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線性代數(shù)總結(jié)-在線瀏覽

2024-10-29 06:20本頁面
  

【正文】 同與等價(jià)之間沒有必然聯(lián)系。充要條件1是 階矩陣 有 個(gè)線性無關(guān)的特征向量;充要條件2是 的任意 重特征根對應(yīng)有 個(gè)線性無關(guān)的特征向量;充分條件1是 有 個(gè)互不相同的特征值;充分條件2是 為實(shí)對稱矩陣??梢哉J(rèn)為討論矩陣的相似對角化是為了方便求矩陣的冪:直接相乘來求 比較困難;但如果有矩陣 使得 滿足(對角矩陣)的話就簡單多了,因?yàn)榇藭r(shí)而對角陣 的冪 就等于,代入上式即得。因?yàn)椋坏袛嗑仃嚨南嗨茖腔瘯r(shí)要用到特征值和特征向量,而且 中的、也分別是由 的特征向量和特征值決定的。本章知識要點(diǎn)如下:1.二次型及其矩陣表示。3.正負(fù)定二次型的判斷與證明。我們應(yīng)該總結(jié)一下這門課程的學(xué)習(xí)的方法,并能為我們以后的學(xué)習(xí)和工作提供方法。同時(shí)隨著計(jì)算機(jī)及其應(yīng)用技術(shù)的飛速發(fā)展,很多實(shí)際問題得以離散化而得到定量的解決。我總結(jié)了《線性代數(shù)》的一些學(xué)習(xí)方法,可能有的同學(xué)會認(rèn)為這已經(jīng)為時(shí)過晚,但我不這么認(rèn)為。這個(gè)工具狹隘的講是線性代數(shù)這門數(shù)學(xué)知識,但從廣義地說:這個(gè)工具應(yīng)該是生活中的一切工具(如電腦軟件的學(xué)習(xí)方法、機(jī)器的操作方法、科學(xué)調(diào)查方法等)。我認(rèn)為:學(xué)習(xí)任何一門知識的方法是:一、明確我們要學(xué)習(xí)什么知識或者要掌握哪些方面的技能。不過我認(rèn)為學(xué)習(xí)好自己的專業(yè)的知識,掌握專業(yè)技能是每個(gè)大學(xué)生的天職。這是學(xué)習(xí)的一切學(xué)習(xí)的基礎(chǔ),只有把握這個(gè)環(huán)節(jié),我們的學(xué)習(xí)實(shí)踐活動才能得以開展,知識是人類高度概括、總結(jié)的經(jīng)驗(yàn),不可能像平常說話那么通俗易懂。例《線性代數(shù)》這門課程中的實(shí)二次型,那我們首先得非常清楚的知到,什么叫做實(shí)二次型。三、要知到我們學(xué)的知識可以用到何處,或者能幫我們解決什么問題。但是對于我們的課本知識非常得有用,因?yàn)槲覀儸F(xiàn)在所學(xué)的課本知識。有一句話說得好,書到用時(shí)方恨少,說得是這個(gè)道理。四、學(xué)習(xí)相關(guān)概念后,要學(xué)會如何去操作。如在我們學(xué)習(xí)正交矩陣這個(gè)概念后,我們得要學(xué)會如何去求正交矩陣;再如,當(dāng)我們認(rèn)識了矩陣的對角化定義之后,我們得掌握如何去將一個(gè)矩陣對角化。只有掌握了這部分,我們才能在以后學(xué)習(xí)或者生活中遇到相似的問題,就有了這個(gè)工具去為我們解決實(shí)際的問題。這才是我們學(xué)習(xí)的真正目的所在。學(xué)之所用才叫學(xué)到實(shí)處,才能發(fā)揮真正學(xué)習(xí)的作用。母雞5元錢一只,公雞3元錢一只,小雞3只一元,并且母雞、公雞、小雞的總數(shù)為一百只,求有多少種可能。這就說明學(xué)習(xí)知識總會有用的,只要我們?nèi)シe累,只要我們現(xiàn)在把基礎(chǔ)打牢,我相信以后解決問題的方法多了,大腦用活了,我們的競爭力就強(qiáng)了,自然在社會上有一席之地。