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線性代數(shù)教案-在線瀏覽

2024-10-29 06:22本頁面
  

【正文】 素用方程組右端的常數(shù)項(xiàng)替代后所得到的n階行列式。(2)如果齊次線性方程組的系數(shù)行列式D185。注意:用克拉默法則解線性方程組的兩個條件:①方程個數(shù)等于未知數(shù)個數(shù);②系數(shù)行列式不等于零。它主要適用于理論推導(dǎo)。 矩陣的概念及其運(yùn)算一、矩陣的概念定義:稱由m180。j=1,2,L,n)排成的m行n列的數(shù)表230。231。M231。a232。247。為矩陣,簡記為A=(aij)m180。n。247。248。n=Bm180。aij=bij(i=1,2,L,m。b1246。247。b2247。247。247。b247。n248。n,B=(bij)m180。n注意:兩個矩陣是同型矩陣時才能進(jìn)行加法運(yùn)算。n矩陣):(1)交換律:A+B=B+A;(2)結(jié)合律:(A+B)+C=A+(B+C)(3)負(fù)矩陣A+(A)=0,規(guī)定減法運(yùn)算:AB=A+(B)矩陣的數(shù)乘233。la21定義2:數(shù)l與矩陣A的乘積記作lA或Al,規(guī)定為lA=234。M234。lam1la12Lla1n249。;矩陣的數(shù)乘滿足下列運(yùn)算律(設(shè)A,B都是m180。l=0或A=0矩陣的乘法定義3:設(shè)A=(aij)m180。n,那么矩陣A與矩陣B的乘積是一個m180。n,其中cij=ai1b1j+ai2b2j+L+aisbsj=229。j=1,2,L,n)k=1s記為Cm180。sBs180。例1:求矩陣A=231。4246。24246。2247。與B=247。36247。的乘積AB與BA。248。248。231。230。230。230。231。247。247。247。247。232。232。232。231。230。230。230。231。247。185。231。231。232。232。232。例1說明:矩陣的乘法不滿足交換律,即一般地AB185。若AB=BA,則稱方陣A與B可交換。0,則X=Y。11246。10246。10246。10246。(2)A=231。231。247。00247。;231。247。231。247。248。248。248。248。0)為m次多項(xiàng)式,A為n階方陣,則 稱f(A)為方陣A的多項(xiàng)式。 特殊矩陣與方陣行列式一、特殊矩陣單位矩陣230。231。M231。0232。l1231。0L=231。231。0L0246。1L0247。MM247。248。n0L對角矩陣0246。l2L0247。247。248。數(shù)量矩陣230。231。MM231。00L232。247。性質(zhì):lEA=lAE=lA M247。l247。a12La1n246。a11247。a22La2n247。a21或231。MMM247。231。248。an1性質(zhì):A=a11a22Lann轉(zhuǎn)置矩陣 230。231。M231。0232。247。 247。an2Lann247。如果A=(aij)m180。m。n,如果A=A,則稱A為對稱矩陣;如果A=A,則稱A為反對稱TTTTTTTTTT矩陣。A11231。A12231。231。1n稱為A的伴隨矩陣。247。MM247。A2nLAnn247。n1*例1:試證:(1)AA*=A*A=AE;(2)當(dāng)A185。a11231。a21*故AA=231。231。n1236。(i,j=1,2,L,n)238。ja12La1n246。A11A21LAn1246。A0L0246。247。247。a22La2n247。A12A22LAn2247。0AL0247。=AE 247。231。MMMMMMMM247。231。231。231。231。232。232。248。*(2)對A*A=AE兩邊取行列式,得AA=AE*即 AA=AE=A,所以當(dāng)A185。四、習(xí)題P69 T1T2T6T7T8(2)167??赡娴呐卸ǘɡ矶ɡ恚悍疥嘇可逆219。0;當(dāng)A可逆時,A=11* A,其中A*為A的伴隨矩陣。