【正文】 D. 中任意個向量都線性無關(guān)測試點(diǎn) 向量組線性相關(guān)的概念。測試點(diǎn) 求矩陣方程的解解 由 得故 其中所以 驗(yàn)算第三章 向量空間一、維向量線性運(yùn)算的定義和性質(zhì)。從而矩陣左乘（右乘），則二者必等價. 例19設(shè)矩陣，則中（　　?。〢．所有2階子式都不為零 B．所有2階子式都為零C．所有3階子式都不為零 D．存在一個3階子式不為零測試點(diǎn) 矩陣的階子式的概念.答案 D例20設(shè)矩陣，矩陣，則矩陣的秩 =______________.測試點(diǎn) 矩陣秩的概念解 答案 例21設(shè)矩陣，問a為何值時， （1）秩； （2）秩.測試點(diǎn) 求矩陣秩的方法解 所以 當(dāng)時, 秩。初等陣都可逆，且其逆也是同類型的初等陣.2) 初等變換和矩陣乘法之間的關(guān)系3)對任意階矩陣，總存在一系列階初等陣和一系列階初等陣使得 4)矩陣階與等價的充分必要條件是存在一系列階初等陣和一系列階初等陣使得 例17 下列矩陣中，是初等矩陣的為（　　　）A． B．C． D． 測試點(diǎn) 初等矩陣的定義和性質(zhì)，故是初等矩陣。測試點(diǎn) 關(guān)于逆矩陣的重要推論若都是階矩陣，且滿足則都可逆，且解 由得，即，即 ，故 答案 例15設(shè)是n階方陣，且，證明可逆.測試點(diǎn) 若則都可逆,且證 因?yàn)?即,所以故可逆,且.例16設(shè)階方陣滿足，其中為正整數(shù)，證明可逆，且分析 只要檢查即可證 因?yàn)? .故 三、矩陣的初等變換和初等矩陣1．初等變換的定義和性質(zhì)稱矩陣的下列三種變換為初等行變換：（1）兩行互換；（2）某一行乘一個非零的數(shù)；（3）某一行的倍加到另一行上。.4）消去律：設(shè)方陣可逆，且，則必有.（若不知可逆，僅知結(jié)論不一定成立。特別 當(dāng)時，重要公式；； 與的關(guān)系2）重要結(jié)論：若n階方陣滿足，則都可逆，且.3）逆矩陣的性質(zhì)：。(列)展開的定理.解（1）項(xiàng)的系數(shù)(2)因?yàn)樗苑匠逃腥齻€根:第二章 矩陣一、矩陣的概念（0矩陣，單位陣，三角陣，對角陣，數(shù)量陣）二、矩陣的運(yùn)算1． 矩陣的加、減、乘有意義的充分必要條件例1設(shè)矩陣,， ，則下列矩陣運(yùn)算中有意義的是（　　?。〢． B．C． D．測試點(diǎn): 矩陣相乘有意義的充分必要條件答案: B例2設(shè)矩陣， ，則 =_____________.測試點(diǎn): 矩陣運(yùn)算的定義解 .例3設(shè)矩陣， ，則____________.測試點(diǎn): 矩陣運(yùn)算的定義解 2．矩陣運(yùn)算的性質(zhì)比較矩陣運(yùn)算（包括加、減、數(shù)乘、乘法等）的性質(zhì)與數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)的相同點(diǎn)和不同點(diǎn)（加法的交換律和結(jié)合律；乘法關(guān)于加法的分配律；）重點(diǎn)是矩陣乘法沒有交換律（由此產(chǎn)生了矩陣運(yùn)算公式與數(shù)的運(yùn)算的公式的不同點(diǎn). (如果，可能例如都不為零，但.3．轉(zhuǎn)置 對稱陣和反對稱陣 1）轉(zhuǎn)置的性質(zhì)2）若，則稱為對稱（反對稱）陣?yán)?矩陣為同階方陣，則=（　　?。〢． B．C． D．答案: B例5設(shè)令,試求.測試點(diǎn) 矩陣乘法的一個常用技巧解 因?yàn)?所以 答案 例6為任意階矩陣，下列矩陣中為反對稱矩陣的是（　　?。〢． B．C． D．解析 故為對稱陣. 故為反對稱陣. .答案 B例7已知矩陣,為2階單位矩陣,令求測試點(diǎn) 方陣多項(xiàng)式的概念。．行列式的定義和性質(zhì)1. 余子式和代數(shù)余子式的定義例1行列式第二行第一列元素的代數(shù)余子式（　　　）A． B．C． D．測試點(diǎn) 余子式和代數(shù)余子式的概念解析 ,答案 B2．行列式按一行或一列展開的公式1）2）例2 設(shè)某階行列式的第二行元素分別為對應(yīng)的余子式分別為則此行列式的值為 .測試點(diǎn) 行列式按行(列)展開的定理解 例3 已知行列式的第一列的元素為，第二列元素的代數(shù)余子式為2,3,4,x 問 .測試點(diǎn) 行列式的任意一行(列)與另一行(列)元素的代數(shù)余子式的乘積之和為零.解 因第一列的元素為，第二列元素的代數(shù)余子式為2,3,4,x,故所以3．行列式的性質(zhì)1）2）用數(shù)乘行列式的某一行（列）所得新行列式＝3）互換行列式的任意兩行（列）所得新行列式等于原行列式的相反數(shù). 