【正文】 知識(shí)體系是一環(huán)扣一環(huán)，環(huán)環(huán)相連的。而不需全部包攬。在Rn中，基、坐標(biāo)、基變換公式，坐標(biāo)變換公式，過(guò)渡矩陣，線性無(wú)關(guān)向量組的標(biāo)準(zhǔn)正交化公式，應(yīng)該概念清楚，計(jì)算熟練，當(dāng)然在計(jì)算中列出關(guān)系式后，應(yīng)先化簡(jiǎn)，后代入具體的數(shù)值進(jìn)行計(jì)算。（二）慣性定理及規(guī)范形定義：正慣性指數(shù)：標(biāo)準(zhǔn)形中正平方項(xiàng)的個(gè)數(shù)稱為正慣性指數(shù)，記為p；負(fù)慣性指數(shù)：標(biāo)準(zhǔn)形中負(fù)平方項(xiàng)的個(gè)數(shù)稱為負(fù)慣性指數(shù)，記為q；規(guī)范形：f=z12+…zp2zp+12…zp+q2稱為二次型的規(guī)范形?！鷕（β1，β2，β3）=3←→r（C）=3←→|C|≠0（四）極大線性無(wú)關(guān)組與向量組的秩1極大線性無(wú)關(guān)組不唯一1向量組的秩:極大無(wú)關(guān)組中向量的個(gè)數(shù)成為向量組的秩對(duì)比：矩陣的秩:非零子式的最高階數(shù)★注:向量組α1，α2，…，αs的秩與矩陣A=（α1，α2，…，αs）的秩相等★1極大線性無(wú)關(guān)組的求法（1）α1，α2，…，αs為抽象的：定義法（2）α1，α2，…，αs為數(shù)字的：（α1，α2，…，αs）→初等行變換→階梯型矩陣則每行第一個(gè)非零的數(shù)對(duì)應(yīng)的列向量構(gòu)成極大無(wú)關(guān)組（五）向量空間1基（就是極大線性無(wú)關(guān)組）變換公式：若α1，α2，…，αn與β1，β2，…，βn是n維向量空間V的兩組基，則基變換公式為（β1，β2，…，βn）=（α1，α2，…，αn）Cnn其中，C是從基α1，α2，…，αn到β1，β2，…，βn的過(guò)渡矩陣。|B|（3）|AT|=|A|（4）|A1|=|A|1（5）|A*|=|A|n1（6）若A的特征值λλ……λn，則（7）若A與B相似，則|A|=|B|（五）克萊姆法則1克萊姆法則：（1）非齊次線性方程組的系數(shù)行列式不為0，那么方程為唯一解（2）如果非齊次線性方程組無(wú)解或有兩個(gè)不同解，則它的系數(shù)行列式必為0（3）若齊次線性方程組的系數(shù)行列式不為0，則齊次線性方程組只有0解；如果方程組有非零解，那么必有D=0。《線性代數(shù)》是一門(mén)研究線性問(wèn)題的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課，線性代數(shù)實(shí)質(zhì)上是提供了自己獨(dú)特的語(yǔ)言和方法，將那些涉及多變量的問(wèn)題組織起來(lái)并進(jìn)行分析研究，是將中學(xué)一元代數(shù)推廣為處理大的數(shù)組的一門(mén)代數(shù)。實(shí)對(duì)稱矩陣的相似對(duì)角化及正交變換相似于對(duì)角陣，反過(guò)來(lái)，可由A 的特征值，特征向量來(lái)確不定期A的參數(shù)或確定A，如果A是實(shí)對(duì)稱陣，利用不同特征值對(duì)應(yīng)的特征向量相互正交，有時(shí)還可以由已知λ1的特征向量確定出λ2（λ2≠λ1）對(duì)應(yīng)的特征向量，從而確定出A。這就說(shuō)明學(xué)習(xí)知識(shí)總會(huì)有用的，只要我們?nèi)シe累，只要我們現(xiàn)在把基礎(chǔ)打牢，我相信以后解決問(wèn)題的方法多了，大腦用活了，我們的競(jìng)爭(zhēng)力就強(qiáng)了，自然在社會(huì)上有一席之地。但是對(duì)于我們的課本知識(shí)非常得有用，因?yàn)槲覀儸F(xiàn)在所學(xué)的課本知識(shí)。