【正文】 試點 向量組線性無關的定義。解所以 且.答案 且.2. 關于線性相關的幾個定理1) 如果向量組線性無關,而線性相關,則可由線性表示,且表示法唯一.2) 線性相關的向量組再增加向量所得的新向量組必線性相關.(部分相關,則整體相關。8)向量組線性相關（無關）的充分必要條件是齊次方程組有（沒有）非零解.,則A. 組中減少任意一個向量后仍線性無關B. 組中增加任意一個向量后仍線性無關C. 存在不全為零的數,使D. 組中至少有一個向量可以由其余向量線性表出解析 因為若向量組線性相關，則增加任何一個向量后仍線性相關，其等價的定理是向量組相性無關，則組中減少任意一個向量后仍線性無關答案 A例8設向量，下列命題中正確的是（　　　）A．若線性相關，則必有線性相關 B．若線性無關，則必有線性無關C．若線性相關，則必有線性無關D．若線性無關，則必有線性相關答案 B,:向量必可表為的線性組合.測試點 關于線性相關性的幾個定理證1因為線性相關，故線性相關，又因為線性無關,所以必可表為的線性組合. 證畢.證2 因為線性無關,故必線性無關,又因為線性相關故必能由線性表示,當然可表為的線性組合. 證畢. 三、向量組的極大無關組及向量組的秩1．極大無關組的定義：（1）線性無關；（2）任給，都有線性相關，則稱是向量組的一個極大無關組.2．向量組的秩，向量組的秩與矩陣的秩；求向量組的極大無關組,并將其余向量由該極大無關組線性表示的的方法例10的行向量組的秩 ____________.測試點 矩陣的秩與向量組的秩之間的關系。答案 例15證明向量組是的一組基，則向量在這組基下的坐標是____________.測試點 向量在一組基下的坐標解 因為故線性無關，所以它是的一組基.考慮 該線性方程組的增廣矩陣為 得 所以在這組基下的坐標是（即）答案 .例16 求由向量組生成的子空間的一個基，并說明該生成子空間的維數.解析 顯然是的一個極大無關組，故是由向量組生成的子空間的一個基，所以該子空間的維數等于第四章 線性方程組一、線性方程組的三種表示方法 1. 2.，其中 .3． 其中二、齊次線性方程組1．齊次方程組有非零解的條件1）齊次方程組有非零解的充分必要條件是未知數的個數（即矩陣的列數）.2）n個未知數n個方程的齊次方程組有非零解的充分必要條件是.3)，則齊次方程組必有非零解.(這是齊次方程組有非零解的充分條件但不必要)例1．設為矩陣，齊次線性方程組有非零解的充分必要條件是（　　?。〢．的列向量組線性相關 B．的列向量組線性無關C．的行向量組線性相關 D．的行向量組線性無關測試點 齊次方程組有非零解與列向量組線性相關的關系.答案 A例2. 設是43矩陣，若齊次線性方程組只有零解，則矩陣的秩 _____________.測試點 。含幾個解向量。等價與等秩的區(qū)別4,齊次方程組解的性質.解 因為是齊次方程組的一個基礎解系,故都是齊次方程組的解,因為與等價,故能由線性表示,所以該向量組的秩=4,又因為等價的向量組有相等的秩,所以的秩也等于4,. 所以 D正確.答案 Dn矩陣的秩，是齊次線性方程組的三個線性無關的解向量，則方程組的基礎解系為（　　?。〢． B． C． D．知識點 齊次線性方程組基礎解系的概念及所含解向量的個數。測試點 線性方程組解的性質答案 2．關于非齊次方程組解的討論定理 個未知數，個方程的線性方程組中，（系數矩陣是階矩陣）1）當且僅當（未知數的個數）時，方程組有惟一解；2）當且僅當（未知數的個數）時，方程組有無窮多解；3）當且僅當時，方程組無解.從以上定理可見1）線性方程組有解的充分必要條件是.2）當線性方程組，方程的個數＝未知數的個數時，該方程組有惟一解的充分必要條件是系數行列式.例9已知某個3元非齊次線性方程組的增廣矩陣經初等行變換化為：，若方程組無解，則的取值為____________.測試點 ,則以為增廣矩陣的線性方程組與原方程組通解。解 因為都是非齊次方程組的解，故是它的導出組的解，又因為為3元方程組，故它的基礎解系含一個解，即它的任何一個非零解都是它的基礎解系，故就是它的基礎解系，又是非齊次方程組的解，所以為的通解. 