【正文】 10 。 6 ， 8(1)。 3(3, 5)。 否則，稱為 齊次線性方程組 . Corollary 1 零一定是它的解， 更關(guān)心的是非零解 如果齊次線性方程組 10 1 ~ni j jja x i n????的系數(shù)行列式 , 0D ? 則方程組只有零解 . Corollary 2 如果齊次線性方程組 10 1 ~ni j jja x i n????有非零解的必要條件是 D = 0 . 第三章將證明 這也是充分的 三 、克萊姆法則應(yīng)用 2022/6/4 49 Example 19 設(shè)方程組 1 2 31 2 31 2 3000x x xa x b x c xb c x c a x a b x? ? ???? ? ??? ? ? ??問 a、 b、 c 滿足什么條件，方程組有非零解 . Solution: 1 1 1D a b cb c c a a b?1 0 0a b a c abc c a bc ab bc? ? ???( ) ( ) ( )a b b c c a? ? ? ?由 D = 0 ?a、 b、 c 至少有兩個(gè)相等 . 不難驗(yàn)證，當(dāng) a、 b、 c 中至少有兩個(gè)相等，方程 組有非零解 . 2022/6/4 50 小 結(jié) 行列式計(jì)算、證明的常用方法 定義 性質(zhì) 降（升）階 遞推 V 行列式 數(shù)學(xué)歸納法 2022/6/4 51 第 二 章 行列式 完 2022/6/4 52 第二章練習(xí) ? P36， 習(xí)題 2(A)第 7, 5， 3（ 5） 。 2022/6/4 28 Property 3 用數(shù) k 乘以行列式，相當(dāng)于用數(shù) k 乘以行 列式的某一行（列）的所有元素 . 11 12 11212=ni i inn n nna a ak a k a k aa a a即 1 1 1 2 11212ni i inn n n na a ak a a aa a a第 i 行（列）乘以 k ，記作 ()iir k c k??Corollary 1 行列式中某一行（列）的所有元素的公 因子，可以提到行列式符號(hào)外面 . 三 、行列式的性質(zhì) 2022/6/4 29 Corollary 2 如果行列式中一行（列）為零，則該行 列式為零 . ( 取 k = 0 ) Corollary 3 行列式中如果有兩行（列）元素成比例 , 則 此行列式為零 . ( 由 Pro. 3 Co. 1 及 Pro. 2 ) Property 4 11 12 1 11 12 1 11 12 11 1 2 2 1 2 1 21 2 1 2 1 2n n nn n n nn n nn n n nn n n nna a a a a a a a ab c b c b c b b b c c ca a a a a a a a a? ? ? ? ?由 ，按該行（列）展開可得 . 該行每個(gè)元素為 兩個(gè)元素之和 三 、行列式的性質(zhì) 2022/6/4 30 Property 5 把行列式的某一行（列）的各元素乘以數(shù) k ，然后加到另一行（列）對(duì)應(yīng)的元素上去，行列式 不變 . 即 1 1 1 2 1 1 1 1 2 11 1 2 2 1 21 2 1 21 2 1 2nni j i j in jn i i inj j jn j j jnn n n n n n n na a a a a aa k a a k a a k a a a aa a a a a aa a a a a a? ? ??以數(shù) k 乘第 j 行加到第 i 行，記作 ijr kr?（由 Pro . Pro .3 ） 注意表示！ 三 、行列式的性質(zhì) 2022/6/4 31 Example 8 計(jì)算 2 5 1 23 7 1 41 0 7 2 74 6 1 2D?????Solution: 化行列式為上（下）三角行列式是一重要方法 13ccD ?1 5 2 21 7 3 42 7 1 0 71 6 4 2????? 21rr?312rr?41rr?1 5 2 20 2 5 60 3 6 30 1 2 0??? 3 3r ?32rr?1 5 2 20 1 2 130 2 5 60 1 2 0??322?42rr?1 5 2 20 1 2 130 0 1 40 0 4 1?434rr?5 2 22 10 1 40 0 1 5?= 45 改為 6，如何？ 4階及以上行列式不能用對(duì)角線法 三 、行列式的性質(zhì) 2022/6/4 32 Example 9 計(jì)算 4a b b bb a b bDb b a bb b b a?Solution: 方法一 D4 1 2 3 4c c c c? ? ?3333a b b b ba b a b ba b b a ba b b b a???? 1( 3 )c a b??11( 3 )11bbba b babb a bb b a? 21rr?31rr?41rr?10 0 0( 3 )0 0 00 0 0bbbabababab????= (a+3b)(ab)3 方法二 D4 1irr?2,3,4i?000000a b b bb a a bb a a bb a a b???? 41 2 iicc???30 0 00 0 00 0 0a b b b bababab????= (a+3b)(ab)3 方法一、方法二 對(duì) n 階也很適用 三 、行列式的性質(zhì) 2022/6/4 34 Example 10 試證 3222 2 ( )22a b c a ab b c a b a b cc c c a b??? ? ? ? ???Proof ： 分析特點(diǎn) : 列之和相等 (實(shí)質(zhì)是計(jì)算 ) 確定方法 左邊 1 2 3r r r??2222a b c a b c a b cb b c a bc c c a b? ? ? ? ? ?????1 ()r a b c? ? ?1 1 1( ) 2 222a b c b b c a bc c c a b? ? ? ???21cc?31cc?1 0 0( ) 2 ( ) 02 0 ( )a b c b a b cc a b c? ? ? ? ?? ? ?3()abc?? = 右邊 三 、行列式的性質(zhì) 2022/6/4 35 Example 11 n 階行列式 ， 滿足 aij = aji i， j = 1 ~ n d et ( )ijDa?證明：當(dāng) n 為奇數(shù)時(shí)， D = 0 . Proof ： 由條件可知 ： aii = aii i = 1~n 得 aii = 0 12 13 112 23 213 23 31 2 30000nnnn n na a aa a aD a a aa a a?? ? ?? ? ? D = (1)nD 1 2 1 3 11 2 2 3 21 3 2 3 31 2 30000nnnn n na a aa aa a aa a a? ? ????12 13 112 23 213 23 31