【正文】 ?A 的等價標準形為 E ?A 可以表示為有限個初等方陣的乘積 ?齊次線性方程組0?AX只有零解 ?對任意非零列向量 b ，非齊次線性方程組bAX ?有唯一解 ?A 的行（列）向量組線性無關(guān) ?A 的行（列）向量組為 nR 的一個基 ?任意 n 維行（列）向量均可以表示為 A 的行（列）向量組 的線性組合，且表示法唯一 . ?A 的特征值 均不為零 ? AAT 為正定矩陣 . （七）線性方程組的消元法 . 對任一個線性方程組???????????????????mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa??????22112222212111212111 可以表示成矩陣形式bAX ?，其中nmijaA ?? )(為系數(shù)矩陣，Tmbbbb ),( 21 ??為常數(shù)列矩陣，TnxxxX ),( 21 ??為未知元列矩陣 . 從而線性方程組bAX ?與增廣矩陣),( bAA ?一一對應(yīng) . 對于給定的 線性方程組，可利用矩陣的初等行變換，把它的增廣矩陣化成簡化階梯形矩陣，從而得到易于求解的同解線性方程組，然后求出方程組的解 . 例 4 解線性方程組???????????????.023,1,1432132321xxxxxxxx 解： 把線性方程組的增廣矩陣化成簡化階梯形矩陣： ? ?1 , 3131 4 1 1 1 3 2 0( , ) 0 1 1 1 0 1 1 11 3 2 0 1 4 1 11 0 5 3 1 0 5 30 1 1 1 0 1 1 10 1 1 1 0 0 0 0Ab???? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ?交 換 行行 行2 行 1 +3 行2 行 3+1 行　 得到同解線性方程組 ????????1353231xxxx 即1323531xxxx????? ? ?? 或132333531xxxxxx????? ? ????? 取3x為自由未知量，可知方程組有無窮多解，上式就是所給方程組的一般解 . 第三章 向量空間 （一） n 維向量的定義與向量組的線性組合 1 ． n 維向量的定義與向量的線性運算 由 n 個數(shù)組成的一個有序數(shù)組稱為一個 n 維向量，若用一行表示，稱為 n 維行向量，即n?1矩陣，若用一列表示，稱為 n 維列向量，即1?n矩陣 與矩陣線性運算類似，有向量的線性運算及運算律 . 2 ．向量的線性組合 設(shè)m??? , 21 ?是一組 n 維向量，mkkk , 21 ?是一組常數(shù)，則稱 mmkkk ??? ??? ?2211 為m??? , 21 ?的一個線性組合，常數(shù)mkkk , 21 ?稱為組合系數(shù) . 若一個向量?可以表示成 mmkkk ???? ???? ?2211 則稱?是m??? , 21 ?的線性組合，或稱?可用m??? , 21 ?線性表出 . 3 ．矩陣的行、列向量組 設(shè) A 為一個nm ?矩陣，若把 A 按列分塊，可得一個 m 維列向量組稱之為 A 的列向量組 . 若把 A 按行分塊，可得一個 n 維行向量組稱之為 A 的行向量組 . 4 ．線性表示的判斷及表出系數(shù)的求法 . 向量?能用m??? , 21 ?線性表出的充要條件是線性方程組???? ???? mmxxx ?2211有解，且每一個解就是一個組合系數(shù) . 例 1 問T)5,1,1( ???能否表示成T)3,2,1(1 ??，T)4,1,0(2 ??，T)6,3,2(3 ??的線性組合？ 解： 設(shè)線性方程組為 ???? ??? 332211 xxx 對方程組的增廣矩陣作初等行變換： ?????????????????????? ???110020xx1001564313121201),(),(321?????A 則方程組有唯一解1,2,1 321 ???? xxx 所以?可以唯一地表示成321 , ???的線性組合，且321 2 ???? ??? （二）向量組的線性相關(guān)與線性無關(guān) 1 ． 線性相關(guān)性概念 設(shè)m??? , 21 ?是 m 個 n 維向量，如果存在 m 個不全為零的數(shù)mkkk , 21 ?，使得 02211 ???? mmkkk ??? ?，則稱向量組m??? , 21 ?線性相關(guān)，稱mkkk , 21 ?為相關(guān)系數(shù) . 否則，稱向量m??? , 21 ?線性無關(guān) . 由定義可知，m??? , 21 ?線性無關(guān)就是指 向量等式02211 ???? mmkkk ??? ?當且僅當021 ???? mkkk ?時成立 . 特別 單個向量?線性相關(guān)? 0??； 單個向量?線性無關(guān)? 0?? 2 ．求相關(guān)系數(shù)的方法 設(shè)m??? , 21 ?為 m 個 n 維列向量，則m??? , 21 ?線性相關(guān)?m 元齊次線性方程組02211 ???? mmxxx ??? ?有非零解，且每一個非零解就是一個相關(guān)系數(shù)?矩陣),( 21 mA ??? ??