同時(shí)隨著計(jì)算機(jī)及其應(yīng)用技術(shù)的飛速發(fā)展，很多實(shí)際問(wèn)題得以離散化而得到定量的解決。常用到下列性質(zhì)：若 階矩陣 有 個(gè)特征值，則有 ；若矩陣 有特征值，則、分別有特征值、且對(duì)應(yīng)特征向量等于 所對(duì)應(yīng)的特征向量； 2．相似矩陣及其性質(zhì)定義式為，此時(shí)滿足、并且、有相同的特征值。 的列向量組線性無(wú)關(guān)243。齊次線性方程組一定有解又可以分為兩種情況：①有唯一零解；②有非零解。如矩陣部分涉及到了各種類(lèi)型的性質(zhì)和關(guān)系，記憶量大而且容易混淆的地方較多。解線性方程組可以看作是出發(fā)點(diǎn)和目標(biāo)。 的行列向量組均線性無(wú)關(guān)243。四、特征值與特征向量相對(duì)于前兩章來(lái)說(shuō)，本章不是線性代數(shù)這門(mén)課的理論重點(diǎn)，但卻是一個(gè)考試重點(diǎn)。標(biāo)簽: 線性代數(shù)總結(jié).學(xué)習(xí)線性代數(shù)總結(jié)2009年06月14日 星期日 上午 11:12學(xué)習(xí)線性代數(shù)總結(jié)線性代數(shù)與數(shù)理統(tǒng)計(jì)已經(jīng)學(xué)完了，但我認(rèn)為我們的學(xué)習(xí)并沒(méi)有因此而結(jié)束。否則這一塊的知識(shí)沒(méi)有辦法開(kāi)展。記得這個(gè)給我印象最深的是：在我們學(xué)C++編程時(shí)，有一道題是講的是用一百元錢(qián)去買(mǎi)母雞、公雞、小雞。這種相互之間的聯(lián)系綜合命題創(chuàng)造了條件，故對(duì)考生而言，應(yīng)該認(rèn)真總結(jié)，開(kāi)拓思路，善于分析，富于聯(lián)想使得對(duì)綜合的，有較多彎道的試題也能順利地到達(dá)彼岸。三、注重邏輯性與敘述表述線性代數(shù)對(duì)于抽象性與邏輯性有較高的要求，通過(guò)證明題可以了解考生對(duì)數(shù)學(xué)主要原理、定理的理解與掌握程度，考查考生的抽象思維能力、邏輯推理能力。（5）一行（列）乘k加到另一行（列），行列式的值不變。線性表示的求法：（大題第二步）設(shè)α1，α2，…，αs線性無(wú)關(guān)，β可由其線性表示。注：Aαi=λiαi（αi≠0，由于P可逆），故P的每一列均為矩陣A的特征值λi的特征向量相似對(duì)角化的充要條件（1）A有n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量（2）A的k重特征值有k個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量1相似對(duì)角化的充分條件：（1）A有n個(gè)不同的特征值（不同特征值的特征向量線性無(wú)關(guān)）（2）A為實(shí)對(duì)稱矩陣1重要結(jié)論：（1）若A可相似對(duì)角化，則r（A）為非零特征值的個(gè)數(shù)，nr（A）為零特征值的個(gè)數(shù)（2）若A不可相似對(duì)角化，r（A）不一定為非零特征值的個(gè)數(shù)（四）實(shí)對(duì)稱矩陣1性質(zhì)（1）特征值全為實(shí)數(shù)（2）不同特征值的特征向量正交（3）A可相似對(duì)角化，即存在可逆矩陣P使得P1AP=Λ（4）A可正交相似對(duì)角化，即存在正交矩陣Q，使得Q1AQ=QTAQ=Λ二次型（一）二次型及其標(biāo)準(zhǔn)形二次型：（1）一般形式（2）矩陣形式（常用）標(biāo)準(zhǔn)形：如果二次型只含平方項(xiàng)，即f（x1，x2，…，xn）=d1x12+d2x22+…+dnxn2這樣的二次型稱為標(biāo)準(zhǔn)形（對(duì)角線）二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形的方法：（1）配方法：通過(guò)可逆線性變換x=Cy（C可逆），將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形。