雖然就業(yè)壓力在壓著大家,大家為就業(yè)而奔波,但至少現(xiàn)在找工作不是我們的重點(diǎn)。相信我們80年后或90年后的一代能夠擔(dān)任起國家建設(shè)的重任和使命。矩陣中除可逆陣、伴隨陣、分塊陣、初等陣等重要概念外,主要也是運(yùn)算,其運(yùn)算分兩個(gè)層次,一是矩陣的符號運(yùn)算,二是具體矩陣的數(shù)值運(yùn)算。關(guān)于向量,證明(或判別)向量組的線性相關(guān)(無關(guān)),線性表出等問題的關(guān)鍵在于深刻理解線性相關(guān)(無關(guān))的概念及幾個(gè)相關(guān)定理的掌握,并要注意推證過程中邏輯的正確性及反證法的使用。用初等行變換是求向量組的極大無關(guān)組及向量組和矩陣秩的有效方法。行列式、矩陣、向量、方程組是線性代數(shù)的基本內(nèi)容,它們不是孤立隔裂的,而是相互滲透,緊密聯(lián)系的,例如 ?OA?O≠0〈===〉A(chǔ)是可逆陣〈===〉r(A)=n(滿秩陣)〈===〉A(chǔ)的列(行)向量組線性無關(guān)〈===〉A(chǔ)X=0唯一零解〈===〉A(chǔ)X=b對任何b均有(唯一)解〈===〉A(chǔ)=P1 P2 ?PN,其中PI(I=1,2,?,N)是初等陣〈===〉r(AB)=r(B)A初等行變換I〈===〉A(chǔ)的列(行)向量組是Rn的一個(gè)基〈===〉A(chǔ)可以是某兩個(gè)基之間的過渡矩陣等等。關(guān)于特征值、特征向量。實(shí)對稱矩陣的相似對角化及正交變換相似于對角陣,反過來,可由A 的特征值,特征向量來確不定期A的參數(shù)或確定A,如果A是實(shí)對稱陣,利用不同特征值對應(yīng)的特征向量相互正交,有時(shí)還可以由已知λ1的特征向量確定出λ2(λ2≠λ1)對應(yīng)的特征向量,從而確定出A。一、注重對基本概念的理解與把握,正確熟練運(yùn)用基本方法及基本運(yùn)算。往年常有考生沒有準(zhǔn)確把握住概念的內(nèi)涵,也沒有注意相關(guān)概念之間的區(qū)別與聯(lián)系,導(dǎo)致做題時(shí)出現(xiàn)錯(cuò)誤。又如,實(shí)對稱矩陣A與B合同,即存在可逆矩陣C使CTAC=B,要實(shí)現(xiàn)這一點(diǎn),關(guān)鍵是二次型xTAx與xTBx的正、負(fù)慣性指數(shù)是否相同,而A與B相似是指有可逆矩陣P使P1AP=B成立,進(jìn)而知A與B有相同的特征值,如果特征值相同可知正、負(fù)慣性指數(shù)相同,但正負(fù)慣性指數(shù)相同時(shí),并不能保證特征值相同,因此,實(shí)對稱矩陣A~BAB,即相似是合同的充分條件。二、注重知識點(diǎn)的銜接與轉(zhuǎn)換,知識要成網(wǎng),努力提高綜合分析能力。例如:設(shè)A是mn矩陣,B是ns矩陣,且AB=0,那么用分塊矩陣可知B的列向量都是齊次方程組Ax=0的解,再根據(jù)基礎(chǔ)解系的理論以及矩陣的秩與向量組秩的關(guān)系,可以有r(B)≤nr(A)即r(A)+r(B)≤n進(jìn)而可求矩陣A或B中的一些參數(shù)再如,若A是n階矩陣可以相似對角化,那么,用分塊矩陣處理P1AP=∧可知A有n個(gè)線性無關(guān)的特征向量,P就是由A的線性無關(guān)的特征向量所構(gòu)成,再由特征向量與基礎(chǔ)解系間的聯(lián)系可知此時(shí)若λi是ni重特征值,則齊次方程組(λiEA)x=0的基礎(chǔ)解系由ni個(gè)解向量組成,進(jìn)而可知秩r(λiEA)=nni,那么,如果A不能相似對角化,則A的特征值必有重根且有特征值λi使秩r(λiEA)<nni,若A是實(shí)對稱矩陣,則因A必能相似對角化而知對每個(gè)特征值λi必有r(λiEA)=nni,此時(shí)還可以利用正交性通過正交矩陣來實(shí)現(xiàn)相似對角化。