的秩小于 m 例 2 設(shè)向量組1 2 3( 2 , 1 , 7 ) , ( 1 , 4 , 1 1 ) , ( 3 , 6 , 3 )T T T? ? ?? ? ? ? ?，試討論其線性相關(guān)性 . 解 ： 考慮方程組0332211 ??? ??? xxx 其系數(shù)矩陣 ??????????????????????????0001102013117641312),(321???A 于是，秩32)( ??A，所以向量組線性相關(guān)，與方程組同解的方程組為 ???????0023231xxxx 令13 ?x，得一個非零解為1,1,2 321 ???? xxx 則02 321 ???? ??? 3 ．線性相關(guān)性的若干基本定理 定理 1 n 維向量組m??? , 21 ?線性相關(guān)?至少有一個向量是其余向量的線性組合 . 即m??? , 21 ?線性無關(guān)?任一個向量都不能表示為其余向量的線性組合 . 定理 2 如果向量組m??? , 21 ?線性無關(guān)，又m???? , 21 ?線性相關(guān)，則?可以用m??? , 21 ?線性表出，且表示法是唯一的 . 定理 3 若向量組中有部分組線性相關(guān)，則整體組也必相關(guān)，或者整體無關(guān)，部分必?zé)o關(guān) . 定理 4 無關(guān)組的接長向量組必?zé)o關(guān) . （三）向量組的極大無關(guān)組和向量組的秩 1 ．向量組等價的概念 若向量組 S 可以由向量組 R 線性表出，向量組 R 也可以由向量組 S 線性表出，則稱這兩個向量組等價 . 2 ．向量組的極大無關(guān)組 設(shè) T 為一個向量組，若存在 T 的一個部分組 S ，它是線性無關(guān)的，且 T 中任一個向量都能由 S線性表示，則稱部分向量組 S 為 T 的一個極大無關(guān)組 . 顯然，線性無關(guān)向量組的極大無關(guān)組就是其本身 . 對于線性相關(guān)的向量組，一般地，它的極大無關(guān)組不是唯一的，但有以下性質(zhì)： 定理 1 向量組 T 與它的任一個極大無關(guān)組等價，因而 T 的任意兩個極大無關(guān)組等價 . 定理 2 向量組 T 的任意兩個極大無關(guān)組所含向量的個數(shù)相同 . 3 ．向量組的秩與矩陣的秩的關(guān)系 把向量組 T 的任意一個極大無關(guān)組中的所含向量的個數(shù)稱為向量組 T 的秩 . 把矩陣 A 的行向量組的秩，稱為 A 的行秩，把 A 的列向量組的秩稱為 A 的列秩 . 定理： 對任一個矩陣 A ， A 的列秩 =A 的行秩 = 秩（ A ） 此定理說明，對于給定的向量組，可以按照列構(gòu)造一個矩陣 A ，然后用矩陣的初等行變換法來求出向量組的秩和極大無關(guān)組 . 例 3 求出下列向量組的秩和一個極大無關(guān)組，并將其余向量用極大無關(guān)組線性表出： )3,4,4,2(),3,4,1,2(),6,6,1,1(),9,2,2,1(),7,2,1,1( 54321 ??????????? ????? 解 ： 把所有的行向量都轉(zhuǎn)置成列向量，構(gòu)造一個54 ?矩陣，再用初等行變換把它化成簡化階梯形矩陣 ? ? BATTTTT????????????????????????????????????????1000001100010100000133697446224112122111,54321????? 易見 B 的秩為 4 ， A 的秩為 4 ，從而秩? ? 4, 54321 ??????，而且 B 中主元位于第一、二、三、五列，那么相應(yīng)地5321 , ????為向量組的一個極大無關(guān)組，而且324 ??? ??? （四）向量空間 1 ． 向量空間及其子空間的定義 定義 1 n 維實列向量全體（或?qū)嵭邢蛄咳w）構(gòu)成的集合稱為實 n 維向量空間，記作 nR 定義 2 設(shè) V 是 n 維向量構(gòu)成的非空集合，若 V 對于向量的線性運算封閉，則稱集合 V 是 nR 的子空間，也稱為向量空間 . 2 ． 向量空間的基與維數(shù) 設(shè) V 為一個向量空間，它首先是一個向量組，把該向量組的任意一個極大無關(guān)組稱為向量空間 V的一個基，把向量組的秩稱為向量空間的維數(shù) . 顯然， n 維向量空間 nR 的維數(shù)為 n ，且 nR 中任意 n 個線性無關(guān)的向量都是 nR 的一個基 . 3 ． 向量在某個基下的坐標 設(shè)r??? , 21 ?是向量空間 V 的一個基，則 V 中任一個向量?都可以用r??? , 21 ?唯一地線性表出，由 r 個表出系數(shù)組成的 r 維列向量稱為向量?在此基下的坐標 . 例 4 證明：)1,0,2(),0,1,3(),2,1,1( 321 ????? ???構(gòu)成 3R的一個基，并求出( 1 , 1 , 1 )? ??在此基下的坐標 . 解 ： 考慮由這三個 3 維向量組成的三階行列式 1 3 21 1 0 8 02 0 1? ? ?? 所以321 , ???線性無關(guān)，它們構(gòu)成 3R 的基，令???? ??? 332211 xxx 由 ? ?? ?? ?1 1 21 2 3121 2 31113221 3