【正文】 在 0?AB 時(shí)，不能推出 0?A 或 0?B ，因而也不滿(mǎn)足消去律 . 特別，若矩陣 A 與 B 滿(mǎn)足 BAAB? ，則稱(chēng) A 與 B 可交換，此時(shí) A 與 B 必為同階方陣 . 矩陣乘法滿(mǎn)足結(jié)合律，分配律及與數(shù)乘的結(jié)合律 . 5．方陣的乘冪與多項(xiàng) 式方陣 設(shè) A 為 n 階方陣，則規(guī)定mA AA A?m個(gè) 特別 EA?0 又若 11 1 0() mmmmf x a x a x a x a??? ? ? ? ?，則規(guī)定 11 1 0() mmmmf A a A a A a A a E??? ? ? ? ? 稱(chēng) )(Af 為 A 的方陣多項(xiàng)式，它也是一個(gè) n 階方陣 6．矩陣的轉(zhuǎn)置 設(shè) A 為一個(gè) nm? 矩陣，把 A 中行與列互換，得到一個(gè) mn? 矩陣，稱(chēng)為 A 的轉(zhuǎn)置矩陣，記為 TA ，轉(zhuǎn)置運(yùn)算滿(mǎn)足以下運(yùn)算律： AA T ??)( ， TTT BABA ??? )( ， TT kAkA ?)( ， TTT ABAB ?)( 由轉(zhuǎn)置運(yùn)算給出對(duì)稱(chēng)矩陣，反對(duì)稱(chēng)矩陣的定義 設(shè) A為一個(gè) n階方陣，若 A滿(mǎn)足 AAT ? ，則稱(chēng) A為對(duì)稱(chēng)矩陣，若 A滿(mǎn)足 AAT ?? ，則稱(chēng) A 為反對(duì)稱(chēng)矩陣 . 7．方陣的行列式 矩陣與行列式是兩個(gè)完全不同的概念，但對(duì)于 n 階 方陣，有方陣的行列式的概念 . 設(shè) )( ijaA? 為一個(gè) n 階方陣，則由 A 中元素構(gòu)成一個(gè) n 階行列式nija，稱(chēng)為方陣A 的行列式，記為 A 方陣的行列式具有下列性質(zhì)：設(shè) A， B 為 n 階方陣， k 為數(shù)，則 ① AAT ? ； ② AkkA n? ③ BAAB ?? （三）方陣的逆矩陣 1．可逆矩陣的概念與性質(zhì) 設(shè) A 為一個(gè) n 階方 陣，若存在另一個(gè) n 階方陣 B，使?jié)M足 EBAAB ?? ，則把 B稱(chēng)為 A 的逆矩陣，且說(shuō) A 為一個(gè)可逆矩陣，意指 A 是一個(gè)可以存在逆矩陣的矩陣，把 A 的逆矩陣 B 記為 1?A ，從而 A 與 1?A 首先必可交換，且乘積為單位方陣 E. 逆矩陣具有以下性質(zhì)：設(shè) A， B 為同階可逆矩陣， 0?k 為常數(shù)，則 ① 1?A 是可逆矩陣，且 AA ??? 11)( ； ② AB 是可逆矩陣，且 111)( ??? ? ABAB ； ③ kA 是可逆矩陣，且 11 1)( ?? ? AkkA ④ TA 是可逆矩陣，且 TT AA )()( 11 ?? ? ⑤可逆矩陣可從矩陣等式的同側(cè)消去，即 設(shè) P 為可逆矩陣，則 BAPBPA ??? BABPAP ??? 2．伴隨矩陣 設(shè) )( ijaA? 為一個(gè) n 階方陣， ijA 為 A 的行列式nijaA?中元素 ija 的代數(shù)余子式，則矩陣??????????????nnnnnnAAAAAAAAA??????212221212111稱(chēng)為 A 的伴隨矩陣，記為 *A （務(wù)必注意 *A 中元素排列的特點(diǎn)） 伴隨矩陣必滿(mǎn)足 EAAAAA ?? ** 1* ?? nAA （ n 為 A 的階數(shù)） 3． n 階陣可逆的條件與逆矩陣的求法 定 理： n 階方陣 A 可逆 ? 0?A ，且 *1 1 AAA ?? 推論：設(shè) A， B 均為 n 階方陣，且滿(mǎn)足 EAB? ，則 A， B 都可逆，且 BA ??1 ，AB ??1 例 1 設(shè) ????????? dc baA （ 1）求 A 的伴隨矩陣 *A （ 2） a， b， c， d 滿(mǎn)足什么條 件時(shí)， A 可逆？