【正文】 10 。 6 ， 8(1)。 3(3, 5)。 2022/2/9 32 Property 3 用數(shù) k 乘以行列式，相當于用數(shù) k 乘以行 列式的某一行（列）的所有元素 . 1 1 1 2 11212=ni i inn n n na a ak a k a k aa a a即 11 12 11212ni i inn n nna a ak a a aa a a第 i 行（列）乘以 k ，記作 ()iir k c k??Corollary 1 行列式中某一行（列）的所有元素的公 因子，可以提到行列式符號外面 . 行列式的性質(zhì)小結(jié) 2022/2/9 33 Corollary 2 如果行列式中一行（列）為零，則該行 列式為零 . ( 取 k = 0 ) Corollary 3 行列式中如果有兩行（列）元素成比例 , 則 此行列式為零 . ( 由 Pro. 3 Co. 1 及 Pro. 2 ) Property 4 11 12 1 11 12 1 11 12 11 1 2 2 1 2 1 21 2 1 2 1 2n n nn n n nn n nn n n nn n n nna a a a a a a a ab c b c b c b b b c c ca a a a a a a a a? ? ? ? ?由 ，按該行（列）展開可得 . 行列式的性質(zhì)小結(jié) 2022/2/9 34 Property 5 把行列式的某一行（列）的各元素乘以數(shù) k ，然后加到另一行（列）對應(yīng)的元素上去，行列式 不變 . 即 1 1 1 2 1 1 1 1 2 11 1 2 2 1 21 2 1 21 2 1 2nni j i j in jn i i inj j jn j j jnn n n n n n n na a a a a aa k a a k a a k a a a aa a a a a aa a a a a a? ? ??以數(shù) k 乘第 j 行加到第 i 行，記作 ijr kr?（由 Pro . Pro .3 ） 注意表示！ 三 、行列式的性質(zhì) 2022/2/9 36 Example 8 計算 2 5 1 23 7 1 410 7 2 74 6 1 2D?????Solution: 化行列式為上（下）三角行列式是一重要方法 13ccD ?1 5 2 21 7 3 42 7 10 71 6 4 2????? 21rr?312rr?41rr?1 5 2 20 2 5 60 3 6 30 1 2 0??? 3 3r ?32rr?1 5 2 20 1 2 130 2 5 60 1 2 0??322?42rr?1 5 2 20 1 2 130 0 1 40 0 4 1?434rr?210 1 40 0 15?= 45 改為 6，如何？ 4階及以上行列式不能用對角線法 三 、行列式的性質(zhì) 2022/2/9 37 Example 9 計算 4a b b bb a b bDb b a bb b b a?Solution: 方法一 D4 1 2 3 4c c c c? ? ?3333a b b b ba b a b ba b b a ba b b b a???? 1( 3 )c a b??11( 3 )11bbba b babb a bb b a? 21rr?31rr?41rr?10 0 0( 3 )0 0 00 0 0bbbabababab????= (a+3b)(ab)3 方法二 D4 1irr?2,3,4i ?000000a b b bb a a bb a a bb a a b???? 41 2 iicc???30 0 00 0 00 0 0a b b b bababab????= (a+3b)(ab)3 方法一、方法二 對 n 階也很適用 三 、行列式的性質(zhì) 2022/2/9 38 方法三 將 a = b+(ab) 則 4( ) 0 0 00 ( ) 0 00 0 ( ) 00 0 0 ( )b a b b b bb b a b b bDb b b a b bb b b b a b? ? ? ? ?? ? ? ? ??? ? ? ? ?? ? ? ? ?利用 Pro. 5 進行拆項，幾項 ? 應(yīng)有 16 項 . 但包含兩個或兩個以上第一個子列，則為零 . 30 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 0( 3 ) ( )0 0 0 0 00 0 0 0 0 0b a b b a b bb a b b a b bb a b b a b bb a b b a b b a ba b b a ba b b a ba b a ba b b a bb a b????? ? ??????????? ? ? ? ????三 、行列式的性質(zhì) 4a b b bb a b bDb b a bb b b a?2022/2/9 39 Example 10 試證 3222 2 ( )22a b c a ab b c a b a b cc c c a b??? ? ? ? ???Proof ： 分析特點 : 列之和相等 (實質(zhì)是計算 ) 確定方法 左邊 1 2 3r r r??2222a b c a b c a b cb b c a bc c c a b? ? ? ? ? ?????1 ()r a b c? ? ?1 1 1( ) 2 222a b c b b c a bc c c a b? ? ? ???21cc?31cc?1 0 0( ) 2 ( ) 02 0 ( )a b c b a b cc a b c? ? ? ? ?? ? ?3()abc?? = 右邊 三 、行列式的性質(zhì) 2022/2/9 40 Example 11 n 階行列式 ， 滿足 aij = aji i， j = 1 ~ n de t( )ijDa?證明：當 n 為奇數(shù)時， D = 0 . Proof ： 由條件可知 ： aii = aii i = 1~n 得 aii = 0 12 13 112 23 213 23 31 2 30000nnnn n na a aa a aD a a aa a a?? ? ?? ? ? D = (1)nD 12 13 112 23 213 23 31 2 30000nnnn n na a aa aa a aa a a? ? ????12 13 112 23 213 23 31 2 300( 1 ) 00nnnnn n na a aa a aa a aa a a?? ? ?? ? ?Pro. 3 ( 1) n D??因為 n 為奇 數(shù)， D = D, 所以 D = 0 . 三 、行列式的性質(zhì) 2022/2/9 41 Example 12 計算 1 2 3 11 1 0 0 00 2 2 0 00 0 0 1 ( 1 )nnnDnn??? ?? ? ?Solution: 方法一 將各列加到第一列，得 ( 1 )22 3 10 1 0 0 00 2 2 0 00 0 0 1 ( 1 )nnnnnDnn???? ?? ? ?1 0 0 02 2 0 0( 1 )20 0 1 ( 1 )nnnn????? ? ?1 ( 1 ) !( 1 )2n n? ???方法二 Dn cj+cj+1 j=n1,…,1 ( 1 ) ( 1 )221 2 10 1 0 00 0 0 ( 1 )n n n nnnn???????1 ( 1 ) !( 1 )2n n? ???三 、行列式的性質(zhì) 2022/2/9 42 Example 13 計算 12121 1 11 1 1( 0)1 1 1nnnaaD a a aa?????Solution: 方法一 每行減去第一行，得 11211 1 100nnaaaDaa????11ja jacc?2,3,...,jn?111221 1 10000jnajnaaaa??? ?11 1(1 )jnnjaj ja? ??? ? ?方法二 121