自學(xué)考試線性代數(shù)[經(jīng)管類]考點]-文庫吧資料
2025-03-31 07:29本頁面
【正文】 定理1（克拉默法則）設(shè)含有n個方程的n元線性方程組為如果其系數(shù)行列式，則方程組必有唯一解：其中是把D中第j列換成常數(shù)項后得到的行列式.把這個法則應(yīng)用于齊次線性方程組，則有定理2 設(shè)有含n個方程的n元齊次線性方程組如果其系數(shù)行列式，則該方程組只有零解：換句話說，若齊次線性方程組有非零解，則必有，在教材第二章中，將要證明，n個方程的n元齊次線性方程組有非零解的充分必要條件是系數(shù)行列式等于零. 第二章 矩陣（一）矩陣的定義 1．矩陣的概念由個數(shù)排成的一個m行n列的數(shù)表稱為一個m行n列矩陣或矩陣當時，稱為n階矩陣或n階方陣元素全為零的矩陣稱為零矩陣，用或O表示 2．3個常用的特殊方陣：①n階對角矩陣是指形如 的矩陣②n階單位方陣是指形如 的矩陣 ③n階三角矩陣是指形如 的矩陣 3．矩陣與行列式的差異矩陣僅是一個數(shù)表，而n階行列式的最后結(jié)果為一個數(shù)，因而矩陣與行列式是兩個完全不同的概念，只有一階方陣是一個數(shù)，而且行列式記號“”與矩陣記號“”也不同，不能用錯.（二）矩陣的運算 1．矩陣的同型與相等設(shè)有矩陣，若，,且對應(yīng)元素相等，即，則稱矩陣A與B相等，記為因而只有當兩個矩陣從型號到元素全一樣的矩陣，才能說相等. 2．矩陣的加、減法設(shè)，是兩個同型矩陣則規(guī)定 注意：只有A與B為同型矩陣，它們才可以相加或相減.由于矩陣的相加體現(xiàn)為元素的相加，因而與普通數(shù)的加法運算有相同的運算律. 3．數(shù)乘運算設(shè)，k為任一個數(shù)，則規(guī)定 故數(shù)k與矩陣A的乘積就是A中所有元素都乘以k，要注意數(shù)k與行列式D的乘積，只是用k乘行列式中某一行或某一列，這兩種數(shù)乘截然不同.矩陣的數(shù)乘運算具有普通數(shù)的乘法所具有的運算律. 4．乘法運算設(shè)，則規(guī)定其中 由此定義可知，只有當左矩陣A的列數(shù)與右矩陣B的行數(shù)相等時，AB才有意義，而且矩陣AB的行數(shù)為A的行數(shù)，AB的列數(shù)為B的列數(shù)，而矩陣AB中的元素是由左矩陣A中某一行元素與右矩陣B中某一列元素對應(yīng)相乘再相加而得到.故矩陣乘法與普通數(shù)的乘法有所不同，一般地：①不滿足交換律，即②在時，不能推出或，因而也不滿足消去律.特別，若矩陣A與B滿足，則稱A與B可交換，此時A與B必為同階方陣.矩陣乘法滿足結(jié)合律，分配律及與數(shù)乘的結(jié)合律. 5．方陣的乘冪與多項式方陣設(shè)A為n階方陣，則規(guī)定特別又若，則規(guī)定稱為A的方陣多項式，它也是一個n階方陣 6．矩陣的轉(zhuǎn)置設(shè)A為一個矩陣，把A中行與列互換，得到一個矩陣，稱為A的轉(zhuǎn)置矩陣，記為，轉(zhuǎn)置運算滿足以下運算律：，由轉(zhuǎn)置運算給出對稱矩陣，反對稱矩陣的定義設(shè)A為一個n階方陣，若A滿足，則稱A為對稱矩陣，若A滿足，則稱A為反對稱矩陣.7．方陣的行列式矩陣與行列式是兩個完全不同的概念，但對于n階方陣，有方陣的行列式的概念.設(shè)為一個n階方陣，則由A中元素構(gòu)成一個n階行列式，稱為方陣A的行列式，記為方陣的行列式具有下列性質(zhì)：設(shè)A，B為n階方陣，k為數(shù)，則①；②③（三）方陣的逆矩陣 1．可逆矩陣的概念與性質(zhì)設(shè)A為一個n階方陣，若存在另一個n階方陣B，使?jié)M足，則把B稱為A的逆矩陣，且說A為一個可逆矩陣，意指A是一個可以存在逆矩陣的矩陣，把A的逆矩陣B記為，從而A與首先必可交換，且乘積為單位方陣E.逆矩陣具有以下性質(zhì)：設(shè)A，B為同階可逆矩陣，為常數(shù)，則①是可逆矩陣，且；②AB是可逆矩陣，且；③kA是可逆矩陣，且④是可逆矩陣，且⑤可逆矩陣可從矩陣等式的同側(cè)消去，即 設(shè)P為可逆矩陣，則 2．伴隨矩陣設(shè)為一個n階方陣，為A的行列式中元素的代數(shù)余子式，則矩陣稱為A的伴隨矩陣，記為（務(wù)必注意中元素排列的特點）伴隨矩陣必滿足 （n為A的階數(shù)） 3．n階陣可逆的條件與逆矩陣的求法定理：n階方陣A可逆，且推論：設(shè)A，B均為n階方陣，且滿足
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