【正文】 k加到另一行（列），行列式的值不變?？傊?，數(shù)學(xué)題目千變?nèi)f化，有各種延伸或變式，同學(xué)們要在學(xué)習(xí)過程中一定要認(rèn)真仔細(xì)地預(yù)習(xí)和復(fù)習(xí)，華而不實(shí)靠押題碰運(yùn)氣是行不通的，必須要重視三基，多思多議，不斷地總結(jié)經(jīng)驗(yàn)與教訓(xùn)，做到融會(huì)貫通。四、注重邏輯性與敘述表述線性代數(shù)對于抽象性與邏輯性有較高的要求，通過證明題可以了解學(xué)生對數(shù)學(xué)主要原理、定理的理解與掌握程度，考查學(xué)生的抽象思維能力、邏輯推理能力。三、注重知識(shí)點(diǎn)的銜接與轉(zhuǎn)換，知識(shí)要成網(wǎng)，努力提高綜合分析能力。線性代數(shù)的概念很多，重要的有：代數(shù)余子式，伴隨矩陣，逆矩陣，初等變換與初等矩陣，正交變換與正交矩陣，秩（矩陣、向量組、二次型），等價(jià)（矩陣、向量組），線性組合與線性表出，線性相關(guān)與線性無關(guān)，極大線性無關(guān)組，基礎(chǔ)解系與通解，解的結(jié)構(gòu)與解空間，特征值與特征向量，相似與相似對角化，二次型的標(biāo)準(zhǔn)形與規(guī)范形，正定，合同變換與合同矩陣。這里給出五點(diǎn)建議：一、 線性代數(shù)常常涉及大型數(shù)組，故先將容易的問題搞明白，再解決有難度的問題，例如行列式定義，首先將3階行列式定義理解好，自然可以推廣到n階行列式情形；由低而高 運(yùn)用技巧，省時(shí)不少，無論是行列式還是矩陣，在低階狀態(tài)，找出適合的計(jì)算方法，則可自如推廣運(yùn)用到高階情形；由簡而繁 一些運(yùn)算法則，先試用于簡單情形，進(jìn)而應(yīng)用于復(fù)雜問題，例如，克萊姆法則，線性方程組解存在性判別，對角化問題等等；由淺而深線性代數(shù)中一些新概念如秩，特征值特征向量，應(yīng)當(dāng)先理解好它們的定義，在理解基礎(chǔ)之上，才能深刻理解它們與其他概念的聯(lián)系、它們的作用，一步步達(dá)到運(yùn)用自如境地。：數(shù)組；一類是這些對象進(jìn)行的運(yùn)算。線性代數(shù)中常見的證明題型有：證｜A｜＝0；證向量組α1，α2，?αt的線性相關(guān)性，亦可引伸為證α1，α2?，αt是齊次方程組Ax＝0的基礎(chǔ)解系；證秩的等式或不等式；證明矩陣的某種性質(zhì)，如對稱，可逆，正交，正定，可對角化，零矩陣等；證齊次方程組是否有非零解；線性方程組是否有解(亦即β能否由α1，α2?，αs線性表出)；對給出的兩個(gè)方程組論證其同解性或有無公共解；證二次型的正定性，規(guī)范形等。三、注重邏輯性與敘述表述線性代數(shù)對于抽象性與邏輯性有較高的要求，通過證明題可以了解考生對數(shù)學(xué)主要原理、定理的理解與掌握程度，考查考生的抽象思維能力、邏輯推理能力。又比如，對于n階行列式我們知道：若｜A｜＝0，則Ax＝0必有非零解，而Ax＝b沒有惟一解(可能有無窮多解，也可能無解)，而當(dāng)｜A｜≠0時(shí)，可用克萊姆法則求Ax＝b的惟一解；可用｜A｜證明矩陣A是否可逆，并在可逆時(shí)通過伴隨矩陣來求A1；對于n個(gè)n維向量α1，α2，?αn可以利用行列式｜A｜＝｜α1α2?αn｜是否為零來判斷向量組的線性相關(guān)性；矩陣A的秩r(A)是用A中非零子式的最高階數(shù)來定義的，若r(A)＜r，則A中r階子式全為0；求矩陣A的特征值，可以通過計(jì)算行列式｜λEA｜，若λ＝λ0是A的特征值，則行列式｜λ0EA｜＝0；判斷二次型xTAx的正定性，可以用順序主子式全大于零。