此時(shí)求 1?A 解：（ 1）對(duì)二階方陣 A，求 *A 的口訣為“主交換，次變號(hào)”即 ????????? ?? ac bdA* （ 2）由 bcaddc baA ???，故當(dāng) 0??bcad 時(shí)，即 0?A ， A 為可逆矩陣 此時(shí) ???????? ?????? ac bdbcadAAA 11 *1 （四）分塊矩陣 1． 分塊矩陣的概念與運(yùn)算 對(duì)于行數(shù)和列數(shù)較高的矩陣， 為了表示方便和運(yùn)算簡(jiǎn)潔，常用一些貫穿于矩陣的橫線(xiàn)和縱線(xiàn)把矩陣分割成若干小塊，每個(gè)小塊叫做矩陣的子塊，以子塊為元素的形式上的矩陣叫做分塊矩陣 . 在作分塊矩陣的運(yùn)算時(shí)，加、減法，數(shù)乘及轉(zhuǎn)置是完全類(lèi)似的，特別在乘法時(shí)，要注意到應(yīng)使左矩陣 A 的列分塊方式與右矩陣 B 的行分塊方式一致，然后把子塊當(dāng)作元素來(lái)看待，相乘時(shí) A 的各子塊分別左乘 B 的對(duì)應(yīng)的子塊 . 2．準(zhǔn)對(duì)角矩陣的逆矩陣 形如 ??????????????rAAA?21的分塊矩陣稱(chēng)為準(zhǔn)對(duì)角矩陣，其中 rAAA , 21 ? 均為方陣空白處都是零 塊 . 若 rAAA , 21 ? 都是可逆矩陣，則這個(gè)準(zhǔn)對(duì)角矩陣也可逆，并且 ?????????????????????????????????11211121rr AAAAAA?? （五）矩陣的初等變換與初等方陣 1． 初等變換 對(duì)一個(gè)矩陣 A 施行以下三種類(lèi)型的變換，稱(chēng)為矩陣的初等行（列）變換，統(tǒng)稱(chēng)為初等變換， （ 1）交換 A 的某兩行（列）； （ 2）用一個(gè)非零數(shù) k 乘 A 的某一行（列）； （ 3）把 A 中某一行（列）的 k 倍加到另一行（列）上 . 注意：矩陣的初等變換與行列式計(jì)算有本質(zhì)區(qū)別，行列式計(jì)算是求值過(guò)程，用等號(hào)連接，而對(duì)矩陣施行初等變換是變換過(guò)程用“ ? ”連接前后矩陣 . 初等變換是矩陣?yán)碚撝幸粋€(gè)常用的運(yùn)算，而且最常見(jiàn)的是利用矩陣的初等行變換把矩陣化成階梯形矩陣，以至于化為行簡(jiǎn)化的階梯形矩陣 . 2．初等方陣 由單位方陣 E 經(jīng)過(guò)一次初等變換得到的矩陣稱(chēng)為初等方陣 . 由于初等變換有三種類(lèi)型，相應(yīng)的有三種類(lèi)型的初等方陣，依次記為 ijP ， )(kDi 和)(kTij ，容易證明，初等方陣都是可逆矩陣，且它們的逆矩陣還是同一類(lèi)的初 等方陣 . 3．初等變換與初等方陣的關(guān)系 設(shè) A 為任一個(gè)矩陣，當(dāng)在 A 的左邊乘一個(gè)初等方陣的乘積相當(dāng)于對(duì) A 作同類(lèi)型的初等行變換；在 A 的右邊乘一個(gè)初等方陣的乘積相當(dāng)于對(duì) A 作同類(lèi)型的初等列變換 . 4．矩陣的等價(jià)與等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形 若矩陣 A 經(jīng)過(guò)若干次初等變換變?yōu)?B，則稱(chēng) A 與 B 等價(jià)，記為 BA? 對(duì)任一個(gè) nm? 矩陣 A，必與分塊矩陣 ???????? OOOEr 等價(jià)，稱(chēng)這個(gè)分塊矩陣為 A 的等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形 .即對(duì)任一個(gè) nm? 矩陣 A，必存在 n 階可逆矩陣 P 及 n 階可逆矩陣 Q，使得 ????????? OO OEPAQ r 5．用初等行變換求可逆矩陣的逆矩陣 設(shè) A 為任一個(gè) n 階可逆矩陣，構(gòu)造 nn 2? 矩陣（ A， E） 然后 ),(),( 1?? AEEA 注意： 這里的初等變換必須是初等行變換 . 