【正文】 技能是每個大學生的天職。例《線性代數(shù)》這門課程中的實二次型，那我們首先得非常清楚的知到，什么叫做實二次型。但是對于我們的課本知識非常得有用，因為我們現(xiàn)在所學的課本知識。四、學習相關概念后，要學會如何去操作。只有掌握了這部分，我們才能在以后學習或者生活中遇到相似的問題，就有了這個工具去為我們解決實際的問題。學之所用才叫學到實處，才能發(fā)揮真正學習的作用。這就說明學習知識總會有用的，只要我們?nèi)シe累，只要我們現(xiàn)在把基礎打牢，我相信以后解決問題的方法多了，大腦用活了，我們的競爭力就強了，自然在社會上有一席之地。相信我們80年后或90年后的一代能夠擔任起國家建設的重任和使命。關于向量，證明（或判別）向量組的線性相關（無關），線性表出等問題的關鍵在于深刻理解線性相關（無關）的概念及幾個相關定理的掌握，并要注意推證過程中邏輯的正確性及反證法的使用。行列式、矩陣、向量、方程組是線性代數(shù)的基本內(nèi)容，它們不是孤立隔裂的，而是相互滲透，緊密聯(lián)系的，例如 ?OA?O≠0〈===〉A是可逆陣〈===〉r（A）=n(滿秩陣)〈===〉A的列（行）向量組線性無關〈===〉AX=0唯一零解〈===〉AX=b對任何b均有（唯一）解〈===〉A=P1 P2 ?PN，其中PI(I=1,2,?，N)是初等陣〈===〉r(AB)=r(B)A初等行變換I〈===〉A的列（行）向量組是Rn的一個基〈===〉A可以是某兩個基之間的過渡矩陣等等。實對稱矩陣的相似對角化及正交變換相似于對角陣，反過來，可由A 的特征值，特征向量來確不定期A的參數(shù)或確定A，如果A是實對稱陣，利用不同特征值對應的特征向量相互正交，有時還可以由已知λ1的特征向量確定出λ2（λ2≠λ1）對應的特征向量，從而確定出A。往年常有考生沒有準確把握住概念的內(nèi)涵，也沒有注意相關概念之間的區(qū)別與聯(lián)系，導致做題時出現(xiàn)錯誤。二、注重知識點的銜接與轉(zhuǎn)換，知識要成網(wǎng)，努力提高綜合分析能力。凡此種種，正是因為線性代數(shù)各知識點之間有著千絲萬縷的聯(lián)系，代數(shù)題的綜合性與靈活性就較大，同學們整理時要注重串聯(lián)、銜接與轉(zhuǎn)換?！毒€性代數(shù)》是一門研究線性問題的數(shù)學基礎課，線性代數(shù)實質(zhì)上是提供了自己獨特的語言和方法，將那些涉及多變量的問題組織起來并進行分析研究，是將中學一元代數(shù)推廣為處理大的數(shù)組的一門代數(shù)。二、注重對基本概念的理解與把握，正確熟練運用基本方法及基本運算。線性代數(shù)從內(nèi)容上看縱橫交錯，前后聯(lián)系緊密，環(huán)環(huán)相扣，相互滲透，因此解題方法靈活多變，學習時應當常問自己做得對不對？再問做得好不好？只有不斷地歸納總結(jié)，努力搞清內(nèi)在聯(lián)系，使所學知識融會貫通，接口與切入點多了，熟悉了，思路自然就開闊了。第二篇：線性代數(shù)知識點總結(jié)匯總線性代數(shù)知識點總結(jié)行列式（一）行列式概念和性質(zhì)逆序數(shù)：所有的逆序的總數(shù)行列式定義：不同行不同列元素乘積代數(shù)和行列式性質(zhì)：（用于化簡行列式）（1）行列互換（轉(zhuǎn)置），行列式的值不變（2）兩行（列）互換，行列式變號（3）提公因式：行列式的某一行（列）的所有元素都乘以同一數(shù)k，等于用數(shù)k乘此行列式（4）拆列分配：行列式中如果某一行（列）的元素都是兩組數(shù)之和，那么這個行列式就等于兩個行列式之和。