【正文】 征值，Q為A的正交矩陣注:正交矩陣Q不唯一，γi與λi對(duì)應(yīng)即可。（2）p=正特征值的個(gè)數(shù)，q=負(fù)特征值的個(gè)數(shù)，p+q=非零特征值的個(gè)數(shù)=r（A）（三）合同矩陣定義：A、B均為n階實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣，若存在可逆矩陣C，使得B=CTAC，稱(chēng)A與B合同△總結(jié)：n階實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣A、B的關(guān)系（1）A、B相似（B=P1AP）←→相同的特征值（2）A、B合同（B=CTAC）←→相同的正負(fù)慣性指數(shù)←→相同的正負(fù)特征值的個(gè)數(shù)（3）A、B等價(jià)（B=PAQ）←→r（A）=r（B）注：實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣相似必合同，合同必等價(jià)（四）正定二次型與正定矩陣正定的定義二次型xTAx，如果任意x≠0，恒有xTAx＞0，則稱(chēng)二次型正定，并稱(chēng)實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣A是正定矩陣。 對(duì)矩陣Amn 做一次初等變換相當(dāng)于在矩陣Amn 的左側(cè)乘以相應(yīng)的m階初等矩陣；對(duì)矩陣Amn 做一次初等列變換想到與在矩陣Amn 右側(cè)乘以相應(yīng)的n階初等矩陣。矩陣中除可逆陣、伴隨陣、分塊陣、初等陣等重要概念外，主要也是運(yùn)算，其運(yùn)算分兩個(gè)層次，一是矩陣的符號(hào)運(yùn)算，二是具體矩陣的數(shù)值運(yùn)算。用初等行變換是求向量組的極大無(wú)關(guān)組及向量組和矩陣秩的有效方法。關(guān)于特征值、特征向量?？v觀一年大學(xué)的學(xué)習(xí)和生活，特別是在線代的學(xué)習(xí)過(guò)程中，實(shí)在是感慨頗多。而行列式和矩陣有本質(zhì)的區(qū)別，行列式是一個(gè)具體的數(shù)值，并且行列式的行數(shù)和列數(shù)必須是相等的。再就是線性代數(shù)的課時(shí)少，這是一個(gè)客觀存在的原因，所以更要精講。再者，在自身學(xué)習(xí)過(guò)程中，我想說(shuō)明的是，大學(xué)里的學(xué)習(xí)是不能靠其他任何人的，只能靠自己，老師只是起到一個(gè)引導(dǎo)作用。然后對(duì)于教材內(nèi)容的側(cè)重點(diǎn)，我覺(jué)得應(yīng)該放在線性方程組這一塊，因?yàn)樗瞧渌麊?wèn)題的引出點(diǎn)，不管是矩陣，行列式，還是矩陣的秩和向量空間，都是為線性方程組服務(wù)的。所以在改革中，應(yīng)該拿線性方程組為應(yīng)用的實(shí)例，來(lái)一步一步的解剖概念和定理。如矩陣的秩與向量組的秩的聯(lián)系：矩陣的秩等于它的行向量組的秩，也等于它的列向量組的秩；矩陣行(列)滿秩，與向量組的線性相關(guān)和線性無(wú)關(guān)也有一定的聯(lián)系。對(duì)于后來(lái)學(xué)的，應(yīng)該多翻翻書(shū)看看前面是怎么說(shuō)的，往往前面學(xué)習(xí)的內(nèi)容是為后面做鋪墊的，所以在學(xué)了后面的知識(shí)后，再看前面的知識(shí)，會(huì)對(duì)前面的知識(shí)有一個(gè)新的認(rèn)識(shí)，會(huì)更好的加深對(duì)它的理解和記憶。很高興能在你的班上學(xué)習(xí)這門(mén)課，我想我會(huì)永遠(yuǎn)記住您那一個(gè)個(gè)寧人忍俊不禁的冷笑話。然后對(duì)于書(shū)上花了很大的篇幅寫(xiě)的matlab實(shí)驗(yàn)，我覺(jué)得這是好事，但是在教學(xué)中老師是不會(huì)教我們的，因?yàn)檎n時(shí)有限，這是情理當(dāng)中的，但是作為學(xué)生，我覺(jué)得應(yīng)該好好地利用書(shū)上的資源，單靠做練習(xí)的筆頭功夫是難以解決實(shí)際問(wèn)題的。