證明:,即存在A,使AA1111故AA=AA=E=1,所以A185。 AA=AA=AE;因?yàn)锳185。A按照逆矩陣的定義,即有A1注意:當(dāng)A185??梢姡赡婢仃嚲褪欠瞧娈惥仃?。1推論:若AB=E(或BA=E),則B=A。0,從而A存在,于是1B=EB=(A1A)B=A1(AB)=A1E=A1二、逆矩陣的運(yùn)算律方陣的逆矩陣滿足下列運(yùn)算律:①若n階方陣A可逆,則A也可逆,且(A)②若A可逆,數(shù)l185。T*TT11T⑦因?yàn)?A*)T=(AA1)T=A(A1)T,(A)=A(A)=A(A)所以(A)=(A)111⑧因?yàn)锳A=E=1,即AA=1,所以A=*TT*11=A A⑨由AB=AB185。又(AB)(AB)*=ABE,所以(AB)*=AB(AB)1=ABB1A1=BB1AA1=B*A*230。1例問A=231。cd247。滿足什么條件時可逆,并求A。248。231。*230。247。0時,A可逆; 247。且A1=1230。231。 231。adbc232。例設(shè)A是三階方陣,且A=解:(3A)118A*=11*,求(3A)18A 271112A18AA1=A1A1 333=(1)A1=(1)3A11 33=27A=1例解矩陣方程231。230。230。13247。248。231。232。247。 解:X=230。25246。719246。35246。719231。230。13247。248。231。411247。248。231。12247。248。231。411247。248。231。1三、習(xí)題P75 T2T3(3)T6T7T92246。247。 167。n=231。O232。A1O246。B1247。B=n180。231。232。247。B2248。247。248。247。A2248。A2247。248。A1+B1①A+B=231。O232。A1k③A=231。O232。A1B1246。;②AB=231。OA2+B2247。248。A11O246。;④A=231。231。232。O231。A232。230。1247。AO247。232。三種初等變換對應(yīng)三種初等矩陣(1)交換第i行和第j行;對應(yīng)En(i,j)(2)第i行乘k倍;對應(yīng)En(i(k))(3)第j行乘k倍加至第i行;對應(yīng)En(i,j(k))230。例將A=231。13247?;癁闃?biāo)準(zhǔn)形。248。231。24246。13246。13246。13246。10246。247。247。174。174。174。174。=B 247。247。247。247。247。13248。24248。02248。01248。01248。231。230。230。230。230。231。231。247。231。247。231。247。248。248。248。248。n矩陣,對A施行一次初等行變換,相當(dāng)于對A左乘一個相應(yīng)的m階初等矩陣;對A施行一次初等列變換,相當(dāng)于對A右乘一個相應(yīng)的n階初等矩陣。n矩陣A,總存在有限個m階初等矩陣P1,P2,L,Ps和n階初等矩陣Ps+1,Ps+2,L,Pk,使得P1LPsAPs+1LPk=231。O232。ErO246。=Fm180。O248。n定理3:對于n階可逆矩陣A,總存在有限個n階初等矩陣P1,L,Ps,Ps+1,L,Pk,使得P1LPsAPs+1LPk=En180。n矩陣A與B等價219。(等價關(guān)系具有反身性、對稱性、傳遞性)因此,由定理3可知,方陣A可逆219。A=P,2,L,k為初等矩陣)1P2LPk(Pi,i=1由推論可知,AB219。求逆矩陣的基本方法初等變換法:(A|E)190。190。174。初等行變換190。190。(E|A1B)或()190。190。174。初等列變換190。190。(1)EAAB初等列變換E)BA1167。n矩陣A中,任取k行k列(1163。min{按原來的位置構(gòu)成的一個k階行列式,稱為矩陣A的一個k階子式。1111246。247。1234247。1200231。232。kk可知,m180。Cn二、矩陣的秩定義:矩陣A的非零子式的最高階數(shù),稱為矩陣A的秩,記為R(A)。