【正文】 222。2=16. 17. 設(shè)矩陣A可逆, 證明其伴隨陣A*也可逆, 且(A*)1=(A1)*. 證明 由, 得A*=|A|A1, 所以當(dāng)A可逆時(shí), 有 |A*|=|A|n|A1|=|A|n1185。 (2)|A*|=|A|n1. 證明 (1)用反證法證明. 假設(shè)|A*|185。0矛盾，故當(dāng)|A|=0時(shí), 有|A*|=0. (2)由于, 則AA*=|A|E, 取行列式得到 |A||A*|=|A|n. 若|A|185。 若|A|=0, 由(1)知|A*|=0, 此時(shí)命題也成立. 因此|A*|=|A|n1. 19. 設(shè), AB=A+2B, 求B. 解 由AB=A+2E可得(A2E)B=A, 故 . 20. 設(shè), 且AB+E=A2+B, 求B. 解 由AB+E=A2+B得 (AE)B=A2E, 即 (AE)B=(AE)(A+E). 因?yàn)? 所以(AE)可逆, 從而 . 21. 設(shè)A=diag(1, 2, 1), A*BA=2BA8E, 求B. 解 由A*BA=2BA8E得 (A*2E)BA=8E, B=8(A*2E)1A1 =8[A(A*2E)]1 =8(AA*2A)1 =8(|A|E2A)1 =8(2E2A)1 =4(E+A)1 =4[diag(2, 1, 2)]1 =2diag(1, 2, 1). 22. 已知矩陣A的伴隨陣, 且ABA1=BA1+3E, 求B. 解 由|A*|=|A|3=8, 得|A|=2. 由ABA1=BA1+3E得 AB=B+3A, B=3(AE)1A=3[A(EA1)]1A . 23. 設(shè)P1AP=L, 其中, , 求A11. 解 由P1AP=L, 得A=PLP1, 所以A11= A=PL11P1. |P|=3, , , 而 , 故 . 24. 設(shè)AP=PL, 其中, , 求j(A)=A8(5E6A+A2). 解 j(L)=L8(5E6L+L2) =diag(1,1,58)[diag(5,5,5)diag(6,6,30)+diag(1,1,25)] =diag(1,1,58)diag(12,0,0)=12diag(1,0,0). j(A)=Pj(L)P1 . 25. 設(shè)矩陣A、B及A+B都可逆, 證明A1+B1也可逆, 并求其逆陣. 證明 因?yàn)? A1(A+B)B1=B1+A1=A1+B1, 而A1(A+B)B1是三個(gè)可逆矩陣的乘積, 所以A1(A+B)B1可逆, 即A1+B1可逆. (A1+B1)1=[A1(A+B)B1]1=B(A+B)1A. 26. 計(jì)算. 解 設(shè), , , , 則 , 而 , , 所以 , 即 . 27. 取, 驗(yàn)證. 解 , 而 , 故 . 28. 設(shè), 求|A8|及A4. 解　令, , 則 , 故 , . . 29. 設(shè)n階矩陣A及s階矩陣B都可逆, 求 (1)。, 所以 . (2). 解 設(shè), 則 . 由此得 222。 解 設(shè), , 則 , . 于是 . (2). 解 設(shè), , , 則 . 第三章　矩陣的初等變換與線性方程組 1. 把下列矩陣化為行最簡形矩陣: (1)。(1), r3184。3. ) ~(下一步: r2+3r3. ) ~(下一步: r1+(2)r2, r1+r3. ) ~. (2)。2+(3)r1, r3+(2)r1. ) ~(下一步: r3+r2, r1+3r2. ) ~(下一步: r1184。 解 (下一步: r23r1, r32r1, r43r1. ) ~(下一步: r2184。(3) , r4184。r2, r2180。 解 ~ ~~ ~故逆矩陣為. (2). 解 ~ ~ ~ ~ ~故逆矩陣為. 4. (1)設(shè), , 求X使AX=B。R(B). 這是因?yàn)锽的非零子式必是A的非零子式, 故A的秩不會小于B的秩. 8. 求作一個(gè)秩是4的方陣, 它的兩個(gè)行向量是(1, 0, 1, 0, 0), (1, 1, 0, 0, 0). 解 用已知向量容易構(gòu)成一個(gè)有4個(gè)非零行的5階下三角矩陣: ,此矩陣的秩為4, 其第2行和第3行是已知向量. 9. 求下列矩陣的秩, 并求一個(gè)最高階非零子式: (1)。r2. ) ~(下一步: r23r1, r3r1. ) ~(下一步: r3r2. ) ~, 矩陣的, 是一個(gè)最高階非零子式. (2)。16r4, r316r2. ) ~ ~, 矩陣的秩為3, 是一個(gè)最高階非零子式. 10. 設(shè)A、B都是m180。 (2)R(A)=2。 (2)當(dāng)k=2且k185。 (3)當(dāng)k185。2時(shí), R(A)=3. 12. 求解下列齊次線性方程組: (1)。 解 對系數(shù)矩陣A進(jìn)行初等行變換, 有 A=~, 于是 , 故方程組的解為 (k1, k2為任意常數(shù)). (3)。 解 對增廣矩陣B進(jìn)行初等行變換, 有 B=~, 于是R(A)=2, 而R(B)=3, 故方程組無解. (2)。 解 對增廣矩陣B進(jìn)行初等行變換, 有 B=~, 于是 , 即 (k1, k2為任意常數(shù)). (4). 解 對增廣矩陣B進(jìn)行初等行變換, 有 B=~, 于是 , 即 (k1, k2為任意常數(shù)). 