【正文】 正這二次型和正定矩陣 第一部分 行列式 本章概述 行列式在線性代數(shù)的考試中占很大的比例。 重點(diǎn)練習(xí)內(nèi)容 ； （ 1）二、三階行列式的計(jì)算；方法：利用行列式的性質(zhì)降階。 第一章小結(jié) 基本概念 的余子式 和代數(shù)余子式 。 例 2 判斷線性方程組 是否只有零解 例 3 當(dāng) k 為何值時(shí)，齊次方程組 沒有非零解？ 例 4 問當(dāng) 取何值時(shí) ,齊次方程組 有非零解 ? 對(duì)于 ，有 小薇筆記免費(fèi)提供各科自考筆記，完整版請(qǐng)?jiān)L問 ,n個(gè)方程的線性方程組的克拉默法則。 推論 如果齊次方程組 有非零解，則必有系數(shù)行列式 D=0。 定理 對(duì)于 n 階行列式 證 由定理 ，注意改變第二列的元素，并不改變第二列元素的代數(shù)余子式 類似地，可證明該定理的剩余部分。 例 2 計(jì)算 例 3 計(jì)算 小薇筆記免費(fèi)提供各科自考筆記，完整版請(qǐng)?jiān)L問 例 4 計(jì)算 例 5 計(jì)算 擴(kuò)展 計(jì)算 例 6 計(jì)算 方法 1 方法 2 擴(kuò)展：計(jì)算 例 7 計(jì)算 例 8 計(jì)算 小薇筆記免費(fèi)提供各科自考筆記，完整版請(qǐng)?jiān)L問 擴(kuò)展：計(jì)算 例 9 計(jì)算 n 階行列式 解 按第一列展開，得 例 10 范德蒙行列式 …… . 例 11 計(jì)算 例 12 證明 小結(jié) ； （ 1）低階的數(shù)字行 列式和簡(jiǎn)單的文字行列式； （ 2）各行元素之和為相同的值的情況 （ 3）有一行（列）只有一個(gè)或兩個(gè)非零元的情況 克拉默法則 這一節(jié)將把二元一次方程組解的公式推廣到 n 個(gè)未知數(shù)， n 個(gè)方程的線性方程組。 因此，我們計(jì)算行列式的基本方法是利用行列式的性質(zhì)把行列式化為三角形，或降階。 證 . 行列式的計(jì)算 人們認(rèn)識(shí)事物的基本方法是化未知為已知。 性質(zhì) 5 若行列式中某一行（列）元素可分解為兩個(gè)元素的和，則行列式可分解為兩個(gè)行列式的和，即 只要看 注意 性質(zhì)中是指某一行（列）而不是每一行。 小薇筆記免費(fèi)提供各科自考筆記，完整版請(qǐng)?jiān)L問 證 設(shè) 中，第 i 行與第 j 行元素完全相同，則 所以， D=0。 性質(zhì) 3 行列式的兩行（列）互換，行列式的值改變符號(hào)。 推論 1 若行列式中某一行（列）的元素有公因數(shù)，則可將公因數(shù)提到行列式之外。 性質(zhì) 1 轉(zhuǎn)置的行列式與原行列式相等。 （列）展開的定理和應(yīng)用這個(gè)定理將行列式降階的方法。 式的定義。 例 2 計(jì)算行列式 例 3 求 n 階行列式 小結(jié) 的余子式 和代數(shù)余子式 的定義。 例 6 求出行列式 第三列各元素的代數(shù)余子式。 容易看出，第 j 列元素的余子式 和代數(shù)余子式 都與第 j 列元素?zé)o關(guān)；類似地，第 i 行元素的余子式 和代數(shù)余子式 都與第 i 行元素?zé)o關(guān)。 定義 為該 n 階行列式的值。當(dāng) 時(shí)，稱 為 n 階行列式。需先將二階、 三階行列式推廣到 n 階行列式。 小薇筆記免費(fèi)提供各科自考筆記，完整版請(qǐng)?jiān)L問 類似地得 這就將二元一次方程組解的公式推廣到了三元一次方程組。在（ 6），（ 7）的兩邊都除以 得 這是以 為未知數(shù)的二元一次方程組。使得當(dāng) 后將 消去。我們稱它為該二階行列式的值。若 。 記為 。得 同理得 定義 稱 為二階行列式。 行列式的定義 二階行列式與三階行列式的定義 一、二元一次方程組和二階行列式 例 小薇筆記免費(fèi)提供各科自考筆記，完整版請(qǐng)?jiān)L問 的解。的試題中都有必須用到行列式計(jì)算的內(nèi)容。雖然只占 13%左右 。 04184 線性代數(shù)（經(jīng)管類）（第一章樣本，完整版 15頁） 筆記依據(jù)教材 《線性代數(shù)（經(jīng)管類）》 劉吉佑、徐誠(chéng)浩 主編， 武漢大學(xué)出版社 2020年版 筆記依據(jù)目錄 第一章 行列式 行列式的定義 行列式行 (列 )展開 行列式的性質(zhì)與計(jì)算 克拉默法則 第二章 矩陣 線性方程組與矩陣的定義 矩陣運(yùn)算 分陣的逆矩陣 分塊矩陣 矩陣的初等變換與初等方陣 矩陣的秩 矩陣與線性方程組 第三章 向量空間 n 維向量概念及其線性運(yùn)算 線性相關(guān)與線性無關(guān) 向量組的秩 向量空間 第四章 線性方程組 齊次線性方程組 非齊次線性方程組 第五章 特征值與特征向量 特征值與特征向 量 方陣的相似變換 向量?jī)?nèi)積和正交矩陣 實(shí)對(duì)稱矩陣的相似標(biāo)準(zhǔn)形 第六章 實(shí)二次型 實(shí)二次型及其標(biāo)準(zhǔn)形 正這二次型和正定矩陣 第一部分 行列式 本章概述 行列式在線性代數(shù)的考試中占很大的比例。 