前面的知識(shí)是后面學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，如用初等變換求矩陣的秩熟練與否，直接影響求向量組的秩及極大無(wú)關(guān)組，進(jìn)一步影響到求由向量組生成的向量空間的基與維數(shù)；又如求解線性方程組的通解熟練與否，會(huì)影響到后面特征向量的求解，以及利用正交變換將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)型等。當(dāng)然在學(xué)習(xí)過(guò)程中，我們應(yīng)該具備能夠整體把握老師所講重點(diǎn)的能力，注意各個(gè)章節(jié)的聯(lián)系。在線性方程組的求解過(guò)程中，我們運(yùn)用了矩陣的行變換來(lái)求基礎(chǔ)解系，當(dāng)然這就相當(dāng)于求極大無(wú)關(guān)組?？傮w看來(lái)，我們使用的課本題型簡(jiǎn)單易懂，非常適合初學(xué)者學(xué)習(xí)。當(dāng)然，若果能通過(guò)改革，增加課時(shí)是最好不過(guò)了。老師可以自己選一些經(jīng)典的例子來(lái)講，而不一定要講書(shū)上的例子。老師在教學(xué)中，也應(yīng)該以一些具體的實(shí)例入手來(lái)教學(xué)，如果脫離了實(shí)際應(yīng)用，只是講抽象的概念和式子，是很難明白的，并且有實(shí)例的對(duì)照，可以加深記憶理論知識(shí)。實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的相似對(duì)角化及正交變換相似于對(duì)角陣，反過(guò)來(lái)，可由A的特征值，特征向量來(lái)確不定期A的參數(shù)或確定A，如果A是實(shí)對(duì)稱(chēng)陣，利用不同特征值對(duì)應(yīng)的特征向量相互正交，有時(shí)還可以由已知λ1的特征向量確定出λ2（λ2≠λ1）對(duì)應(yīng)的特征向量，用矩陣的方法研究二次型的問(wèn)題主要有兩個(gè)：一是化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形，這主要是正交變換法（這和實(shí)對(duì)稱(chēng)陣正交相似對(duì)角陣是一個(gè)問(wèn)題的兩種提法），在沒(méi)有其他要求的情況下，用配方法得到標(biāo)準(zhǔn)形可能更方便些；二是二次型的正定性問(wèn)題，對(duì)具體的數(shù)值二次型，一般可用順序主子式是否全部大于零來(lái)判別，而抽象的由給定矩陣的正定性，證明相關(guān)矩陣的正定性時(shí)，可利用標(biāo)準(zhǔn)形，規(guī)范形，特征值等到證明，這時(shí)應(yīng)熟悉二次型正定有關(guān)的充分條件和必要條件。行列式、矩陣、向量、方程組是線性代數(shù)的基本內(nèi)容，它們不是孤立隔裂的，而是相互滲透，緊密聯(lián)系的，例如∣A∣≠0〈===〉A(chǔ)是可逆陣〈===〉r（A）=n（滿秩陣）〈===〉A(chǔ)的列（行）向量組線性無(wú)關(guān)〈===〉A(chǔ)X=0唯一零解〈===〉A(chǔ)X=b對(duì)任何b均有（唯一）解〈===〉A(chǔ)=P1 P2…PN，其中PI（I=1，2，…，N）是初等陣〈===〉r（AB）=r（B）A初等行變換 I〈===〉A(chǔ)的列（行）向量組是Rn的一個(gè)基〈===〉A(chǔ)可以是某兩個(gè)基之間的過(guò)渡矩陣等等。關(guān)于向量，證明（或判別）向量組的線性相關(guān)（無(wú)關(guān)），線性表出等問(wèn)題的關(guān)鍵在于深刻理解線性相關(guān)（無(wú)關(guān)）的概念及幾個(gè)相關(guān)定理的掌握，并要注意推證過(guò)程中邏輯的正確性及反證法的使用。 方正A可逆的充分必要條件是A可以寫(xiě)成有限個(gè)初等矩陣的乘積。 初等矩陣都是可逆的。慣性定理：二次型無(wú)論選取怎樣的可逆線性變換為標(biāo)準(zhǔn)形，其正負(fù)慣性指數(shù)不變。