例 2 求???????????????421412311A 的逆矩陣 解： ? ?? ?? ?1 2 21 1 32 1 1 3 1 12 1 3 3 2 21 1 3 1 0 0 1 1 3 1 0 0( , ) 2 1 4 0 1 0 0 1 2 2 1 01 2 4 0 0 1 0 1 1 1 0 11 0 1 1 1 0 1 0 0 4 2 10 1 2 2 1 0 0 1 0 4 1 20 0 1 3 1 1 0 0 1 3 1 1AE? ? ????? ? ? ?? ? ? ????? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ?行 行行 行行 行 行 行行 行 行 行 則 ????????????????1132141241A 例 3 求解矩陣方程 ?????????????????????????213411421412311X 解：令??????????????????????????213411,421412311BA ，則矩陣方程為 BAX? ，這里 A 即為例 2 中矩陣，是可逆的，在矩陣方程兩邊左乘 1?A ，得 ????????????????????????????????????? ?2052032134111132141241 BAX 也能用初等行變換法，不用求出 1A? ，而直接求 BA1? ),(202005202003001214213441211311),( 1 BAEBA ???????????????????????????? 則 ???????????? ?2052031BAX （六）矩陣的秩 1． 秩的定義 設(shè) A 為 nm? 矩陣，把 A 中非零子式的最高階數(shù)稱(chēng)為 A 的秩，記為秩 )(A 或 )(Ar 零矩陣的秩為 0，因而 ? ?nmA ,m in)(0 ?? 秩 ，對(duì) n 階方陣 A，若秩 nA?)( ，稱(chēng)A 為滿(mǎn)秩矩陣，否則稱(chēng)為降秩矩陣 . 2． 秩的求法 由于階梯形矩陣的秩就是矩陣中非零行的行數(shù)，又矩陣初等變換不改變矩陣的秩 .對(duì)任一個(gè)矩陣 A，只要用初等行變換把 A 化成階梯形矩陣 T，則秩 (A)=秩 (T)=T 中非零行的行數(shù) . 3．與滿(mǎn)秩矩陣等價(jià)的條件 n 階方陣 A 滿(mǎn)秩 ? A 可逆，即存在 B，使 EBAAB ?? ? A 非奇異，即 0?A ? A 的等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形為 E ? A 可以表示為有限個(gè)初等方陣的乘積 ? 齊次線(xiàn)性方程組 0?AX 只有零解 ? 對(duì)任意非零列向量 b，非齊次線(xiàn)性方程組 bAX? 有唯一解 ? A 的行（列）向量組線(xiàn)性無(wú)關(guān) ? A 的行（列）向量組為 nR 的一個(gè)基 ? 任意 n 維行（列）向量均可以表示為 A 的行（列）向量組 的線(xiàn)性組合，且表示法唯一 . ? A 的特征值均不為零 ? AAT 為正定矩陣 . （七）線(xiàn)性方程組的消元法 . 對(duì)任一個(gè)線(xiàn)性方程組???????????????????mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa??????22112222212111212111 可以表示成矩陣形式 bAX? ，其中 nmijaA ?? )( 為系數(shù)矩陣， Tmbbbb ),( 21 ?? 為常數(shù)列矩陣， TnxxxX ),( 21 ?? 為未知元列矩陣 . 從而線(xiàn)性方程組 bAX? 與增廣矩陣 ),( bAA? 一一對(duì)應(yīng) . 對(duì)于給定的線(xiàn)性方程組，可利用矩陣的初等行變換，把它的增廣矩陣化成簡(jiǎn)化階梯形矩陣， 從而得到易于求解的同解線(xiàn)性方程組，然后求出方程組的解 . 第三章 向量空間 （一） n 維向量的定義與向量組的線(xiàn)性組合 1． n 維向量的定義與向量的線(xiàn)性運(yùn)算 由 n 個(gè)數(shù)組成的一個(gè)有序數(shù)組稱(chēng)為一個(gè) n 維向量，若用一行表示，稱(chēng)為 n 維行向量，即 n?1 矩陣，若用一列表示，稱(chēng)為 n 維列向量，即 1?n 矩陣