|B|（3）|AT|=|A|（4）|A1|=|A|1（5）|A*|=|A|n1（6）若A的特征值λλ……λn，則（7）若A與B相似，則|A|=|B|（五）克萊姆法則1克萊姆法則：（1）非齊次線性方程組的系數(shù)行列式不為0，那么方程為唯一解（2）如果非齊次線性方程組無解或有兩個不同解，則它的系數(shù)行列式必為0（3）若齊次線性方程組的系數(shù)行列式不為0，則齊次線性方程組只有0解；如果方程組有非零解，那么必有D=0。A1（3）|A1|=|A|1（4）（AT）1=（A1）T（5）（A1）1=A逆的求法：（1）A為抽象矩陣：由定義或性質(zhì)求解（2）A為數(shù)字矩陣：（A|E）→初等行變換→（E|A1）（三）矩陣的初等變換初等行（列）變換定義：（1）兩行（列）互換；（2）一行（列）乘非零常數(shù)c（3）一行（列）乘k加到另一行（列）初等矩陣：單位矩陣E經(jīng)過一次初等變換得到的矩陣。（B）（3）r（AB）≤min{r（A），r（B）}（4）r（kA）=r（A）（k≠0）（5）r（A）=r（AC）（C是一個可逆矩陣）（6）r（A）=r（AT）=r（ATA）=r（AAT）（7）設A是mn階矩陣，B是ns矩陣，AB=O，則r（A）+r（B）≤n1秩的求法：（1）A為抽象矩陣：由定義或性質(zhì)求解；（2）A為數(shù)字矩陣：A→初等行變換→階梯型（每行第一個非零元素下面的元素均為0），則r（A）=非零行的行數(shù)（五）伴隨矩陣1伴隨矩陣的性質(zhì)：（8條）（1）AA*=A*A=|A|E→★A*=|A|A1（2）（kA）*=kn1A*（3）（AB）*=B*A*（4）|A*|=|A|n1（5）（AT）*=（A*）T（6）（A1）*=（A*）1=A|A|1（7）（A*）*=|A|n2★(2)←→r（α1，α2，…，αs）=r（α1，α2，…，αs，β）（系數(shù)矩陣的秩等于增廣矩陣的秩，用于大題第一步的檢驗）線性表示的充分條件：（了解即可）若α1，α2，…，αs線性無關，α1，α2，…，αs，β線性相關，則β可由α1，α2，…，αs線性表示?！鷕（β1，β2，β3）=3←→r（C）=3←→|C|≠0（四）極大線性無關組與向量組的秩1極大線性無關組不唯一1向量組的秩:極大無關組中向量的個數(shù)成為向量組的秩對比：矩陣的秩:非零子式的最高階數(shù)★注:向量組α1，α2，…，αs的秩與矩陣A=（α1，α2，…，αs）的秩相等★1極大線性無關組的求法（1）α1，α2，…，αs為抽象的：定義法（2）α1，α2，…，αs為數(shù)字的：（α1，α2，…，αs）→初等行變換→階梯型矩陣則每行第一個非零的數(shù)對應的列向量構(gòu)成極大無關組（五）向量空間1基（就是極大線性無關組）變換公式：若α1，α2，…，αn與β1，β2，…，βn是n維向量空間V的兩組基，則基變換公式為（β1，β2，…，βn）=（α1，α2，…，αn）Cnn其中，C是從基α1，α2，…，αn到β1，β2，…，βn的過渡矩陣。變式：①η1η2，η3η2，…，ηsη2②η2η1，η3η2，…，ηsηs1（三）基礎解系基礎解系定義：（1）ξ1，ξ2，…，ξs是Ax=0的解（2）ξ1，ξ2，…，ξs線性相關（3）Ax=0的所有解均可由其線性表示→基礎解系即所有解的極大無關組注：基礎解系不唯一。|λEA|=0稱為矩陣A的特征方程（λ的n次方程）?！骺偨Y(jié)：特征值與特征向量的求法（1）A為抽象的：由定義或性質(zhì)湊（2）A為數(shù)字的：由特征方程法求解特征方程法：（1）解特征方程|λEA|=0，得矩陣A的n個特征值λ1，λ2，…，λn注：n次方程必須有n個根(可有多重根，寫作λ1=λ2=…=λs=實數(shù)，不能省略)（2）解齊次方程（λiEA）=0，得屬于特征值λi的線性無關的特征向量，即其基礎解系（共nr（λiEA）個解）性質(zhì)：（1）不同特征值的特征向量線性無關（2）k重特征值最多k個線性無關的特征向量1≤nr（λiEA）≤ki（3）設A的特征值為λ1，λ2，…，λn，則|A|=Πλi，Σλi=Σaii（