行列式按行列展開(2)(參考版)
2025-05-14 10:27本頁面
【正文】 在 D中劃去 N 所在的行列，由剩下的元素按原來的相對 位置組成的 nk 階子式（記為 M），稱為 N的余子式， 如果 N的行標和列標分別為 12, , , ki i i 12, , , kj j j和 ? ? ? ?1 2 1 2( 1 ) kki i i j j j M? ? ? ? ? ? ??稱 為 M的代數(shù)余子式 ，記為 A ,44434241343332312423222114131211aaaaaaaaaaaaaaaaD ?21 2331 33aaMaa?12 1442 44aaNaa?21 232 3 1 331 33( 1 ) aaM aa? ? ???定理 設在 n階行列式中取丁某 k行，則 D等于這 k 行的所有 k階子式與它們各自對應的代數(shù)余子式的乘積之和。,0,1 jijiDDAaijnkjkik 當當????????.,0,1jijiij 當，當其中推論 證 用數(shù)學歸納法 21211xxD ?? 12 xx ?? ,)(12 ? ??? ?? ji ji xx）式成立．時（當 12?? n例 證明范德蒙德 (Vandermonde)行列式 ??????????1112112222121).(111jinjinnnnnnnxxxxxxxxxxxD???????)1(，階范德蒙德行列式成立）對于假設（ 11 ?n)()()(0)()()(0011111213231222113312211312xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxDnnnnnnnnn?????????????????????就有提出，因子列展開，并把每列的公按第 )(1 1xx i ?)()())((211312 jjin innxxxxxxxxD ?????? ?????).(1 jjin ixx ?? ????223223211312111)())((???????nnnnnnxxxxxxxxxxxx??????? n1階范德蒙德行列式 0532004140013202527102135?????D例４ 計算行列式 解 0532004140013202527102135?????D2 3 110 0 7 20 6 6??? ? ?6627210 ?????? ? .1080124220 ?????2 3 12 5 4 1 42 3 5?? ? ? ? ?? ?53204140132021352152???????13 rr ?? ? 12 2 rr ??例 計算 階行列式 nabbbbabbbbabbbbaD??????????解 ? ?? ?? ?? ? abbbnababbnabbabnabbbbna?????????1111?????????D將第 都加到第一列得 n,3,2 ? 用化三角形行列式計算 ? ?abbbabbbabbbbna?????????1111)1( ???? ?babababbbbna????????1)1(00? ? .)()1( 1????? nbabna例 .4321321321
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