【正文】 潔但技巧性強(qiáng) ? 應(yīng)用廣泛 6 ? 掌握三基 —— 基本概念 ( 定義、符號(hào) ) 基本理論 ( 定理、公式 ) 基本方法 ( 計(jì)算、證明 ) ? 提前預(yù)習(xí) —— 體會(huì)思路 ? 多動(dòng)手，勤思考 —— 深入體會(huì)思想方法 ? 培養(yǎng) —— 自學(xué) 能力 ，獨(dú)立分析問題 能力 和獨(dú)立解決問題的 能力 三、學(xué)習(xí)方法 7 《 線性代數(shù)與空間解析幾何 》 第一章 n 階行列式 哈工大數(shù)學(xué)系代數(shù)與幾何教研室 王寶玲 8 本章主要內(nèi)容 ?行列式的定義 ?行列式的性質(zhì) ?行列式的計(jì)算 ?Cramer法則 9 設(shè)二元線性方程組為 二階和三階行列式 ? 1 1 1 1 2 2 12 1 1 2 2 2 2a x a x ba x a x b????1 1 2 2 1 2 2 1 0a a a a??其中 行列式是一種算式 ,是根據(jù)線性方程組求解的需要引進(jìn)的 .也是一個(gè)基本的數(shù)學(xué)工具 ,有很多 工程技術(shù)和科學(xué)研究 問題的解決都離不開行列式 . n階行列式 10 對(duì)方程組用加減消元法求出解 : 1 22 12 2111 22 12 2111 2 1 21211 22 12 21b a a bxa a a aa b b axa a a a????????? ???? 此解不易記憶，因此有必要引進(jìn)新的 符號(hào) “ 行列式 ” 來表示解． 如果定義二階行列式如下 (對(duì)角線法則 ）： 1 1 1 22 1 2 2aaDaa??1 1 2 2 1 2 2 1a a a a?0?+ 11 1212 ,DDxxDD??1 1 21 1 2 2 1 2 22 2 2baD b a a bba? ? ?1 1 12 1 1 2 1 2 12 1 2abD a b b aab? ? ? 當(dāng)系數(shù)行列式 D 0時(shí) ,則方程組有唯一解 ,其解可表示為 : ?12 ? 12123 5 122xxxx??? ? ?解 3512D ???115 822D ? ? ?231 712D ???則方程組的解為 1122811711DxDDxD??????? ???例 1 求解方程組 由于 3 2 5 ( 1 ) 1 1 0? ? ? ? ? ?13 如果定義三階行列式如下 (對(duì)角線法則 ） ： 1 1 1 2 1 32 1 2 2 2 33 1 3 2 3 3a a aD a a aa a a??1 1 1 1 2 2 1 3 3 12 1 1 2 2 2 2 3 3 23 1 1 3 2 2 3 3 3 3a x a x a x ba x a x a x ba x a x a x b? ? ???? ? ??? ? ???那么對(duì)三元一次方程組 1 1 2 2 3 3 1 2 2 3 3 1 1 3 2 1 3 2a a a a a a a a a??在系數(shù)行列式 D 0 時(shí) , ?1 3 2 2 3 1 1 2 2 1 3 3 1 1 2 3 3 2a a a a a a a a a? ? ?方程組有唯一解 ,其解可表示為 : 14 3121 2 3,DDDx x xD D D? ? ?1 1 2 1 31 2 2 2 2 33 3 2 3 3,b a aD b a ab a a?其中 3 0 41 1 22 1 0?4 1 1 4 1 2 3 2 1? ? ? ? ? ? ? ?10??例 2 1 1 1 1 32 2 1 2 2 33 1 3 3 3,a b aD a b aa b a?1 1 1 2 13 2 1 2 2 23 1 3 2 3a a bD a a ba a b?15 問題 1： 怎樣定義 n階行列式 ? 定義 由 1,2, …, n 組成的有序數(shù)組稱 為一個(gè) n階 ( 全 ) 排列 , 一般記為 : 12 nj j j例如 自然數(shù) 1 ,2 ,3 的排列共有六種 . 例如 12 … n 是一個(gè) n階排列 ,叫自然排列 . 全排列的逆序數(shù)、對(duì)換 階 排列 共有 種 !nn 16 在一個(gè)排列 中 ,如果一個(gè)大 12 nj j j數(shù)排在小數(shù)的前面 ,則稱這兩個(gè)數(shù)構(gòu) 成一個(gè) 逆序 .一個(gè)排列的逆序總數(shù)稱 為 逆序數(shù) ,表示為 12( ) .nj j j?? 如果 12() nj j j?為偶數(shù) ,則稱為 偶排列 . 12() nj j j?為奇數(shù) ,則稱為 奇排列 . 定義 ? 如果 17 ( 1 2 )n? ?( ( 1 ) 2 1 )nn? ?? ( 1 ) ( 2 ) 1nn? ? ? ? ?1( 1 )2nn??例 3 ( 2 3 5 4 1 )? ?因?yàn)? 所以 23541 是一個(gè)奇排列 . 例 4 4 1 5??018 ? 對(duì)換 : 在一個(gè)排列中互換兩個(gè)數(shù)位置 的 變動(dòng) (其它數(shù)不動(dòng) ). 對(duì)換改變排列的奇偶性 . ( ) ( ) 1t j i t i j??11 ssi k k j j k k i?需要進(jìn)行 2s+1 次相鄰對(duì)換 . 證 (1)相鄰對(duì)換 (2)不相鄰對(duì)換 定理 所以對(duì)換改變排列的奇偶性 . 19 奇排列 s 個(gè) 偶排列 t 個(gè) (1,2)對(duì)換 ts ?(1,2)對(duì)換 ts ?證 全部 n(?2)階排列中奇偶排列 各占一半 . 推論 設(shè) 個(gè) 階 排列中 有 s(t)個(gè)奇 (偶 )排列 !nn !2nst? ? ?!s t n??20 用排列觀點(diǎn)總結(jié)三階行列式 : 1 2 31 2 31 2 31 1 1 2 1 3()2 1 2 2 2 3 1 2 33 1 3 2 3 3( 1 ) j j j j j jj j ja a aa a a a a aa a a??? ? n 階行列式的定義 21 11 12 121 22 212nnn n nna a aa a aa a a121212()12( 1 )nnnj j jj j n jj j ja a a??? ?定義 記一階行列式 1 1 1 1 ,aa?此行列式可簡記 ()ija?或 , d et( ).i j i jnD a a?2 2 .? ? ?n階行列式定義 : 22 ?由 個(gè)元素組成 。 (C) 1。 39。1 1 2 2 3 31 2 31 2 32 2 23 3 3a a a a a ab b bb b b? ? ?由性質(zhì) 4 43 2ab??1 2 31 2 31 2 3a a ab b bc c c??39。盡快從中學(xué)過渡到大學(xué)，適應(yīng)大學(xué)的學(xué)習(xí)