凡此種種,正是因?yàn)榫€性代數(shù)各知識點(diǎn)之間有著千絲萬縷的聯(lián)系,代數(shù)題的綜合性與靈活性就較大,同學(xué)們整理時(shí)要注重串聯(lián)、銜接與轉(zhuǎn)換。大家復(fù)習(xí)整理時(shí),應(yīng)當(dāng)搞清公式、定理成立的條件,不能張冠李戴,同時(shí)還應(yīng)注意語言的敘述表達(dá)應(yīng)準(zhǔn)確、簡明。《線性代數(shù)》是一門研究線性問題的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課,線性代數(shù)實(shí)質(zhì)上是提供了自己獨(dú)特的語言和方法,將那些涉及多變量的問題組織起來并進(jìn)行分析研究,是將中學(xué)一元代數(shù)推廣為處理大的數(shù)組的一門代數(shù)。在此基礎(chǔ)之上可以對一系列涉及數(shù)組的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行探討和研究,我們就要用適當(dāng)?shù)膶W(xué)習(xí)方法面對。二、注重對基本概念的理解與把握,正確熟練運(yùn)用基本方法及基本運(yùn)算。線性代數(shù)中運(yùn)算法則多,應(yīng)整理清楚不要混淆,基本運(yùn)算與基本方法要過關(guān),重要的有:行列式(數(shù)字型、字母型)的計(jì)算,求逆矩陣,求矩陣的秩,求方陣的冪,求向量組的秩與極大線性無關(guān)組,線性相關(guān)的判定或求參數(shù),求基礎(chǔ)解系,求非齊次線性方程組的通解,求特征值與特征向量(定義法,特征多項(xiàng)式基礎(chǔ)解系法),判斷與求相似對角矩陣,用正交變換化實(shí)對稱矩陣為對角矩陣(亦即用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形)。線性代數(shù)從內(nèi)容上看縱橫交錯(cuò),前后聯(lián)系緊密,環(huán)環(huán)相扣,相互滲透,因此解題方法靈活多變,學(xué)習(xí)時(shí)應(yīng)當(dāng)常問自己做得對不對?再問做得好不好?只有不斷地歸納總結(jié),努力搞清內(nèi)在聯(lián)系,使所學(xué)知識融會貫通,接口與切入點(diǎn)多了,熟悉了,思路自然就開闊了。大家學(xué)習(xí)整理時(shí),應(yīng)當(dāng)搞清公式、定理成立的條件,不能張冠李戴,同時(shí)還應(yīng)注意語言的敘述表達(dá)應(yīng)準(zhǔn)確、簡明。第二篇:線性代數(shù)知識點(diǎn)總結(jié)匯總線性代數(shù)知識點(diǎn)總結(jié)行列式(一)行列式概念和性質(zhì)逆序數(shù):所有的逆序的總數(shù)行列式定義:不同行不同列元素乘積代數(shù)和行列式性質(zhì):(用于化簡行列式)(1)行列互換(轉(zhuǎn)置),行列式的值不變(2)兩行(列)互換,行列式變號(3)提公因式:行列式的某一行(列)的所有元素都乘以同一數(shù)k,等于用數(shù)k乘此行列式(4)拆列分配:行列式中如果某一行(列)的元素都是兩組數(shù)之和,那么這個(gè)行列式就等于兩個(gè)行列式之和。(6)兩行成比例,行列式的值為0。