注：Aαi=λiαi（αi≠0，由于P可逆），故P的每一列均為矩陣A的特征值λi的特征向量相似對(duì)角化的充要條件（1）A有n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量（2）A的k重特征值有k個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量1相似對(duì)角化的充分條件：（1）A有n個(gè)不同的特征值（不同特征值的特征向量線性無(wú)關(guān)）（2）A為實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣1重要結(jié)論：（1）若A可相似對(duì)角化，則r（A）為非零特征值的個(gè)數(shù)，nr（A）為零特征值的個(gè)數(shù)（2）若A不可相似對(duì)角化，r（A）不一定為非零特征值的個(gè)數(shù)（四）實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣1性質(zhì)（1）特征值全為實(shí)數(shù)（2）不同特征值的特征向量正交（3）A可相似對(duì)角化，即存在可逆矩陣P使得P1AP=Λ（4）A可正交相似對(duì)角化，即存在正交矩陣Q，使得Q1AQ=QTAQ=Λ二次型（一）二次型及其標(biāo)準(zhǔn)形二次型：（1）一般形式（2）矩陣形式（常用）標(biāo)準(zhǔn)形：如果二次型只含平方項(xiàng)，即f（x1，x2，…，xn）=d1x12+d2x22+…+dnxn2這樣的二次型稱(chēng)為標(biāo)準(zhǔn)形（對(duì)角線）二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形的方法：（1）配方法：通過(guò)可逆線性變換x=Cy（C可逆），將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形。注:特征方程可以寫(xiě)為|AλE|=0重要結(jié)論：（1）若α為齊次方程Ax=0的非零解，則Aα=0任意nr（A）個(gè)線性無(wú)關(guān)的解均可作為基礎(chǔ)解系。C=（α1，α2，…，αn）1（β1，β2，…，βn）1坐標(biāo)變換公式：向量γ在基α1，α2，…，αn與基β1，β2，…，βn的坐標(biāo)分別為x=（x1，x2，…，xn）T，y=（y1，y2，…，yn）T，即γ=x1α1+x2α2+…+xnαn=y1β1+y2β2+…+ynβn，則坐標(biāo)變換公式為x=Cy或y=C1x。線性表示的求法：（大題第二步）設(shè)α1，α2，…，αs線性無(wú)關(guān)，β可由其線性表示。A★（8）r（A*）=n（r（A）=n）；r（A*）=1（r（A）=n1）；r（A*）=0（r（A）＜n1）（六）分塊矩陣1分塊矩陣的乘法：要求前列后行分法相同。初等變換與初等矩陣的性質(zhì)：（1）初等行（列）變換相當(dāng)于左（右）乘相應(yīng)的初等矩陣（2）初等矩陣均為可逆矩陣，且Eij1=Eij（i，j兩行互換）；Ei1（c）=Ei（1/c）（第i行（列）乘c）Eij1（k）=Eij（k）（第i行乘k加到j(luò)）★（四）矩陣的秩秩的定義：非零子式的最高階數(shù)注：（1）r（A）=0意味著所有元素為0，即A=O（2）r（Ann）=n（滿秩）←→|A|≠0←→A可逆；r（A）＜n←→|A|=0←→A不可逆；（3）r（A）=r（r=…、n1）←→r階子式非零且所有r+1子式均為0。矩陣（一）矩陣的運(yùn)算矩陣乘法注意事項(xiàng)：（1）矩陣乘法要求前列后行一致；（2）矩陣乘法不滿足交換律；（因式分解的公式對(duì)矩陣不適用，但若B=E,O,A1，A*,f(A)時(shí)，可以用交換律）（3）AB=O不能推出A=O或B=O。（5）一行（列）乘k加到另一行（列），行列式的值不變。四、注重邏輯性與敘述表述線性代數(shù)對(duì)于抽象性與邏輯性有較高的要求，通過(guò)證明題可以了解學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)主要原理、定理的理解與掌握程度，考查學(xué)生的抽象思維能力、邏輯推理能力。