14. 寫出一個(gè)以為通解的齊次線性方程組. 解 根據(jù)已知, 可得 , 與此等價(jià)地可以寫成 , 或 , 或 , 這就是一個(gè)滿足題目要求的齊次線性方程組. 15. l取何值時(shí), 非齊次線性方程組. (1)有唯一解。 (3)有無窮多個(gè)解? 解 . (1)要使方程組有唯一解, 必須R(A)=3. 因此當(dāng)l185。2時(shí)方程組有唯一解. (2)要使方程組無解, 必須R(A)R(B), 故 (1l)(2+l)=0, (1l)(l+1)2185。0,所以當(dāng)l185。10時(shí), 方程組有唯一解. 要使方程組無解, 必須R(A)R(B), 即必須 (1l)(10l)=0且(1l)(4l)185。1. 因?yàn)? 1163。min{R(a), R(bT)}=min{1, 1}=1, 所以R(A)=1. 19. 設(shè)A為m180。 證明 由定理7, 方程AX=Em有解的充分必要條件是R(A)=R(A, Em),而| Em|是矩陣(A, Em)的最高階非零子式, 故R(A)=R(A, Em)=m. 因此, 方程AX=Em有解的充分必要條件是R(A)=m. (2)方程YA=En有解的充分必要條件是R(A)=n. 證明 注意, 方程YA=En有解的充分必要條件是ATYT=En有解. 由(1) ATYT=En有解的充分必要條件是R(AT)=n. 因此，方程YA=En有解的充分必要條件是R(A)=R(AT)=n. 20. 設(shè)A為m180。1+2180。1+2180。0+2180。 B: b1=(2, 1, 1, 2)T, b2=(0, 2, 1, 1)T, b3=(4, 4, 1, 3)T, 證明B組能由A組線性表示, 但A組不能由B組線性表示. 證明 由 知R(A)=R(A, B)=3, 所以B組能由A組線性表示. 由 知R(B)=2. 因?yàn)镽(B)185。 B: b1=(1, 0, 1)T, b2=(1, 2, 1)T, b3=(3, 2, 1)T, 證明A組與B組等價(jià). 證明 由,知R(B)=R(B, A)=2. 顯然在A中有二階非零子式, 故R(A)179。R(B, A)=2, 所以R(A)=2, 從而R(A)=R(B)=R(A, B). 因此A組與B組等價(jià). 5. 已知R(a1, a2, a3)=2, R(a2, a3, a4)=3, 證明 (1) a1能由a2, a3線性表示。 (2) (2, 3, 0)T, (1, 4, 0)T, (0, 0, 2)T. 解 (1)以所給向量為列向量的矩陣記為A. 因?yàn)? , 所以R(A)=2小于向量的個(gè)數(shù), 從而所給向量組線性相關(guān). (2)以所給向量為列向量的矩陣記為B. 因?yàn)? , 所以R(B)=3等于向量的個(gè)數(shù), 從而所給向量組線性相無關(guān). 7. 問a取什么值時(shí)下列向量組線性相關(guān)？ a1=(a, 1, 1)T, a2=(1, a, 1)T, a3=(1, 1, a)T. 解 以所給向量為列向量的矩陣記為A. 由 知, 當(dāng)a=0、1時(shí), R(A)3, 此時(shí)向量組線性相關(guān). 8. 設(shè)a1, a2線性無關(guān), a1+b, a2+b線性相關(guān), 求向量b用a1, a2線性表示的表示式. 解 因?yàn)閍1+b, a2+b線性相關(guān), 故存在不全為零的數(shù)l1, l2使 l1(a1+b)+l2(a2+b)=0, 由此得 , 設(shè), 則 b=ca1(1+c)a2, c206。l1=2l2,l1b1+l2b2 =0222。l1=l2=0, 與題設(shè)矛盾. 11. 設(shè)b1=a1+a2, b2=a2+a3, b3=a3+a4, b4=a4+a1, 證明向量組b1, b2, b3, b4線性相關(guān). 證明 由已知條件得 a1=b1a2, a2=b2a3, a3=b3a4, a4=b4a1,于是 a1 =b1b2+a3 =b1b2+b3a4 =b1b2+b3b4+a1,從而 b1b2+b3b4=0, 這說明向量組b1, b2, b3, b4線性相關(guān). 12. 設(shè)b1=a1, b2=a1+a2, , br =a1+a2+ +ar, 且向量組a1, a2, , ar線性無關(guān), 證明向量組b1, b2, , br線性無關(guān). 證明 已知的r個(gè)等式可以寫成,上式記為B=AK. 因?yàn)閨K|=1185。 解　由 , 知R(a1, a2, a3)=2. 因?yàn)橄蛄縜1與a2的分量不成比例, 故a1, a2線性無關(guān), 所以a1, a2是一個(gè)最大無關(guān)組. (2)a1T=(1, 2, 1, 3), a2T=(4, 1, 5, 6), a3T=(1, 3, 4, 7). 解 由, 知R(a1T, a2T, a3T)=R(a1, a2, a3)=2. 因?yàn)橄蛄縜1T與a2T的分量不成比例, 故a1T, a2T線性無關(guān), 所以a1T, a2T是一個(gè)最大無關(guān)組. 14. 利用初等行變換求下列矩陣的列向量組的一個(gè)最大無關(guān)組: (1)。0, 所以R(A)=n, 從而a1, a2, , an線性無關(guān)