答案 C例11設3元非齊次線性方程組(1) 試判定當為何值時,方程組有無窮多個解?(2) 當方程組有無窮多解時,求出其通解(要求用它的一個特解和它導出組的基礎解系表示).測試點 線性方程組的討論解所以 當即時,方程組無解。當 即時,取為約束未知數,為自由未知數,取為方程組的特解, .例12 設向量可以由向量組線性表示,則數應滿足的條件是A. B. C. D.解析 考察方程,其增廣矩陣為 故方程組有解時,必有答案 C第五章 特征值與特征向量一、特征值與特征向量 1．特征值與特征向量的定義要點：是n階方陣的特征值，是指存在非零列向量，是n階方陣的特征值，這時，齊次方程組的非零解都是矩陣屬于特征值的特征向量.例1 設為3階矩陣,為3階單位陣,若行列式,則的一個特征值為 【 】A. B. C. D. 測試點 為的特征值的充分必要條件是.解 因為,故所以必有一個特征值為.答案 B例2 已知矩陣的一個特征值為，則 ____________.測試點 為的特征值的充分必要條件是.解 為矩陣的一個特征值故.答案 例3 設3階矩陣的每行元素之和均為2,則必有一個特征值為 . 2. 解 因為3階矩陣的每行元素之和均為2, 所以必有一個特征值為.答案 例4設矩陣，則的線性無關的特征向量的個數是（　　　）A． B．C． D．解 的特征值為，當時，所以，故的基礎解系只含一個解，這表明只有一個屬于特征值的線性無關的特征向量，故的線性無關的特征向量的個數是.答案 C 2．關于特征值、特征向量的性質1）與有相同的特征值，但不一定有相同的特征向量；2）設都是矩陣屬于特征值的特征向量，是數，只要，則也是矩陣屬于特征值的特征向量；3) 設階方陣的個特征值為,則(2).4）矩陣屬于不同特征值的特征向量線性無關。從而其跡和行列式也相同；.解 由已知的特征值也為故的跡答案 A例9 設3階矩陣與相似，且已知的特征值為. 則=（　　?。〢． B．C．7 D．12測試點 (1) 相似矩陣的特征值相同。為矩陣的特征值.(3)矩陣的特征值與該矩陣的跡和行列式的關系.解 因為3階矩陣與相似,所以與有相同的特征值,所以的特征值為,故的特征值為從而答案 A例10若2階矩陣相似于矩陣，為2階單位矩陣，則與矩陣相似的矩陣是（ ）A． B．C． D．測試點 相似矩陣的概念；相似矩陣的性質（若與相似，則與相似；相似矩陣有相同的特征值等）；三角形矩陣的特征值解1 ，故與相似，所以，凡與矩陣相似的矩陣的特征值都是，故在A,B,C,D四個選項中，正確的只能是C.解2因為二階方陣有兩個不同的特征值，故與對角陣相似，同理也與對角陣相似，故與相似.答案 C 1)n階方陣能與對角陣相似的充分必要條件是有n個線性無關的特征向量；設是方陣的n個特征值，則.2）若方陣有n個不同的特征值（即特征方程無重根），則必能與對角陣相似.（這是能與對角陣相似的充分條件，不是必要條件）例11 階矩陣與對角陣相似的充分必要條件是（ ）A 矩陣有個特征值 B 矩陣有個線性無關的特征向量C D 矩陣的特征多項式沒有重根答案 B例12 判斷能否與對角陣相似.解析 故的基礎解系只含一個解，即只有一個線性無關的特征向量，故不能與對角陣相似.例13為三階矩陣，為它的三個特征值, 其對應的特征向量為。 三．用正交變換化二次型為標準形1定理 對任意實二次型，總存在正交變換，使得該二次型化為標準型，其中為實對稱矩陣的n個特征值.此定理說明：對任意實對稱矩陣，總存在正交陣，使得其中為實對稱矩陣的n個特征值.（即實對稱矩陣必能與對角陣合同.2. 要掌握用正交變換化二次型為標準形（平方和）的方法.例3已知二次型，求一正交變換，將此二次型化為標準形．測試點 用正交變換將二次型化為標準形的方法步驟解 該二次型的矩陣為求矩陣的特征值和特征向量 ，令 得矩陣的特征值當 時，得齊次方程組的基礎解系為，這表明為矩陣的屬于特征值的兩個線性無關的特征向量.當時，得齊次方程組的基礎解系為，故為矩陣的屬于特征值的特征向量.將正交化，令單位化取 得正交陣，當時，原二次型化為標準形答案 ，當時，原二次型化為標準形四. 配方法化二次型為標準形（平方和）.，并寫出相應的線