關(guān)于向量，證明（或判別）向量組的線性相關(guān)（無(wú)關(guān)），線性表出等問(wèn)題的關(guān)鍵在于深刻理解線性相關(guān)（無(wú)關(guān)）的概念及幾個(gè)相關(guān)定理的掌握，并要注意推證過(guò)程中邏輯的正確性及反證法的使用。老師可以自己選一些經(jīng)典的例子來(lái)講，而不一定要講書(shū)上的例子。當(dāng)然在學(xué)習(xí)過(guò)程中，我們應(yīng)該具備能夠整體把握老師所講重點(diǎn)的能力，注意各個(gè)章節(jié)的聯(lián)系。對(duì)于后來(lái)學(xué)的，應(yīng)該多翻翻書(shū)看看前面是怎么說(shuō)的，往往前面學(xué)習(xí)的內(nèi)容是為后面做鋪墊的，所以在學(xué)了后面的知識(shí)后，再看前面的知識(shí)，會(huì)對(duì)前面的知識(shí)有一個(gè)新的認(rèn)識(shí)，會(huì)更好的加深對(duì)它的理解和記憶。再者，在自身學(xué)習(xí)過(guò)程中，我想說(shuō)明的是，大學(xué)里的學(xué)習(xí)是不能靠其他任何人的，只能靠自己，老師只是起到一個(gè)引導(dǎo)作用。關(guān)于特征值、特征向量。（2）p=正特征值的個(gè)數(shù)，q=負(fù)特征值的個(gè)數(shù)，p+q=非零特征值的個(gè)數(shù)=r（A）（三）合同矩陣定義：A、B均為n階實(shí)對(duì)稱矩陣，若存在可逆矩陣C，使得B=CTAC，稱A與B合同△總結(jié)：n階實(shí)對(duì)稱矩陣A、B的關(guān)系（1）A、B相似（B=P1AP）←→相同的特征值（2）A、B合同（B=CTAC）←→相同的正負(fù)慣性指數(shù)←→相同的正負(fù)特征值的個(gè)數(shù)（3）A、B等價(jià)（B=PAQ）←→r（A）=r（B）注：實(shí)對(duì)稱矩陣相似必合同，合同必等價(jià)（四）正定二次型與正定矩陣正定的定義二次型xTAx，如果任意x≠0，恒有xTAx＞0，則稱二次型正定，并稱實(shí)對(duì)稱矩陣A是正定矩陣。C=（α1，α2，…，αn）1（β1，β2，…，βn）（六）Schmidt正交化1Schmidt正交化設(shè)α1，α2，α3線性無(wú)關(guān)（1）正交化令β1=α1（2）單位化線性方程組（一）方程組的表達(dá)形與解向量解的形式：(1)一般形式(2)矩陣形式：Ax=b；(3)向量形式：A=（α1，α2，…，αn）解的定義：若η=（c1，c2，…，）T滿足方程組Ax=b，即Aη=b，稱η是Ax=b的一個(gè)解（向量）（二）解的判定與性質(zhì)齊次方程組：（1）只有零解←→r（A）=n（n為A的列數(shù)或是未知數(shù)x的個(gè)數(shù)）（2）有非零解←→r（A）＜n非齊次方程組：（1）無(wú)解←→r（A）＜r（A|b）←→r（A）=r（A）1（2）唯一解←→r（A）=r（A|b）=n（3）無(wú)窮多解←→r（A）=r（A|b）＜n解的性質(zhì)：（1）若ξ1，ξ2是Ax=0的解，則k1ξ1+k2ξ2是Ax=0的解（2）若ξ是Ax=0的解，η是Ax=b的解，則ξ+η是Ax=b的解（3）若η1，η2是Ax=b的解，則η1η2是Ax=0的解【推廣】（1）設(shè)η1，η2，…，ηs是Ax=b的解，則k1η1+k2η2+…+ksηs為Ax=b的解（當(dāng)Σki=1）Ax=0的解（當(dāng)Σki=0）（2）設(shè)η1，η2，…，ηs是Ax=b的s個(gè)線性無(wú)關(guān)的解，則η2η1，η3η1，…，ηsη1為Ax=0的s1個(gè)線性無(wú)關(guān)的解。