三、矩陣秩的性質(zhì)m,n} ① 1163。min{② R(A)=R(A)③ R(A)=r219。A的標(biāo)準(zhǔn)形F=231。O232。R(A,B)163。R(A,b)163。R(A)+R(B)⑧ R(AB)163。nBn180。n例設(shè)A為n階矩陣A的伴隨矩陣,證明 *T230。247。O248。n,239。1,R(A)=n1239。證明:**(1)當(dāng)R(A)=n時,則A可逆,即A185。0。故R(A)+R(A)163。nR(A)163。又由R(A)=n1知矩陣A中至少有一個n1階子式不為零,也就是說A中至少有一個元素不為零。1,從而有R(A)=1。故A=0,即R(A)=0。21113246。247。42232247。21561247。248。21113246。21113246。21113246。247。247。247。42232247。231。174。00454247。21561247。00231。452247。248。248。00006248。1231。2例已知矩陣A=231。231。12a3246。2314247。247。248。230。230。247。247。00112a2247。00112a2247。231。231。247。247。247。01152a2247。00063a0247。248。248。230。247。247。231。00112a2231。231。232。四、習(xí)題P96 T2T3(2)T7T8P97 總復(fù)習(xí)題:T1 T2T3T4T5第四章線性方程組理論教學(xué)目標(biāo)與要求,以及它們的判定方法,會求向量組的秩,會求齊次與非齊次線性方程組的通解 教學(xué)重點(diǎn) 教學(xué)難點(diǎn)167。nx=b(1),則① 有唯一解219。R(A)=R(A,b)n③ 無解219。nx=0(2),則 ① 僅有零解219。R(A)n推論:當(dāng)m=n時,An180。R(A)n219。R(A)=R(A,B)二、線性方程組的解法236。例求下列線性方程組的通解237。x+8x=04238。230。230。230。247。247。247。2530247。231。174。0130247。1008247。0238247。0098247。248。248。248。230。230。247。247。174。0108/3247。231。0018/9247。0018/9247。248。248。239。x1246。8246。247。247。x8/38231。231。239。x2=x4,令x4=1,得通解為:231。=k231。(k206。231。231。231。231。8239。248。4248。9238。236。237。238。0,l185。1時,方程組有唯一解。當(dāng)l=0時,B=231。230。230。01231。247。231。0021247。174。00231。232。248。232。248。232。R(B),所以方程組無解。1121246。112當(dāng)l=1時,B=231。1331247。174。1246。0210247。231。1123247。231。0004247。因R(A)=2,R(B)=3,R(A)185。230。230。230。231。231。174。231。247。231。231。247。1141247。231。0020247。231。0000247。因R(A)=R(B)=23,所以方程組有無窮多解。237。x1=1k1=12x=0,令x239。x2=k(k206。3239。x3=0三、習(xí)題P106 T1 T2 T3(2)T4 T5 T6 T731246。21247。2247。167。稱n180。a1246。247。a2247。247。其中ai稱為a的第iM231。231。232。個分量(i=1,2,L,n)。230。231。231。(j=1,2,L,n)為矩陣A的列設(shè)A=(aij)m180。M247。247。a247。mj248。b1246。247。b2247。其中bi=(ai1,ai2,L,ain)(i=1,2,L,m)為矩陣A的行向量組。231。231。一個線性方程組Am180。給定向量組A:a1,a2,L,am和向量b,若存在一組數(shù)l1,l2,L,lm,使得b=l1a1+l2a2+L+lmam 則稱向量b是向量組A的線性組合,也稱向量b可以由向量組A線性表示。