線性代數(shù)的概念很多，重要的有：代數(shù)余子式，伴隨矩陣，逆矩陣，初等變換與初等矩陣，正交變換與正交矩陣，秩（矩陣、向量組、二次型），等價(jià)（矩陣、向量組），線性組合與線性表出，線性相關(guān)與線性無(wú)關(guān)，極大線性無(wú)關(guān)組，基礎(chǔ)解系與通解，解的結(jié)構(gòu)與解空間，特征值與特征向量，相似與相似對(duì)角化，二次型的標(biāo)準(zhǔn)形與規(guī)范形，正定，合同變換與合同矩陣。：數(shù)組；一類(lèi)是這些對(duì)象進(jìn)行的運(yùn)算。三、注重邏輯性與敘述表述線性代數(shù)對(duì)于抽象性與邏輯性有較高的要求，通過(guò)證明題可以了解考生對(duì)數(shù)學(xué)主要原理、定理的理解與掌握程度，考查考生的抽象思維能力、邏輯推理能力。線性代數(shù)從內(nèi)容上看縱橫交錯(cuò)，前后聯(lián)系緊密，環(huán)環(huán)相扣，相互滲透，因此解題方法靈活多變，復(fù)習(xí)時(shí)應(yīng)當(dāng)常問(wèn)自己做得對(duì)不對(duì)？再問(wèn)做得好不好？只有不斷地歸納總結(jié)，努力搞清內(nèi)在聯(lián)系，使所學(xué)知識(shí)融會(huì)貫通，接口與切入點(diǎn)多了，熟悉了，思路自然就開(kāi)闊了。例如，矩陣A＝(α1，α2，?，αm)與B＝(β1，β2?，βm)等價(jià)，意味著經(jīng)過(guò)初等變換可由A得到B，要做到這一點(diǎn)，關(guān)鍵是看秩r(A)與r(B)是否相等，而向量組α1，α2，?αm與β1，β2，?βm等價(jià)，說(shuō)明這兩個(gè)向量組可以互相線性表出，因而它們有相同的秩，但是向量組有相同的秩時(shí)，并不能保證它們必能互相線性表現(xiàn)，也就得不出向量組等價(jià)的信息，因此，由向量組α1，α2，?αm與β1，β2，?βm等價(jià)，可知矩陣A＝(α1，α2，?αm)與B＝(β1，β2，?βm)等價(jià)，但矩陣A與B等價(jià)并不能保證這兩個(gè)向量組等價(jià)。三是相似對(duì)角化以后的應(yīng)用，用矩陣的方法研究二次型的問(wèn)題主要有兩個(gè)：一是化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形，這主要是正交變換法（這和實(shí)對(duì)稱(chēng)陣正交相似對(duì)角陣是一個(gè)問(wèn)題的兩種提法），在沒(méi)有其他要求的情況下，用配方法得到標(biāo)準(zhǔn)形可能更方便些；二是二次型的正定性問(wèn)題，對(duì)具體的數(shù)值二次型，一般可用順序主子式是否全部大于零來(lái)判別，而抽象的由給定矩陣的正定性，證明相關(guān)矩陣的正定性時(shí)，可利用標(biāo)準(zhǔn)形，規(guī)范形，特征值等到證明，這時(shí)應(yīng)熟悉二次型正定有關(guān)的充分條件和必要條件。這種相互之間的聯(lián)系綜合命題創(chuàng)造了條件，故對(duì)考生而言，應(yīng)該認(rèn)真總結(jié)，開(kāi)拓思路，善于分析，富于聯(lián)想使得對(duì)綜合的，有較多彎道的試題也能順利地到達(dá)彼岸。向量組的極大無(wú)關(guān)組，等價(jià)向量組，向量組及矩陣的秩的概念，以及它們相互關(guān)系也是重點(diǎn)內(nèi)容之一。樓主 大 中 小 發(fā)表于 20081010 23:50 只看該作者線性代數(shù)超強(qiáng)總結(jié).√ 關(guān)于 ：①稱(chēng)為 的標(biāo)準(zhǔn)基，中的自然基，單位坐標(biāo)向量；② 線性無(wú)關(guān)；③ ； ④ ；⑤任意一個(gè) 維向量都可以用 線性表示.√ 行列式的計(jì)算：① 若 都是方陣（不必同階）,則②上三角、下三角行列式等于主對(duì)角線上元素的乘積.③關(guān)于副對(duì)角線：√ 逆矩陣的求法:① ②③④⑤√ 方陣的冪的性質(zhì)：√ 設(shè)，對(duì) 階矩陣 規(guī)