A1(k≠0)（2）（AB）1=B1這里給出五點(diǎn)建議：一、 線性代數(shù)常常涉及大型數(shù)組，故先將容易的問(wèn)題搞明白，再解決有難度的問(wèn)題，例如行列式定義，首先將3階行列式定義理解好，自然可以推廣到n階行列式情形；由低而高 運(yùn)用技巧，省時(shí)不少，無(wú)論是行列式還是矩陣，在低階狀態(tài)，找出適合的計(jì)算方法，則可自如推廣運(yùn)用到高階情形；由簡(jiǎn)而繁 一些運(yùn)算法則，先試用于簡(jiǎn)單情形，進(jìn)而應(yīng)用于復(fù)雜問(wèn)題，例如，克萊姆法則，線性方程組解存在性判別，對(duì)角化問(wèn)題等等；由淺而深線性代數(shù)中一些新概念如秩，特征值特征向量，應(yīng)當(dāng)先理解好它們的定義，在理解基礎(chǔ)之上，才能深刻理解它們與其他概念的聯(lián)系、它們的作用，一步步達(dá)到運(yùn)用自如境地。線性代數(shù)的概念很多，重要的有：代數(shù)余子式，伴隨矩陣，逆矩陣，初等變換與初等矩陣，正交變換與正交矩陣，秩(矩陣、向量組、二次型)，等價(jià)(矩陣、向量組)，線性組合與線性表出，線性相關(guān)與線性無(wú)關(guān)，極大線性無(wú)關(guān)組，基礎(chǔ)解系與通解，解的結(jié)構(gòu)與解空間，特征值與特征向量，相似與相似對(duì)角化，二次型的標(biāo)準(zhǔn)形與規(guī)范形，正定，合同變換與合同矩陣。把我們手頭上的事做好才是最關(guān)鍵，我還是喜歡軍訓(xùn)中我的那個(gè)“胖胖”所說(shuō)的話：“一個(gè)蘿卜，一個(gè)坑”，一步一個(gè)腳印，腳踏實(shí)地?？傊?，我們現(xiàn)在要為以后遇到問(wèn)題而積累解決問(wèn)題的方法，我們現(xiàn)在是在為以后的人生在打基礎(chǔ)。從這門(mén)課程中，我們學(xué)會(huì)的不僅僅是線性代數(shù)的一些相關(guān)知識(shí)（行列式、線性方程組、矩陣論、二次型、線性空間、線性變換等方面的系統(tǒng)知識(shí)），更重要的是，從這門(mén)課程中我們應(yīng)該掌握一種很重要的思想——學(xué)習(xí)如何去使用工具的方法。3．矩陣可相似對(duì)角化的條件包括兩個(gè)充要條件和兩個(gè)充分條件。應(yīng)記住的一些性質(zhì)與結(jié)論 1．向量組線性相關(guān)的有關(guān)結(jié)論：1）向量組 線性相關(guān)243。可以設(shè)想線性相關(guān)無(wú)關(guān)的概念就是為了更好地討論線性方程組問(wèn)題而提出的。復(fù)習(xí)線代時(shí)，要做到“融會(huì)貫通”。相比之下，行列式和矩陣可視作是為了討論向量和線性方程組部分的問(wèn)題而做鋪墊的基礎(chǔ)性章節(jié)；后兩章特征值、特征向量、二次型的內(nèi)容則相對(duì)獨(dú)立，可以看作是對(duì)核心內(nèi)容的擴(kuò)展。這一點(diǎn)也正好印證了一個(gè)重要定理：“若 線性無(wú)關(guān)，而 線性相關(guān)，則向量 可由向量組 線性表示，且表示方法唯一”。3．常見(jiàn)的線性無(wú)關(guān)組：1）齊次線性方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系； 2）、這樣的單位向量組； 3）不同特征值對(duì)應(yīng)的特征向量。本章知識(shí)要點(diǎn)如下：1．二次型及其矩陣表示。這是學(xué)習(xí)的一切學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，只有把握這個(gè)環(huán)節(jié)，我們的學(xué)習(xí)實(shí)踐活動(dòng)才能得以開(kāi)展，知識(shí)是人類(lèi)高度概括、總結(jié)的經(jīng)驗(yàn)，不可能像平常說(shuō)話那么通俗易懂。這才是我們學(xué)習(xí)的真正目的所在。用初等行變換是求向量組的極大無(wú)關(guān)組及向量組和矩陣秩的有效方法。例如：設(shè)A是mn矩陣，B是ns矩陣，且AB＝