重 點(diǎn)練習(xí)內(nèi)容 ； （ 1）二、三階行列式的計(jì)算；方法：利用行列式的性質(zhì)降階。 第一章小結(jié) 基本概念 的余子式 和代數(shù)余子式 。 例 2 判斷線性方程組 是否只有零解 例 3 當(dāng) k 為何值時(shí)，齊次方程組 沒有非零解？ 例 4 問當(dāng) 取何值時(shí) ,齊次方程組 小薇筆記免費(fèi)提供各科自考筆記，完整版請(qǐng)?jiān)L問 有非零解 ? 對(duì)于 ，有 ,n個(gè)方程的線性方程組的克拉默法 則。 推論 如果齊次方程組 有非零解，則必有系數(shù)行列式 D=0。 定理 對(duì)于 n 階行列式 小薇筆記免費(fèi)提供各科自考筆記，完整版請(qǐng)?jiān)L問 證 由定理 ，注意改變第二列的元素，并不改變第二列元素的代數(shù)余子式 類似地，可證明該定理的剩余部分。 例 2 計(jì)算 小薇筆記免費(fèi)提供各科自考筆記，完整版請(qǐng)?jiān)L問 例 3 計(jì)算 例 4 計(jì)算 例 5 計(jì)算 擴(kuò)展 計(jì)算 例 6 計(jì)算 方法 1 方法 2 擴(kuò)展：計(jì)算 例 7 計(jì)算 小薇筆記免費(fèi)提供各科自考筆記，完整版請(qǐng)?jiān)L問 例 8 計(jì)算 擴(kuò)展：計(jì)算 例 9 計(jì)算 n 階行列式 解 按第一列展開，得 例 10 范德蒙行列式 …… . 例 11 計(jì)算 例 12 證明 小結(jié) ； （ 1）低階的數(shù)字行列式和簡(jiǎn)單的文字行列式； （ 2）各行元素之和為相同的值的情況 （ 3）有一行（列）只有一個(gè)或兩個(gè)非零元的情況 克拉默法則 這一節(jié)將把二元一次方程組解的公式推廣到 n 個(gè)未知數(shù)， n 個(gè)方程的線性方程組。 因此，我們計(jì)算行列式的基本方法是利用行列式的性質(zhì)把行列式化為三角形，或降階。 證 . 行列式的計(jì)算 人們認(rèn)識(shí)事物的基本方法是化未知為已知。 性質(zhì) 5 若行列式中某一行（列）元素可分解為兩個(gè)元素的和，則行列式可分解為兩個(gè)行列式的和，即 只要看 注意 性質(zhì)中是指某一行（列）而不是每一行。 證 設(shè) 中，第 i 行與第 j 行元素完全相同，則 所以， D=0。 性質(zhì) 3 行列式的兩行（列）互換，行列式的值改變符號(hào)。 小薇筆記免費(fèi)提供各科自考筆記，完整版請(qǐng)?jiān)L問 推論 1 若行列式中某一行（列）的元素有公因數(shù)，則可將公因數(shù)提到行列式之外。 性質(zhì) 1 轉(zhuǎn)置的行列式與原行列式相等。 （列）展開的定理和應(yīng)用這個(gè)定 理將行列式降階的方法。 。 例 2 計(jì)算行列式 例 3 求 n 階行列式 小結(jié) 的余子式 和代數(shù)余子式 的定義。 例 6 求出行列式 第三列各元素的代數(shù)余子式。 容易看出，第 j 列元素的余子式 和代數(shù)余子式 都與第 j 列元素?zé)o關(guān)；類似地，第 i 行元素的余子式 和代數(shù)余子式 都與第 i 行元素?zé)o關(guān)。 定義 為該 n 階行列式的值。當(dāng) 時(shí)，稱 為 n 階行列式。需先將二階、三階行列式推廣到 n 階行列式。 類似地得 這就將二元一次方程組解的公式推廣到了三元一次方程組。在（ 6），（ 7）的兩邊都除以 得 這是以 為未知數(shù)的二元一次方程組。使得當(dāng) 后將 消去。我們稱它為該二階行列式的值。若 。 記為 。得 同理得 定義 稱 為二階行列式。 行列式的定義 二階行列式與三階行列式的定義 一、二元一次方程組和二階行列式 例 的解。的試題中都有必須用到行列式計(jì)算的內(nèi)容。雖然只占 13%左右。 04184 線性代數(shù)（經(jīng)管類）（第一章樣本，完整版 15頁） 筆記依據(jù)教材 《線性代數(shù)（經(jīng)管類）》 劉吉佑、徐誠(chéng)浩 主編， 武漢大學(xué)出版社 2020年版 筆記依據(jù)目錄 第一章 行列式 行列式的定義 行列式行 (列 )展開 行列式的性質(zhì)與計(jì)算 克拉默法則 第二章 矩陣 線性方程組與矩陣的定義 矩陣運(yùn)算 分陣的逆矩陣 分塊矩陣 矩陣的初等變換與初等方陣 矩陣的秩 矩陣與線性方程組 第三章 向量空間 n 維向量概念及其線性運(yùn)算 線性相關(guān)與線性無關(guān) 向量組的秩 向量空間 第四章 線性方程組 齊次線性方程組 非齊次線性方程組 第五章 特征值與特征向量 特征值與特征向量 方陣的相似變換 向量?jī)?nèi)積和正