線性代數(shù)從內(nèi)容上看縱橫交錯(cuò)，前后聯(lián)系緊密，環(huán)環(huán)相扣，相互滲透，因此解題方法靈活多變，復(fù)習(xí)時(shí)應(yīng)當(dāng)常問自己做得對不對？再問做得好不好？只有不斷地歸納總結(jié)，努力搞清內(nèi)在聯(lián)系，使所學(xué)知識(shí)融會(huì)貫通，接口與切入點(diǎn)多了，熟悉了，思路自然就開闊了。線性代數(shù)中運(yùn)算法則多，應(yīng)整理清楚不要混淆，基本運(yùn)算與基本方法要過關(guān)，重要的有：行列式(數(shù)字型、字母型)的計(jì)算，求逆矩陣，求矩陣的秩，求方陣的冪，求向量組的秩與極大線性無關(guān)組，線性相關(guān)的判定或求參數(shù)，求基礎(chǔ)解系，求非齊次線性方程組的通解，求特征值與特征向量(定義法，特征多項(xiàng)式基礎(chǔ)解系法)，判斷與求相似對角矩陣，用正交變換化實(shí)對稱矩陣為對角矩陣(亦即用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形)。例如，矩陣A＝(α1，α2，?，αm)與B＝(β1，β2?，βm)等價(jià)，意味著經(jīng)過初等變換可由A得到B，要做到這一點(diǎn)，關(guān)鍵是看秩r(A)與r(B)是否相等，而向量組α1，α2，?αm與β1，β2，?βm等價(jià)，說明這兩個(gè)向量組可以互相線性表出，因而它們有相同的秩，但是向量組有相同的秩時(shí)，并不能保證它們必能互相線性表現(xiàn)，也就得不出向量組等價(jià)的信息，因此，由向量組α1，α2，?αm與β1，β2，?βm等價(jià)，可知矩陣A＝(α1，α2，?αm)與B＝(β1，β2，?βm)等價(jià)，但矩陣A與B等價(jià)并不能保證這兩個(gè)向量組等價(jià)。線性代數(shù)的概念很多，重要的有：代數(shù)余子式，伴隨矩陣，逆矩陣，初等變換與初等矩陣，正交變換與正交矩陣，秩(矩陣、向量組、二次型)，等價(jià)(矩陣、向量組)，線性組合與線性表出，線性相關(guān)與線性無關(guān)，極大線性無關(guān)組，基礎(chǔ)解系與通解，解的結(jié)構(gòu)與解空間，特征值與特征向量，相似與相似對角化，二次型的標(biāo)準(zhǔn)形與規(guī)范形，正定，合同變換與合同矩陣。三是相似對角化以后的應(yīng)用，用矩陣的方法研究二次型的問題主要有兩個(gè)：一是化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形，這主要是正交變換法（這和實(shí)對稱陣正交相似對角陣是一個(gè)問題的兩種提法），在沒有其他要求的情況下，用配方法得到標(biāo)準(zhǔn)形可能更方便些；二是二次型的正定性問題，對具體的數(shù)值二次型，一般可用順序主子式是否全部大于零來判別，而抽象的由給定矩陣的正定性，證明相關(guān)矩陣的正定性時(shí)，可利用標(biāo)準(zhǔn)形，規(guī)范形，特征值等到證明，這時(shí)應(yīng)熟悉二次型正定有關(guān)的充分條件和必要條件。一是要會(huì)求特征值、特征向量，對具體給定的數(shù)值矩陣，一般用特征方程 ?OλEA?O=0及（λEA）ξ=0即可，抽象的由給定矩陣的特征值求其相關(guān)矩陣的特征值（的取值范圍），可用定義Aξ=λξ，同時(shí)還應(yīng)注意特征值和特征向量的性質(zhì)及其應(yīng)用，二是有關(guān)相似矩陣和相似對角化的問題，一般矩陣相似對角化的條件。