|B|(3)|AT|=|A|(4)|A1|=|A|1(5)|A*|=|A|n1(6)若A的特征值λλ……λn,則(7)若A與B相似,則|A|=|B|(五)克萊姆法則1克萊姆法則:(1)非齊次線性方程組的系數(shù)行列式不為0,那么方程為唯一解(2)如果非齊次線性方程組無解或有兩個(gè)不同解,則它的系數(shù)行列式必為0(3)若齊次線性方程組的系數(shù)行列式不為0,則齊次線性方程組只有0解;如果方程組有非零解,那么必有D=0。轉(zhuǎn)置的性質(zhì)(5條)(1)(A+B)T=AT+BT(2)(kA)T=kAT(3)(AB)T=BTAT(4)|A|T=|A|(5)(AT)T=A(二)矩陣的逆逆的定義:AB=E或BA=E成立,稱A可逆,B是A的逆矩陣,記為B=A1注:A可逆的充要條件是|A|≠0逆的性質(zhì):(5條)(1)(kA)1=1/kA1(3)|A1|=|A|1(4)(AT)1=(A1)T(5)(A1)1=A逆的求法:(1)A為抽象矩陣:由定義或性質(zhì)求解(2)A為數(shù)字矩陣:(A|E)→初等行變換→(E|A1)(三)矩陣的初等變換初等行(列)變換定義:(1)兩行(列)互換;(2)一行(列)乘非零常數(shù)c(3)一行(列)乘k加到另一行(列)初等矩陣:單位矩陣E經(jīng)過一次初等變換得到的矩陣。秩的性質(zhì):(7條)(1)A為mn階矩陣,則r(A)≤min(m,n)(2)r(A177。(B)(3)r(AB)≤min{r(A),r(B)}(4)r(kA)=r(A)(k≠0)(5)r(A)=r(AC)(C是一個(gè)可逆矩陣)(6)r(A)=r(AT)=r(ATA)=r(AAT)(7)設(shè)A是mn階矩陣,B是ns矩陣,AB=O,則r(A)+r(B)≤n1秩的求法:(1)A為抽象矩陣:由定義或性質(zhì)求解;(2)A為數(shù)字矩陣:A→初等行變換→階梯型(每行第一個(gè)非零元素下面的元素均為0),則r(A)=非零行的行數(shù)(五)伴隨矩陣1伴隨矩陣的性質(zhì):(8條)(1)AA*=A*A=|A|E→★A*=|A|A1(2)(kA)*=kn1A*(3)(AB)*=B*A*(4)|A*|=|A|n1(5)(AT)*=(A*)T(6)(A1)*=(A*)1=A|A|1(7)(A*)*=|A|n21分塊矩陣求逆:向量(一)向量的概念及運(yùn)算向量的內(nèi)積:(α,β)=αTβ=βTα長度定義:||α||=正交定義:(α,β)=αTβ=βTα=a1b1+a2b2+…+anbn=0正交矩陣的定義:A為n階矩陣,AAT=E←→A1=AT←→ATA=E→|A|=177。★(2)←→r(α1,α2,…,αs)=r(α1,α2,…,αs,β)(系數(shù)矩陣的秩等于增廣矩陣的秩,用于大題第一步的檢驗(yàn))線性表示的充分條件:(了解即可)若α1,α2,…,αs線性無關(guān),α1,α2,…,αs,β線性相關(guān),則β可由α1,α2,…,αs線性表示。(α1,α2,…,αs|β)→初等行變換→(行最簡形|系數(shù))行最簡形:每行第一個(gè)非0的數(shù)為1,其余元素均為0(三)線性相關(guān)和線性無關(guān)線性相關(guān)注意事項(xiàng):(1)α線性相關(guān)←→α=0(2)α1,α2線性相關(guān)←→α1,α2成比例線性相關(guān)的充要條件:向量組α1,α2,…,αs線性相關(guān)(1)←→有個(gè)向量可由其余向量線性表示;(2)←→齊次方程(α1,α2,…,αs)(x1,x2,…,xs)T=0有非零解;★(3)←→r(α1,α2,…,αs)<s即秩小于個(gè)數(shù)特別地,n個(gè)n維列向量α1
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