chn階行列式ppt課件(參考版)
2025-05-01 22:31本頁(yè)面
【正文】 (C) 0。64 證明范德蒙 (Vandermonde)行列式 1 2 32 2 2 21 2 311 1 1 11 2 31 1 1 1()nn n i jj i nn n n nnx x x xV x x x x x xx x x x? ? ?? ? ? ?? ? ??例 5 ( 2 )n ?65 用數(shù)學(xué)歸納法證明 證 n=2 時(shí) ， V xx??21211結(jié)論成立 . 假設(shè)對(duì) n1階行列式結(jié)論成立 ,下證 n階成立 xx??21 ()ijjixx? ? ???12 從第 n 行開(kāi)始 , 每一行減去前一行的 x1倍 , 目的是把第一列除 1以外的元素都 化為零 .然后按第一列展開(kāi) , 并提取各列的公因子 , 可以得到 : 66 2 1 3 1 1( ) ( ) ( )nnV x x x x x x? ? ? ?232 2 2231 1 1nn n nnx x xx x x? ? ?2 1 3 1 12( ) ( ) ( ) ( )n i jj i nx x x x x x x x? ? ?? ? ? ? ??1()ijj i nxx? ? ????2 1 3 1 1 1( ) ( ) ( )nnx x x x x x V ?? ? ? ?67 或者利用遞推公式 2 1 3 1 1 1( ) ( ) ( )n n nV x x x x x x V ?? ? ? ?1 3 2 4 2 2 2( ) ( ) ( )n n nV x x x x x x V??? ? ? ?21nnV x x ??? 由上述遞推結(jié)果即可得到結(jié)論 . 3 2 1 2 2( ) ( )n n n nV x x x x V? ? ?? ? ?68 克萊姆（ Cramer)法則 (Cramer法則 )如果 n元線性方程組 1 1 1 1 2 2 1 12 1 1 2 2 2 2 21 1 2 2nnnnn n n n n na x a x a x ba x a x a x ba x a x a x b? ? ? ??? ? ? ? ???? ? ? ??的系數(shù)行列式不等于零， (1) 定理 5 下面給出利用 n階行列式 求解 方程個(gè) 數(shù) 與 未知量個(gè)數(shù) 都是 n而且 系數(shù)行列式不 為零 的線性方程組的求解公式 . 69 即 1212 , , ,nnDDDx x xD D D? ? ?1 1 1 2 12 1 2 2 2120nnn n n na a aa a aDa a a???????????則方程組 (1)只有唯一解 ,且其解為 70 1 1 1 1 1 1 1 12 1 2 1 2 2 1 21 1 1j j nj j njn n j n n j n na a b a aa a b a aDa a b a a???????Dj D 其中 是把的 的第 j 列各元素依次換成方程組 (1)右端的常數(shù)項(xiàng)所得到的 n階行列式 ,即 71 1 1 1 1 2 2 12 1 1 2 2 2 21 1 2 2000nnnnn n n n na x a x a xa x a x a xa x a x a x? ? ? ??? ? ? ? ???? ? ? ??如果 n元齊次線性方程組的系數(shù)行列式不等于零，即 推論 1 1 1 1 2 12 1 2 2 2120nnn n n na a aa a aDa a a???????????則 此方程組只有唯一零解 ,即 12 x x? ? ? ?72 11 12 121 22 2120nnn n nna a aa a aDa a a???????????1 1 1 1 2 2 12 1 1 2 2 2 21 1 2 2000nnnnn n n n na x a x a xa x a x a xa x a x a x? ? ? ??? ? ? ? ???? ? ? ??如果 n元齊次線性方程組 推論 2 有非零解 ,則系數(shù)行列式等于零 ,即 73 1 2 31 2 31 2 31203 5 3x x xx x xx x x? ? ???? ? ??? ? ???求解線性方程組 例 1 1 1 11 2 1 2 03 5 1D ? ? ? ?線性方程組的系數(shù)行列式 解 所以方程組有唯一解 . 74 11 1 10 2 1 23 5 1D ? ? ? ?21 1 11 0 1 23 3 1D ? ? ?31 1 11 2 0 23 5 3D ??3121 2 31 , 1 , 1DDDx x xD D D? ? ? ? ? ? ?所以方程組的唯一解為 75 典型例題 76 練 習(xí) 若行列式 D的某一行元素的代數(shù)余子式 全是零 ,則這個(gè)行列式 D = . 4階行列式 D的某一行的所有元素及其 余子式都相等 ,則 D = . n階行列式 D中 ,如果等于零的元素多于 個(gè) ,則 D = . 2nn?0001. 77 不計(jì)算行列式值 ， 利用性質(zhì)證明 證 令 2( ) 2 1 33 3 1xxf x xx???22 1 3 ( 1 )( 2 )( 3 )3 3 1xxx x x xx? ? ? ? ??4. 78 3 3 2( 3 ) 2 2 3 03 3 2f??? ? ? ??由于 ()fx 是 的三次多項(xiàng)式 ,且 x1 1 2( 1 ) 2 2 3 0 ,332f ??222( 2) 2 3 3 0333f ??79 因此有 22 1 3 ( 1 )( 2 )( 3 )3 3 1xxx x x xx? ? ? ? ??注 的系數(shù)為 1. x380 1 1 1 11 1 1 11 1 1 11 1 1 1aaDbb?????計(jì)算行列式的值 5． 81 1234001 1 1 1001 1 1 1aarr aDrr bbb? ????解 1 1 0 01 1 1 10 0 1 11 1 1 1aabb??21411 1 0 00 1 10 0 1 10 0 1 1rr aabrrb? ???22431 1 0 00 1 10 0 1 1000ar r a b a bb????82 計(jì)算行列式 : 6. 1 2 3 41 2 3 41 2 3 41 2 3 4x a a aa x a aa a x aa a a xD ?()iixa?8
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