【正文】 2 1( , )0 1 3 2 0 0 1 0 13 2 1 1 0 1 2 3 11 0 1 1 10 1 2 2 10 0 1 0 10 0 0 1 0Aba b a baaaba??????? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ?????????????行 行１ 行 3 行行 行2 行 1 行 當(dāng) 1?a 時， 4)(),( ?? ArbAr ，有唯一解； 當(dāng) 1,1 ?? ba 時， 3),( ?bAr ， 2)( ?Ar ，無解； 當(dāng) 1,1 ??? ba 時， 2)(),( ?? ArbAr ，有無窮多解 . 此時，方程組的一般解為 ????????????????44334324312211xxxxxxxxxx 令 2413 , kxkx ?? 為任意常數(shù)，故一般解為向量形式，得方程組通解為 ?????????????????????????????????????????????? ??10210121001121 kkX 今年上半年，在交警支隊黨委的堅強(qiáng)領(lǐng)導(dǎo)下，車輛管理所以科學(xué)發(fā)展觀為統(tǒng)領(lǐng)，深入學(xué)習(xí)貫徹黨的十八大精神，緊緊圍繞 “ 創(chuàng)建全國一等車輛管理所 ” 為目標(biāo)，堅持重實際、辦實事、求實效的工作方式，集中精力抓落實，真正把車輛管理工作的各項舉措落到實處，切實把握好發(fā)展節(jié)奏，求新求變、與時俱進(jìn)，在落實上下功夫，在創(chuàng)新上做文章，在做強(qiáng)上花氣力。線性代數(shù)（經(jīng)管類） 考點逐個擊破 第一章 行列式 （一）行列式的定義 行列式是指一個由若干個數(shù)排列成同樣的行數(shù)與列數(shù)后所得到的一個式子，它實質(zhì)上表示把這些數(shù)按一定的規(guī)則進(jìn)行運算，其結(jié)果為一個確定的數(shù) . 1．二階行列式 由 4 個數(shù) )2,1,( ?jiaij 得到下列式子： 11 1221 22aaaa稱為一個二階行列式，其運算規(guī)則為 211222112221 1211 aaaaaaaa ?? 2．三階行列 式 由 9 個數(shù) )3,2,1,( ?jiaij 得到下列式子：333231232221131211aaaaaaaaa 稱為一個三階行列式，它如何進(jìn)行運算呢？教材上有類似于二階行列式的所謂對角線法，我們采用遞歸法，為此先要定義行列式中元素的余子式及代數(shù)余子式的概念 . 3．余子式及代數(shù)余子式 設(shè)有三階行列式 3332312322211312113aaaaaaaaaD ? 對任何一個元素 ija ，我們劃去它所在的第 i 行及第 j 列，剩下的元素按原先次序組成一個二階行列式，稱它為元素 ija 的余子式，記成 ijM 例如 3332232211 aa aaM ? ，3332131221 aa aaM ? ，2322131231 aa aaM ? 再記 ijjiij MA ??? )1( ，稱 ijA 為元素 ija 的代數(shù)余子式 . 例如 1111 MA ? ， 2121 MA ?? ， 3131 MA ? 那么 ，三階行列式 3D 定義為 我們把它稱為 3D 按 第 一 列 的 展 開 式 ， 經(jīng) 常 簡 寫 成?? ? ?? ??? 3 1 1113 1 113 )1(i iiii ii MaAaD 4． n 階行列式 一階行列式 11111 aaD ?? n 階行列式 1121211111212222111211nnnnnnnnn AaAaAaaaaaaaaaaD ????? ??????? 其中 ( , 1,2, , )ijA i j n? 為元素 ija 的代數(shù)余子式 . 5．特殊行列式 上三角行列式11 12 122 211 22000nnnnnna a aaa a a aa? 下三角行列式112211 2212000nnn n nnaaa a a aa a a?21 對角行列式 112211 22000000nnnnaa a a aa? （二）行列式的性質(zhì) 性質(zhì) 1 行列式和它的轉(zhuǎn)置行列式相等，即 TDD? 性質(zhì) 2 用數(shù) k 乘行列式 D 中某一行（列）的所有元素所得到的行列式等于 kD，也就是說，行列式可以按行和列提出公因數(shù) . 性質(zhì) 3 互換行列式的任意兩行（列），行列式的值改變符號 . 推論 1 如果行列式中有某兩行（列）相同，則此行列式的值等于零 . 推論 2 如果行列式中某兩行（列）的對應(yīng)元素成比例，則此行列式的值等于零 . 3131212111113332312322211312113 AaAaAaaaaaaaaaaD ????性質(zhì) 4 行列式可以按行（列）拆開 . 性質(zhì) 5 把行列式 D 的某一行（列）的所有元素都乘以同一個數(shù)以后加到另一行（列）的對應(yīng)元素上去，所得的行列式仍為 D. 定理 1（行列式展開定理） n 階行列式nijaD?等于它的任意一行（列）的各元素與其對應(yīng)的代數(shù)余子式的乘積的和，即 ),2,1(2211 niAaAaAaD ininiiii ?? ????? 或 ),2,1(2211 njAaAaAaD njnjjjjj ?? ????? 前一式稱為 D 按第 i 行的展開式，后一式稱為 D 按第 j 列的展開式 . 本定理說明，行列式可以按其任意一行或按其任意一列展開來 求出它的值 . 定理 2 n 階行列式nijaD?