即a=a1e1+a2e2+L+anen。:向量b能由向量組A:a1,a2,L,am線性表示的充要條件是R(A)=R(A,b),其中A=(a1,a2,L,am)。nx=0,寫成向量形式:x1a1+x2a2+L+xnan=0。因此,我們引入如下概念。注意:(特殊情形)① 只有一個向量a的向量組線性相關(guān)219。a=lb(即兩向量共線:對應(yīng)分量成比例)③ 三個向量線性相關(guān):幾何意義是三個向量共面。定理2:向量組a1,a2,L,am(m179。定理3:設(shè)向量組A:a1,a2,L,am構(gòu)成矩陣A=(a1,a2,L,am),則向量組A線性相關(guān)的充要條件是R(A)m;向量組A線性無關(guān)的充要條件是R(A)=m。0。推論3:任一個n維向量組中線性無關(guān)的向量最多有n個。(2)若向量組a1,a2,L,ar線性相關(guān),則向量組a1,a2,L,ar,ar+1,L,an(nr)必線性相關(guān);反之,若向量組a1,a2,L,ar,ar+1,L,an(nr)線性無關(guān),則向量組a1,a2,L,ar必線性無關(guān)。)(3)若m個n維向量a1,a2,L,am線性相關(guān),同時去掉其第i個分量(1163。n)得到的m個n1維向量也線性相關(guān);反之,若m個n1維向量a1,a2,L,am線性無關(guān),同時增加其第i個分量(1163。n)得到的m個n維向量也線性無關(guān)。 向量組的秩一、向量組的等價定義1:設(shè)有向量組A:a1,a2,L,am;向量組B:b1,b2,L,bs,若向量組A中的每一個向量都能由向量組B線性表示,則稱向量組A能由向量組B線性表示。命題1:若A,B為有限個列向量組成的向量組,則向量組B能由向量組A線性表示的充要條件是矩陣方程B=AX有解。定理1:設(shè)向量組A:a1,a2,L,am和向量組B:b1,b2,L,bs均為列向量組成的向量組,則向量組B能由向量組A線性表示的充要條件為R(A)=R(A,B)推論:向量組A:a1,a2,L,am和向量組B:b1,b2,L,bs等價的充要條件是R(A)=R(B)=R(A,B)其中A和B是向量組A和向量組B所構(gòu)成的矩陣。r)的一個部分組,若(1)向量組A0:a1,a2,L,ar線性無關(guān);(2)A中的任意向量均可由向量組A0:a1,a2,L,ar線性表示; 則稱A0:a1,a2,L,ar為A的一個最大線性無關(guān)向量組(簡稱最大無關(guān)組)。定理:矩陣的初等行變換不改變(部分或全部)列向量之間的線性關(guān)系; 矩陣的初等列變換不改變(部分或全部)行向量之間的線性關(guān)系。s;(2)若rs,則向量組B線性相關(guān)。推論2:兩個等價的向量組的最大無關(guān)組含有相同個數(shù)的向量。定義3:向量組的最大無關(guān)組所含向量的個數(shù),稱為該向量組的秩。:若向量組B能由向量組A線性表示,則向量組B的秩不大于向量組A的秩。n,則 R(A)=A的行秩=A的列秩。四、矩陣的秩的性質(zhì)性質(zhì)1:R(A+B)163。min{R(A),R(B)}性質(zhì)3:若P,Q可逆,則R(PAQ)=R(PA)=R(AQ)=R(A)五、習(xí)題P124 T1T2T3T9167。nx=0(1)性質(zhì)1:若x1,x2都是Ax=0的解,則x1+x2也是Ax=0的解。定義1:設(shè)x1,x2,L,xk是Ax=0的非零解,且滿足(1)x1,x2,L,xk線性無關(guān);(2)Ax=0的任一個解x都可由x1,x2,L,xk線性表示,即x=c1x1+c2x2+L+ckxk 則稱x1,x2,L,xk是齊次線性方程組Ax=0的基礎(chǔ)解系;且Ax=0的通解可表示為如下形式:x=c1x1+c2x2+L+ckxk(c1,c2,L,ck為任意常數(shù))。講教材P128 例1和例2二、非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)
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