shù)行列式 ) 則上述二元線性方程組的解可表示為 11 2 2 1 2 211 1 2 2 1 2 2 1DDb a a bxa a a a ????1 1 2 1 2 1 221 1 2 2 1 2 2 1a b b a Dxa a a a D????一、克拉默法則 如果線性方程組 11 1 12 2 1 121 1 22 2 2 21 1 2 2( 1 )nnnnn n n n n na x a x a x ba x a x a x ba x a x a x b? ? ? ???? ? ? ????? ? ? ? ??的系數(shù)行列式不等于零，即 11 12 121 22 2120nnn n n na a aa a aDa a a??1 2 21 2 3, , , , . ( 2 )nnDD D Dx x x xD D D D? ? ? ?其中 是把系數(shù)行列式 中第 列的元素用方程組右端的常數(shù)項(xiàng)代替后所得到的 階行列式，即 jD D jn1 1 1 , 1 1 , 1 11 , 1 , 11j j njn n j n j nnna a a aDa a a abb?????那么線性方程組 (1)有解并且解是唯一的，解可以表示成 定理中包含著三個(gè)結(jié)論： ?方程組有解； （解的存在性） ?解是唯一的； （解的唯一性） ?解可以由公式 (2)給出 . 這三個(gè)結(jié)論是有聯(lián)系的 . 應(yīng)該注意，該定理所討論的只是系數(shù)行列式不為零的方程組，至于系數(shù)行列式等于零的情形，將在第三章的一般情形中一并討論 . 關(guān)于 克拉默 法則的等價(jià)命題 定理 4 如果線性方程組 (1)的系數(shù)行列式不等于零，則該線性方程組一定有解 ,而且解是唯一的 . 定理 4′ 如果線性方程組無解或有兩個(gè)不同的解，則它的系數(shù)行列式必為零 . 設(shè) 11 1 12 2 1 121 1 22 2 2 21 1 2 2( 1 )nnnnn n n n n na x a x a x ba x a x a x ba x a x a x b? ? ? ???? ? ? ????? ? ? ? ??例 解線性方程組 1 2 3 41 2 42 3 41 2 3 42 5 8,3 6 9,2 2 5,4 7 6 0.x x x xx x xx x xx x x x? ? ? ???? ? ???? ? ? ??? ? ? ? ??解 2 1 5 11 3 0 60 2 1 21 4 7 6D??????122rr?42rr?0 7 5 131 3 0 60 2 1 20 7 7 12?????7 5 1 32 1 27 7 1 2?? ? ??122cc?322cc?3 5 30 1 0772???????18 1 5 19 3 0 65 2 1 20 4 7 6 8 1D????????22 8 5 11 9 0 60 5 1 21 0 7 6 = 108D???????27 0??32 1 8 11 3 9 60 2 5 21 4 0 6 27D??????42 1 5 81 3 0 90 2 1 51 4 7 0 27D???????1181 3,27DxD? ? ? ?22108 4,27DxD?? ? ? ?3327 1,27DxD?? ? ? ? 4427 1.27DxD? ? ?線性方程組 常數(shù)項(xiàng)全為零的線性方程組稱為 齊次線性方程組 ，否則稱為 非齊次線性方程組 . 11 1 12 2 1 121 1 22 2 2 21 1 2 2nnnnn n nn n na x a x a x ba x a x a x ba x a x a x b? ? ? ???? ? ? ????? ? ? ? ??齊次線性方程組總是有解的，因?yàn)?(0,0,… , 0)就是一個(gè)解，稱為 零解 . 因此，齊次線性方程組一定有零解，但不一定有非零解 . 我們關(guān)心的問題是，齊次線性方程組除零解以外是否存在著非零解 . 齊次線性方程組的相關(guān)定理 定理 5 如果齊次線性方程組的系數(shù)行列式 ，則齊次 線性方程組只有零解，沒有非零解 . 0D?定理 5′ 如果齊次線性方程組有非零解 ,則它的系數(shù)行列式必為零 . 備注 1. 這兩個(gè)結(jié)論說明系數(shù)行列式等于零是齊次線性方程組有非零解的必要條件 . 2. 在第三章還將證明這個(gè)條件也是充分的 . 即： 齊次線性方程組有非零解 系數(shù)行列式等于零 練習(xí)題： 問 取何值時(shí)，齊次方程組 ? ?? ?? ?1 2 31 2 31 2 31 2 4 0,2 3 0,1 0,x x xx x xx x x???? ? ? ? ??? ? ? ??? ? ? ? ??有非零解？ ?解 1 2 42 3 1 ( 2 ) ( 3 )1 1 1D?? ? ? ????? ? ? ? ? ??如果齊次方程組有非零解，則必有 . 0D?所以 時(shí)齊次方程組有非零解 . 023? ? 、 、練習(xí)題： 求 平面 上 兩兩不重合的 三條直線 3210 ,???? icybxa iii相交于一點(diǎn)的條件。 解：首先 ,由三條直線 相交于一點(diǎn)，故線性方程組 )( 1000333222111??????????????cybxacybxacybxa有唯一解。 不妨設(shè) ( x, y, 1) 是 方程組 (1)的解 , 則它是方程組 的非零解。于是有 )( 2000332313322212312111??????????????xcxbxaxcxbxaxcxbxa0333222111?cbacbacba其次 ,由三條直線 相交于一點(diǎn)，故其中 任意二條直線相交于一點(diǎn) , 故非齊次 線性方程組 )。,( jijicybxacybxajjjiii ???????????32100都有惟一解。于是 )。,( jijibabajjii ??? 3210思考題 當(dāng)線性方程組的系數(shù)行列式為零時(shí)，能否用克拉默法則解方程組？為什么？此時(shí)方程組的解為何？ 答：當(dāng)線性方程組的系數(shù)行列式為零時(shí)，不能用克拉默法 則解方程組，因?yàn)榇藭r(shí)方程組的解為無解或有無窮多解 . 小結(jié) 概要 本章重點(diǎn)內(nèi)容可以歸結(jié)為三個(gè)方面： 概念：（ n階行列式） 計(jì)算行列式的主要方法 克拉默法則 n階行列式 n階行列式 |aij|n是所有不同行不同列元素乘積的代數(shù)和，其定義可分為三個(gè)步驟， 12? ?nj j j1212 nj j nja a a12()( 1 )? nj j j?取項(xiàng) (不同行不列 ) 冠符 (以逆序數(shù)確定符號(hào) ) 求和 (乘積項(xiàng)的和） |aij|n 此處行指標(biāo)是標(biāo)準(zhǔn)排列，若非標(biāo)準(zhǔn)排列，那如何確定符號(hào)呢？ 二、計(jì)算行列式的方法 計(jì)算行列式可歸結(jié)為兩個(gè)字： 化簡(jiǎn) 化簡(jiǎn)為簡(jiǎn)單行列式 降階 最常用最基本的就是把行 列式化為上 三角行列式 利用行列式性質(zhì)，在某一行 （列）構(gòu)造出盡可能多的零， 再按該行（列）展開 構(gòu)造盡可能多的零