4）當r（A）=1，即A=αβT，其中α，β均為n維非零列向量，則A的特征值為λ1=Σaii=αTβ=βTα，λ2=…=λn=0（5）設α是矩陣A屬于特征值λ的特征向量，則Af（A）ATA1A*P1AP（相似）λf（λ）λλ1|A|λ1λαα/ααP1α（二）相似矩陣相似矩陣的定義：設A、B均為n階矩陣，如果存在可逆矩陣P使得B=P1AP，稱A與B相似，記作A~B相似矩陣的性質(zhì)（1）若A與B相似，則f（A）與f（B）相似（2）若A與B相似，B與C相似，則A與C相似（3）相似矩陣有相同的行列式、秩、特征多項式、特征方程、特征值、跡（即主對角線元素之和）【推廣】（4）若A與B相似，則AB與BA相似，AT與BT相似，A1與B1相似，A*與B*也相似（三）矩陣的相似對角化相似對角化定義：如果A與對角矩陣相似，即存在可逆矩陣P，使得P1AP=Λ=，稱A可相似對角化。（二）慣性定理及規(guī)范形定義：正慣性指數(shù)：標準形中正平方項的個數(shù)稱為正慣性指數(shù)，記為p；負慣性指數(shù)：標準形中負平方項的個數(shù)稱為負慣性指數(shù)，記為q；規(guī)范形：f=z12+…zp2zp+12…zp+q2稱為二次型的規(guī)范形。n元二次型xTAx正定充要條件：（1）A的正慣性指數(shù)為n（2）A與E合同，即存在可逆矩陣C，使得A=CTC或CTAC=E（3）A的特征值均大于0（4）A的順序主子式均大于0（k階順序主子式為前k行前k列的行列式）n元二次型xTAx正定必要條件：（1）aii＞0（2）|A|＞01總結(jié)：二次型xTAx正定判定（大題）（1）A為數(shù)字：順序主子式均大于0（2）A為抽象：①證A為實對稱矩陣：AT=A；②再由定義或特征值判定1重要結(jié)論：（1）若A是正定矩陣，則kA（k＞0），Ak，AT，A1，A*正定（2）若A、B均為正定矩陣，則A+B正定第三篇：線性代數(shù)概念總結(jié) 每一個mn 矩陣總可經(jīng)過有限次初等行變換化成行階梯陣與行簡化階梯陣，且行階梯陣中的非零行數(shù)是唯一確定的，行簡化階梯陣也是唯一確定的。 n階可逆矩陣的行簡化階梯陣一定是單位矩陣。例如在解矩陣方程中，首先進行矩陣的符號運算，將矩陣方程化簡，然后再代入數(shù)值，算出具體的結(jié)果，矩陣的求逆（包括簡單的分塊陣）（或抽象的，或具體的，或用定義，或是用公式A1= 1 A*，或A用初等行變換），A和A*的關系，矩陣乘積的行列式，方陣的冪等也是?？嫉膬?nèi)容之一。在Rn中，基、坐標、基變換公式，坐標變換公式，過渡矩陣，線性無關向量組的標準正交化公式，應該概念清楚，計算熟練，當然在計算中列出關系式后，應先化簡，后代入具體的數(shù)值進行計算。一是要會求特征值、特征向量，對具體給定的數(shù)值矩陣，一般用特征方程∣λEA∣=0及（λEA）ξ=0即可，抽象的由給定矩陣的特征值求其相關矩陣的特征值（的取值范圍），可用定義Aξ=λξ，同時還應注意特征值和特征向量的性質(zhì)及其應用，二是有關相似矩陣和相似對角化的問題，一般矩陣相似對角化的條件。在此，我就從老師教學和自身學習方面，談談自己的一點體會。其實老師在教學過程中，應該學會輕松一點，我不希望看到老師在講臺上講得滿頭大汗，而學生坐在下面聽得云里霧里的場面，這就需要老師能夠精選一些內(nèi)容講解，不需要都講，而其他相關的內(nèi)容讓學生自己通過舉一反三就得到就可以了。而不需全部包攬。所以教材是我們最重要的學習資源，如果沒有書本，就是天才也不可能學好。我們對向量組的線性相關性的討論，還有對矩陣的秩，向量組的秩的計算，都是為了了解線性方程組的解的情況。當然一些好的、典型的解題方法，也應該用具體的例子來講解，這是一本教材必須具備的。知識體系是一環(huán)扣一環(huán)，環(huán)環(huán)相連的。這一點上老師您做的很好。