這種相互之間的聯(lián)系綜合命題創(chuàng)造了條件，故對考生而言，應(yīng)該認(rèn)真總結(jié)，開拓思路，善于分析，富于聯(lián)想使得對綜合的，有較多彎道的試題也能順利地到達(dá)彼岸。在 Rn中，基、坐標(biāo)、基變換公式，坐標(biāo)變換公式，過渡矩陣，線性無關(guān)向量組的標(biāo)準(zhǔn)正交化公式，應(yīng)該概念清楚，計(jì)算熟練，當(dāng)然在計(jì)算中列出關(guān)系式后，應(yīng)先化簡，后代入具體的數(shù)值進(jìn)行計(jì)算。向量組的極大無關(guān)組，等價(jià)向量組，向量組及矩陣的秩的概念，以及它們相互關(guān)系也是重點(diǎn)內(nèi)容之一。例如在解矩陣方程中，首先進(jìn)行矩陣的符號(hào)運(yùn)算，將矩陣方程化簡，然后再代入數(shù)值，算出具體的結(jié)果，矩陣的求逆（包括簡單的分塊陣）（或抽象的，或具體的，或用定義，或是用公式 A1= 1 A*，或 A用初等行變換），A和A*的關(guān)系，矩陣乘積的行列式，方陣的冪等也是?？嫉膬?nèi)容之一。樓主 大 中 小 發(fā)表于 20081010 23:50 只看該作者線性代數(shù)超強(qiáng)總結(jié).√ 關(guān)于 ：①稱為 的標(biāo)準(zhǔn)基，中的自然基，單位坐標(biāo)向量；② 線性無關(guān)；③ ； ④ ；⑤任意一個(gè) 維向量都可以用 線性表示.√ 行列式的計(jì)算：① 若 都是方陣（不必同階）,則②上三角、下三角行列式等于主對角線上元素的乘積.③關(guān)于副對角線：√ 逆矩陣的求法:① ②③④⑤√ 方陣的冪的性質(zhì)：√ 設(shè)，對 階矩陣 規(guī)定： 為 的一個(gè)多項(xiàng)式.√ 設(shè)的列向量為 , 的列向量為，的列向量為 , √ 用對角矩陣 左乘一個(gè)矩陣,相當(dāng)于用 的對角線上的各元素依次乘此矩陣的行向量； 用對角矩陣 右乘一個(gè)矩陣,相當(dāng)于用 的對角線上的各元素依次乘此矩陣的列向量.√ 兩個(gè)同階對角矩陣相乘只用把對角線上的對應(yīng)元素相乘，與分塊對角陣相乘類似,即：√ 矩陣方程的解法：設(shè)法化成當(dāng) 時(shí)，√和 同解（列向量個(gè)數(shù)相同）,則： ① 它們的極大無關(guān)組相對應(yīng),從而秩相等；② 它們對應(yīng)的部分組有一樣的線性相關(guān)性；③ 它們有相同的內(nèi)在線性關(guān)系.√ 判斷 是 的基礎(chǔ)解系的條件：①線性無關(guān)；②是 的解；③.①零向量是任何向量的線性組合,零向量與任何同維實(shí)向量正交.②單個(gè)零向量線性相關(guān)；單個(gè)非零向量線性無關(guān).③部分相關(guān),整體必相關(guān)；整體無關(guān),部分必?zé)o關(guān).④原向量組無關(guān),接長向量組無關(guān)；接長向量組相關(guān),原向量組相關(guān).⑤兩個(gè)向量線性相關(guān) 對應(yīng)元素成比例；兩兩正交的非零向量組線性無關(guān).⑥向量組 中任一向量≤ ≤ 都是此向量組的線性組合.⑦向量組 線性相關(guān) 向量組中至少有一個(gè)向量可由其余 線性無關(guān) 向量組中每一個(gè)向量 都不能由其余 個(gè)向量線性表示.⑧維列向量組 線性相關(guān) ；維列向量組 線性無關(guān).