[理學(xué)]第一張行列式(參考版)
2025-02-22 03:59本頁面
【正文】 aa ? 的符號為 nnppp aaa ?21 21 ? ? .1 t?nn?線性代數(shù) 2022/3/13 54 例 1 計算副對角行列式 0004003002001000分析 展開式中項的一般形式是 4321 4321 pppp aaaa41 ?p若 ,011 ?? pa否則這個項為零， 所以 只能等于 , 1p 4同理可得 1,2,3 432 ??? ppp解 線性代數(shù) 2022/3/13 55 0004003002001000? ? ? ? 43211 4321 ????? t .24?即行列式中不為零的項為 .aaaa 41322314例 2 計算上 三角行列式 nnnnaaaaaa??????????00022211211線元素乘積不一定等于負的副對角階副對角行列式的值并n線性代數(shù) 2022/3/13 56 分析 展開式中項的一般形式是 .21 21 nnppp aaa ?,1,2,1, 121 ????? ? ppnpnp nn ?乘積不為零等于 .2211 nnaaa ?nnnnaaaaaa??????????00022211211?? ? ? ? nnnt aaa ?? 2211121??.2211 nnaaa ??解 所以只有當 線性代數(shù) 2022/3/13 57 例 3 ?8000650012404321??D0001002002 0 0 9002 0 1 0000???????D2 0 1 0000000002 0 0 90020001000???????D線性代數(shù) 2022/3/13 58 同理可得 下三角行列式 nnnnnaaaaaaa???????????32122211100000.2211 nnaaa ??線性代數(shù) 2022/3/13 59 n????21? ? ? ? .1 212 1 nnn ??? ????。 n !n 階行列式的每項都是位于不同行、不同列 個元素的乘積 。 經(jīng)對換后 的逆序數(shù)增加 1 , 經(jīng)對換后 的逆序數(shù)不變 ， 的逆序數(shù)減少 1. a b因此對換相鄰兩個元素，排列改變奇偶性 . 設(shè)排列為 nml cbcbabaa ??? 111當 時， ba?現(xiàn)來對換 與 a .b線性代數(shù) 2022/3/13 43 次相鄰對換 mnml ccbbabaa ??? 111次相鄰對換 1?mnml ccabbbaa ??? 111,111 nml cbcbabaa ????次相鄰對換 12 ?m ,111 nml cacbbbaa ???所以一個排列中的任意兩個元素對換，排列改變 奇偶性 . abnml ccbbbaaa ??? 111 a bab線性代數(shù) 2022/3/13 44 定理 2 所有的 n級排列中，奇偶排列各半，均為 n!/2. 定理 3 任意 n級排列，均可經(jīng)一系列對換變成自然排列，且所做對換次數(shù)與原排列有相同的奇偶性。 4的前面比 4大的數(shù)有 1個 ,故逆序數(shù)為 1。 線性代數(shù) 2022/3/13 36 3 2 5 1 4 1 0 3 1于是排列 32514的逆序數(shù)為 13010 ?????t .5?5的前面沒有比 5大的數(shù) ,其逆序數(shù)為 0。 線性代數(shù) 2022/3/13 30 一、全排列概念 引例 用 3三個數(shù)字，可以組成多少個沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？ 解 1 2 3 1 2 3 百位 3種放法 十位 1 2 3 1 個位 1 2 3 2種放法 1種放法 種放法 . 共有 6123 ???線性代數(shù) 2022/3/13 31 二、全排列及其逆序數(shù) 同的排法？，共有幾種不個不同的元素排成一列把 n問題 定義 1 把 個不同的元素排成一列，叫做這 個元素的全排列（或排列） . n n 個不同的元素的所有排列的種數(shù)，通常用 表示 . nnP由引例 61233 ????PnPn ? )1( ?? n )2( ?? n 123 ????? !.n?同理 線性代數(shù) 2022/3/13 32 在一個排列 中，若數(shù) 則稱這兩個數(shù)組成一個逆序 . ? ?nst iiiii ???21st ii ?例如 排列 32514 中， 定義 2 我們規(guī)定 n 個自然數(shù) 1,2,…,n 按由小到大次序排列稱為 自然次序、標準次序 或 順序 . 排列的逆序數(shù) 3 2 5 1 4 逆序 逆序 逆序 線性代數(shù) 2022/3/13 33 定義 3 一個排列中所有逆序的總數(shù)稱為此排列的 逆序數(shù) . 例如 排列 32514 中， 3 2 5 1 4 逆序數(shù)為 3 1 0 10故此排列的逆序數(shù)為 3+1
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