的任意一行（列）各元素與另一行（列）對應(yīng)元素的代數(shù)余子式的乘積之和等于零 .即 )(02211 kiAaAaAa kninkiki ????? ? 或 )(02211 sjAaAaAa nsnjsjsj ????? ? （三）行列式的計算 行列式的計算主要采用以下兩種基本方法： （ 1）利用行列式性質(zhì)，把原行列式化為上三角（或下三角）行列式再求值，此時要注意的是，在互換兩行或兩列時，必須在新的行列式的前面乘上 （－ 1），在按行或按列提取公因子 k 時，必須在新的行列式前面乘上 k. （ 2）把原行列式按選定的某一行或某一列展開，把行列式的階數(shù)降低，再求出它的值，通常是利用性質(zhì)在某一行或某一列中產(chǎn)生很多個“ 0”元素，再按這一行或這一列展開： 例 1 計算行列式 52072325121314124??D 解：觀察到第二列第四行的元素為 0，而且第二列第一行的元素是 112?a ，利用這個元素可以把這一列其它兩個非零元素化為 0，然后按第二列展開 . 42 1 4 1 2 1 4 15 6 23 1 2 1 2 1 1 5 0 6 21 5 05 2 3 2 1 0 5 03 ( 2) 17 2 50 2 5 7 0 2 55 3 1 231 22 5 1 1 0 0 8137 57 37 5D? ? ?? ? ??? ? ?? ? ?行 行按 第 二 列 展 開行 行7　 　 列 列 按 第 二 行 展 開 例 2 計算行列式 abbbbabbbbabbbbaD ?4 解：方法 1 這個行列式的元素含有文字，在計算它的值時，切忌用文字作字母，因為文字可能取 0 值 .要注意觀察其特點，這個行列式的特點是它的每一行元素之和均為ba 3? （我們把它稱為行和相同行列式），我們可以先把后三列都加到第一列上去，提出第一列的公因子 ba 3? ，再將后三行都減去第一行： 31( 3 )3110 0 0( 3 )0 0 00 0 0a b b b a b b b b b b bb a b b a b a b b a b babb b a b a b b a b b a bb b b a a b b b a b b ab b babababab??? ? ????????　 　 　 　 　 3))(3( baba ??? 方法 2 觀察到這個行列式每一行元素中有多個 b，我們采用“ 加邊法”來計算，即是構(gòu)造一個與 4D 有相同值的五階行列式： 1 1 2 3 4 54110 1 0 0 00 1 0 0 00 1 0 0 00 1 0 0 0b b b b b b b ba b b ba b b b a bb a b bD b a b b a bb b a bb b a b a bb b b ab b b a a b? ? ???? ? ? ? ???行 （ ） ， ， ， 行 這樣得到一個“箭形”行列式，如果 ba? ，則原行列式的值為零，故不妨假設(shè) ba? ，即 0??ba ，把后四列的 ba?1 倍加到第一列上，可以把第一列的（－ 1）化為零 . 4410 0 0 040 0 0 0 1 ( ) ( 3 ) ( )0 0 0 00 0 0 0bb b b bababba b a b a b a bababab??????? ? ? ? ? ? ? ???????? 例 3 三 階 范德蒙德 行列式 ))()((1112313122322213213 xxxxxxxxxxxxV ????? （四）克拉默法則 定理 1（克拉默法則）設(shè)含有 n 個方程的 n 元線性方程組為 11 1 12 2 1 121 1 22 2 2 21 1 2 2,nnnnn n nn n na x a x a x ba x a x a x ba x a x a x b? ? ? ??? ? ? ? ????? ? ? ? ?? 如果其系數(shù)行列式 0??nijaD，則方程組必有唯一解： njDDx jj ,2,1, ??? 其中 jD 是把 D 中第 j 列換成常數(shù)項 nbbb , 21 ? 后得到的行列式 . 把這個法則應(yīng)用于齊次線 性方程組，則有 定理 2 設(shè)有含 n 個方程的 n 元齊次線性方程組 11 1 12 2 121 1 22 2 21 1 2 20,0,0nnnnn n nn na x a x a xa x a x a xa x a x a x? ? ? ??? ? ? ? ????? ? ? ? ?? 如果其系數(shù)行列式 0?D ，則該方程組只有零解： 021 ???? nxxx ? 換句話說，若齊次線性方程組有非零解，則必有 0?D ，在教材第二章中，將要證明，n 個方程的 n 元齊次線性方程組有非零解的充分必要條件是系數(shù)行列式等于零 . 第二章 矩陣 （一）矩陣的定義 1．矩陣的概念 由 nm? 個數(shù) ),2,1。,2,1( njmia ij ?? ?? 排成的一個 m 行 n 列的數(shù)表 ???????????????mnmmnnaaaaaaaaaA?????212222111211 稱為一個 m 行 n 列矩陣或 nm? 矩陣 當(dāng) nm? 時，稱 ? ?nnijaA ??為 n 階矩陣或 n 階方陣 元素全為零的矩陣稱為零矩陣，用 nmO? 或 O 表示 2． 3 個常用的特殊方陣： ① n 階對角矩陣是指形如 ???????????????nnaaaA?????0000002211的矩陣 ② n 階單位方陣是指形如 ???????????????100010001?????nE 的矩陣 ③ n 階三角矩陣是指形如 ????????????????????????????nnnnnnnnaaaaaaaaaaaa??????????2122211