⑨.⑩若 線性無關(guān)，而 線性相關(guān),則 可由 線性表示,且表示法惟一.?.?矩陣的行初等變換不改變矩陣的秩,和 ： 矩陣等價(jià)：?矩陣 與 等價(jià)作為向量組等價(jià),即： 與 作為向量組等價(jià)矩陣 與 等價(jià).?向量組 可由向量組 線性表示≤.?向量組 可由向量組 線性表示,且，則 線性無關(guān),且可由 線性表示,則 ≤.?向量組 可由向量組 線性表示,且,則兩向量組等價(jià)；?任一向量組和它的極大無關(guān)組等價(jià).?向量組的任意兩個(gè)極大無關(guān)組等價(jià),且這兩個(gè)組所含向量的個(gè)數(shù)相等.?若兩個(gè)線性無關(guān)的向量組等價(jià),則它們包含的向量個(gè)數(shù)相等.?若 是 矩陣,則 ,若，的行向量線性無關(guān)；若，的列向量線性無關(guān),即： 向量式矩陣轉(zhuǎn)置的性質(zhì)：矩陣可逆的性質(zhì)：伴隨矩陣的性質(zhì)：線性方程組解的性質(zhì)：√ 設(shè) 為 矩陣,若 ,則 ,從而 時(shí),一定不是唯一解., 的上限.√ 矩陣的秩的性質(zhì)：①②≤③≤④⑤⑥ ≥ ⑦≤ ⑧⑨⑩且 在矩陣乘法中有左消去律:標(biāo)準(zhǔn)正交基個(gè) 維線性無關(guān)的向量,兩兩正交,每個(gè)向量長度為1..是單位向量.√ 內(nèi)積的性質(zhì)：① 正定性：② 對稱性：③ 雙線性：施密特線性無關(guān)，單位化：正交矩陣.√是正交矩陣的充要條件： 的 個(gè)行（列）向量構(gòu)成 的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基.√ 正交矩陣的性質(zhì)：①；②；③是正交陣,則（或）也是正交陣；④ 兩個(gè)正交陣之積仍是正交陣； ⑤ .的特征多項(xiàng)式.的特征方程.√ 上三角陣、下三角陣、對角陣的特征值就是主對角線上的 各元素.√ 若 ,則 為 的特征值,且 的基礎(chǔ)解系即為屬于 的線性無關(guān)的特征向量.√√ 若 ,則 一定可分解為 =、,從而 的特征值為： ，.√ 若 的全部特征值，是多項(xiàng)式,則:①的全部特征值為 ；② 當(dāng) 可逆時(shí), 的全部特征值為 , 的全部特征值為.√√與 相似（為可逆陣）記為：√相似于對角陣的充要條件： 恰有 , 為 的特征向量拼成的矩陣，為對角陣,主對角線上的元素為 的特征值.√可對角化的充要條件：為 的重?cái)?shù).√ 若 階矩陣 有 個(gè)互異的特征值,則 正交相似（為正交矩陣）√ 相似矩陣的性質(zhì)：①若 均可逆②③（為整數(shù)）④,從而 有相同的特征值,: 是 關(guān)于 的特征向量, 是 關(guān)于 的特征向量.⑤從而 同時(shí)可逆或不可逆⑥⑦√ 數(shù)量矩陣只與自己相似.√ 對稱矩陣的性質(zhì)：① 特征值全是實(shí)數(shù),特征向量是實(shí)向量；② 與對角矩陣合同；③ 不同特征值的特征向量必定正交； ④重特征值必定有 個(gè)線性無關(guān)的特征向量；⑤ 必可用正交矩陣相似對角化（一定有 個(gè)線性無關(guān)的特征向量, 可能有重的特征值,重?cái)?shù)=）.可以相似對角化與對角陣 ：（稱 是 的相似標(biāo)準(zhǔn)型）√ 若 為可對角化矩陣,則其非零特征值的個(gè)數(shù)（重?cái)?shù)重復(fù)計(jì)算）.√ 設(shè) 為對應(yīng)于 的線性無關(guān)的特征向量,則有：.√ 若 , ,則：