推論4）如果行列式中兩行（列）對應(yīng)元素成比例，則行列式值為0.5）行列式可以按任一行（列）拆開.6）行列式的某一行（列）的倍加到另一行（列）上，所得新行列式與原行列式的值相等.例4 已知，那么（ ）A. B.C. D. 測試點(diǎn) 行列式的性質(zhì)解析 答案 B例5設(shè)行列式=1，=2，則=（　　?。〢． B．C．1 D．測試點(diǎn) 行列式的性質(zhì)解 故應(yīng)選 D答案 D二．行列式的計(jì)算1．二階行列式和三角形行列式的計(jì)算.，利用行列式的性質(zhì)將其降階以化成二階行列式或三角形行列式的計(jì)算.3．對行列式中有一行或一列中只有一個或兩個非零元的情況，用這一行或一列展開. 4．行列式中各行元素之和為一個常數(shù)的類型.例6求4階行列式的值.測試點(diǎn) 行列式的計(jì)算解 例7計(jì)算3階行列式 解 例8 計(jì)算行列式：測試點(diǎn) 各行元素之和為常數(shù)的行列式的計(jì)算技巧.解 例9計(jì)算行列式 測試點(diǎn) 行列式中有一行只有兩個元素不為零的行列式的計(jì)算和三角形行列式的計(jì)算解例10計(jì)算行列式解 例11設(shè)問（1）中，項(xiàng)的系數(shù)＝？（2）方程有幾個根？試寫出所有的根。測試點(diǎn) 。4. 方陣的行列式的性質(zhì)例7設(shè)為n階方陣，為實(shí)數(shù)，則=（　　?。〢． B．C． D．答案: C例8矩陣，則行列式___________.解析 答案 1）方陣可逆(也稱非異，滿秩)，.其中方陣的伴隨陣的定義。當(dāng)時，；。）6．分快矩陣矩陣運(yùn)算時，分快的原則：保證運(yùn)算能順利進(jìn)行（包括分塊矩陣和子塊的運(yùn)算）如；分快矩陣的運(yùn)算規(guī)則；特別是分快矩陣的轉(zhuǎn)置準(zhǔn)對角陣的逆矩陣： 如果 都是可逆陣，則例9 二階矩陣，則＝（　　?。〢． B．C． D．測試點(diǎn) 伴隨矩陣的定義,二階方陣的伴隨陣答案: A例10 三階陣，則= _____________.測試點(diǎn) 重要公式 .答案例11 ，則____________.解 例12 設(shè)為2階可逆矩陣，且已知，則 =（　　?。〢． B．C． D．測試點(diǎn) 逆矩陣的性質(zhì)解 由 ,所以 故答案 D例13設(shè)求.測試點(diǎn) 求逆矩陣的方法解 所以注意 一定要驗(yàn)算例14 已知則_____________。類似地可定義初等列變換，初等行變換，初等列變換統(tǒng)稱為初等變換.方陣經(jīng)初等變換后的行列式是否變化？（分別就三種初等變換說明行列式變化的情況）初等變換不改變方陣的可逆性；初等變換不改變矩陣的秩；行初等變換必能將矩陣化為行最簡形，初等變換必能將矩陣化為標(biāo)準(zhǔn)形，其中為矩陣的秩.，從而有相等的等價標(biāo)準(zhǔn)形.1）初等矩陣的定義。答案 C例18設(shè)三階矩陣,若存在初等矩陣,使得則 【 】A. B. C. D.測試點(diǎn) 矩陣的初等變換和用初等矩陣乘的關(guān)系答案 B 四、矩陣的階子式和矩陣秩的概念，求矩陣秩的方法1 矩陣的階子式的概念2 矩陣秩的概念 定義矩陣的秩為0，對于非零矩陣，如果有一個階子式不等于而所有的階子式（如果有的話），.3. 等價矩陣有相等的秩（初等變換不改變矩陣的秩）。當(dāng)時, 秩例22設(shè)為mn矩陣，是n階可逆矩陣，矩陣的秩為，則矩陣的秩為__________.測試點(diǎn) 用可逆矩陣左(右)乘任意矩陣,則的秩不變.答案 例23設(shè)階方陣的秩為，則與等價的矩陣為（　　?。〢． B．C． D．答案 B測試點(diǎn) 矩陣等價的概念；等價矩陣有相等的秩；反之同形的兩個矩陣只要其秩相等，必等價.解 因?yàn)锳,C,D的矩陣的秩都為，.五、矩陣方程的標(biāo)準(zhǔn)形及解的公式例24設(shè)矩陣， ，求矩陣方程的解.測試點(diǎn) 解矩陣方程的方法解 驗(yàn)算!例25設(shè)均為3階矩陣,為3階單位矩陣,且滿足:.若已知求矩陣.測試點(diǎn) 解矩陣方程的方法解 因?yàn)?，故從?，又顯然可逆，應(yīng)用消去律得 .驗(yàn)算 所以確有 例26已知矩陣滿足方程，求。例1．已知其中，則 ____________.測試點(diǎn) 維向量線性運(yùn)算的定義和性質(zhì)解 因?yàn)?所以 故 (請驗(yàn)算)答案 .例2設(shè)向量則由線性表出的表示式為_____________.測試點(diǎn) 向量由向量組線性表示。 充分條件。充分必要條件.解 都不是零向量,但線性相關(guān). 中任意兩個向量都不成比例,且其中任意個向量都線性無關(guān),B,D都不正確.答案 C，證明向量組也線性無關(guān).測